1. Théorème d`Auslander-Brumer-Faddeev - E

§1. Théorème d'Auslander-Brumer-Faddeev
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 30 (1984)
Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 25.05.2017
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où /parcourt l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles àcoefficients
dans C(t1,..., tt)pour 1i<n.On établit enfin que 8r(C(^ ,..., tn)) est
divisible et que, pour n2, sa classe d'isomorphie est indépendante de n.
Les deux premiers paragraphes sont consacrés aux rappels du théorème
d'Auslander-Brumer-Faddeev (qui fournit la décomposition de B^C^ ,'..., tn))
en somme directe) et de la normalisation en géométrie algébrique. Dans les
paragraphes 3et 4, on dérive la suite exacte qui détermine le groupe %(K).
On en tire au paragraphe 5un procédé pour construire «explicitement »
des algèbres simples, puis on termine en établissant au paragraphe 6la
formule finale pour Bt(C(t1,..., tnj) et en montrant que ce groupe est
divisible.
Je tiens àremercier toutes les personnes qui m'ont aidé àaccomplir ce
travail, notamment M. Kervaire qui m'en asuggéré le thème.
§1. Théorème d'Auslander-Brumer-Faddeev
Ce théorème calcule la structure du groupe de Brauer d'un corps de
fractions rationnelles àune variable sur un corps quelconque. En se res
treignantà la caractéristique zéro pour simplifier, on va rappeler (d'après [7])
comment il découle d'un résultat classique de Tsen.
Si Kest un corps, on notera K' son groupe multiplicatif, 0>(K) l'en
sembledes polynômes en Tunitaires irréductibles àcoefficients dans Ket
si fe&(K), Kfsera l'extension K[T]/(/(T)) de K. Si Kest une clôture
algébrique de K, on considérera le groupe x^K) des homomorphismes
Gal(K/K) -? Q/Z d'ordre fini (le groupe des homomorphismes continus pour
les topologies discrète de Q/Z et naturelle de Ga\(K/K)). Comme Q/Z est
abélien, si Kest une autre clôture algébrique de K, %k(K) est canoniquement
isomorphe àx#(^) et sera note simplement %{K).
Théorème 1.1 (Auslander-Brumer [I], Faddeev [6]). Soit Kun corps
de caractéristique zéro. On aun isomorphisme naturel
Démonstration. Tout repose sur l'interprétation du groupe de Brauer
comme groupe de cohomologie galoisienne. Pour cette interprétation, ainsi
que pour la notion de produit croisé, on pourra se reporter à[14].
1) Construction de Visomorphisme:Fixons une clôture algébrique Kde K.
Par le théorème de Tsen [14, Chap. 19, §4], Br(K(tj) =0et donc

(1)
où G:=Gal(X(0/ s'identifie àGal(X/K).
Si l'on écrit additivement le groupe K(t)\ la factorisation des fractions
rationnelles s'exprime comme K(t)' =X' ®{®^ekZ(t-^)}. On peut en
déduire une décomposition de K(t)'comme G-module. En effet, l'orbite par G
de teKétant l'ensemble des racines du polynôme minimal de £sur K, on a
(2)
où £y eK est une racine de /et #(£/) le ZG-module engendré par t? f.
En substituant (2) dans (1) et en utilisant H2(G, K') ~Br(K), on obtient
(3)
Le choix de la racine <^fde /fournit un plongement de Kfdans X,
de sorte que le stabilisateur de 4/ est Gf:= Ga\(K/Kf)et que #(£,/) est
isomorphe au G-module Z[G/GX]sur les classes àgauche de Gmodulo Gf.
Considérons le Gj-module trivial Z. On peut munir HomG/(ZG, Z) d'une
structure de G-module par (g ?(p) (x) =(p(xg) pour cp eHomG/(ZG, Z), geG
et xpZG.
Comme l'indice de Gfdans Gest fini (égal à[Kf:X]), on aun iso
morphisme de G-modules
où eG/Gfest la classe de geG. En utilisant le lemme de Shapiro
[19, n° 3-7-141 on en déduit
(4)
La suite exacte 0-? Z-> Q-? Q/Z -? 0de Grmodules triviaux fournit
une suite exacte en cohomologie
où 8est un isomorphisme, puisque H\Gfi Q) =0, Qétant Grinjectif. On
vérifie enfin que H\Gf,Q/Z) -x(^/X d'où if2(G, O(y) -X{Kf). Cela fournit
avec (3) l'isomorphisme voulu.
2) Naturalité de ï'isomorphisme :On montre que cet isomorphisme ne dépend
pas du choix de la racine \seK du polynôme /e0>(K).

