1. Théorème d`Auslander-Brumer-Faddeev - E

§1. Théorème d'Auslander-Brumer-Faddeev
Objekttyp:
Chapter
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 30 (1984)
Heft 1-2:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
25.05.2017
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où
/
parcourt l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles à coefficients
dans C(t 1 , ..., t t ) pour 1
établit enfin que 8r(C(^ , ..., t n )) est
divisible et que, pour n
2, sa classe d'isomorphie est indépendante de n.
Les deux premiers paragraphes sont consacrés aux rappels du théorème
d'Auslander-Brumer-Faddeev (qui fournit la décomposition de B^C^ ,'..., t n ))
en somme directe) et de la normalisation en géométrie algébrique. Dans les
paragraphes 3 et 4, on dérive la suite exacte qui détermine le groupe %(K).
i<n.On
On en tire au paragraphe 5 un procédé pour construire « explicitement »
des algèbres simples, puis on termine en établissant au paragraphe 6 la
formule finale pour Bt(C(t 1 , ..., t n j) et en montrant que ce groupe est
divisible.
Je tiens à remercier toutes les personnes qui m'ont aidé à accomplir ce
travail, notamment M. Kervaire qui m'en a suggéré le thème.
§1.
Théorème d'Auslander-Brumer-Faddeev
Ce théorème calcule la structure du groupe de Brauer d'un corps de
fractions rationnelles à une variable sur un corps quelconque. En se res
treignantà la caractéristique zéro pour simplifier, on va rappeler (d'après [7])
comment il découle d'un résultat classique de Tsen.
Si K est un corps, on notera K' son groupe multiplicatif, 0>(K) l'en
sembledes polynômes en T unitaires irréductibles à coefficients dans K et
si fe&(K), K sera l'extension K[T]/(/(T)) de K. Si K est une clôture
f
algébrique de K, on considérera le groupe x^K) des homomorphismes
Gal(K/K) -? Q/Z d'ordre fini (le groupe des homomorphismes continus pour
les topologies discrète de Q/Z et naturelle de Ga\(K/K)). Comme Q/Z est
abélien, si K est une autre clôture algébrique de K, %k(K) est canoniquement
isomorphe à x#(^) et sera note simplement %{K).
Théorème
1.1
(Auslander-Brumer
[I],
Faddeev [6]).
Soit
K
un corps
de caractéristique zéro. On a un isomorphisme naturel
Démonstration.
Tout repose sur l'interprétation du groupe de Brauer
Pour cette interprétation, ainsi
pourra se reporter à [14].
comme groupe de cohomologie galoisienne.
que pour la notion de produit croisé, on
Construction de V isomorphisme : Fixons une clôture algébrique K de K.
Par le théorème de Tsen [14, Chap. 19, § 4], Br(K(tj) = 0 et donc
1)
(1)
où G
:
Si
= Gal(X(0/ s'identifie à Gal(X/K).
l'on écrit additivement le groupe K(t)\ la factorisation
des fractions
rationnelles s'exprime comme K(t)' = X' ® {®^ ek Z(t-^)}. On peut en
déduire une décomposition de K(t) ' comme G-module. En effet, l'orbite par G
de t e K étant l'ensemble des racines du polynôme minimal de £ sur K, on a
(2)
/
t? f
où £y eK est une racine de
et #(£/) le ZG-module engendré par
En substituant (2) dans (1) et en utilisant H 2 (G, K') ~ Br(K), on obtient
.
(3)
/
Le choix de la racine <^ de
fournit un plongement de K dans X,
sorte que le stabilisateur de 4/ est G := Ga\(K/K ) et que #(£,/) est
isomorphe au G-module Z[G/G X ] sur les classes à gauche de G modulo G
Considérons le Gj-module trivial Z. On peut munir Hom G/ (ZG, Z) d'une
structure de G-module par (g (p) (x) = (p(xg) pour cp e Hom G/ (ZG, Z), g e G
et x p ZG.
f
de
f
f
f
f
?
Comme l'indice de G
morphisme de G-modules
f
dans G est fini (égal à
où
e G/G est la classe de
f
[19, n° 3-7-141 on en déduit
geG. En utilisant
[Kf : X]