Fixons /e0*(K) et choisissons t)1,t
)1 ,Ç2eK deux racines de /. Notons
Kl9 K2K 2les plongements de Kfdans KetGl =G^K/K^, G2G 2=Gal(K/K2)
les stabilisateurs correspondants. Si geG est tel que t,2=9%i (d'où K2K 2
=gK1et G2G 2=gG^'1), il induit un isomorphisme a: xC^i) -+ Pai*
a(cp)(x) =cpfe" l^). Il faut montrer que les éléments de Br(K(t)) corres
pondantà9e x(^i) et oc(cp) gsont les mêmes.
On vérifie facilement que ainduit un isomorphisme p:i/2(G1? Z)
-^ H2(G2,Z) donné sur un cocyele cpar P(c) (x, y) =c(g~ Ixg, g~ Iyg). Pour
ï=1,2, notons ;4:; 4:ZOfëJ, ;f(l); f(l) =t- et fe,: Ofê,) K(0" l'inclusion.
L'isomorphisme de (4) s'exprime àl'aide de la corestriction comme cor oy\* et
s'insère dans le diagramme commutatif
décrivant le plongement de H2(Gt,Z) dans H2(G, K(t)').
Pour montrer que Pdevient l'identité dans H2(G, K(t)'), on peut définir
y: H2(Gl7
K{tY) -H2(G2,K(tY), qui prolonge p, par
et vérifier la commutativité du carré
Grâce àla définition de la cohomologie galoisienne, on se ramène àune
extension galoisienne finie de Kcontenant K1et K2.Le carré correspondant
commute alors en vertu de la compatibilité de la corestriction avec la
conjugaison [19, prop. 2-4-5] et du fait qu'un automorphisme intérieur est
trivial en cohomologie [19, cor. 2-3-2]. ?
Remarque 1.2. Il est facile d'expliciter l'isomorphisme du théorème 1.1
En effet, si [A] eBr(K), clairement i([A]) =[A®KK(t)] eBv(K(t)) et si
/e (p ex(Kf\on peut également construire une algèbre simple repré

sentant1(9)e Br(K(t)). Choisissons une racine considérons
le corps fixe Lde Kpar Kercp qui est une extension cyclique de Kf
Si mest son degré, notons 9le générateur de G'f:=Ga^L/K/) tel que
cp(0) =l/m dans Q/Z.
L'image de cp dans H2(G>, Ut)') H2(H 2(Gf,K(tY) est représentée par k
cocycle
II lui correspond dans Br(L(t)/ cB^X/O) la classe du produit croisé
cyclique A:=(L(t)/Kj(t)90, r-£,).On aalors i(cp) =cor([A]), où cor:
B^K/t)) -? Br(X(0) est la corestriction.
Mentionnons qu'il existe des formules explicites pour calculer la cores
trictiond'une algèbre simple [16], si bien que i(cp) peut être exprimé
explicitement.
Conséquence: Le théorème 1.1 donne une méthode pour calculer le
groupe de Brauer des corps de fractions rationnelles àcoefficients complexes.
Sachant que Br(C) =0et Br(C(0) =0(par le théorème de Tsen), on peut
faire une récurrence sur n:
(5)
Tout le problème est de calculer les groupes %(K) pour les corps de fonc
tionscomplexes ànvariables K. On va d'abord faire un rappel de géométrie
algébrique.
§2. La normalisation
Dans tout ce paragraphe, on ne fait que rappeler une construction très
standard de géométrie algébrique: la normalisation, car elle joue un rôle
essentiel dans la démonstration du théorème 3.1.
Toutes les variétés considérées dans ce paragraphe seront algébriques
irréductibles (réduites) et le corps de base kalgébriquement clos. On notera
k(X) le corps des fonctions rationnelles sur une variété X, qui est égal au
corps des fractions de l'anneau /c[[7] des fonctions régulières sur U, pour
tout ouvert affine Ude X.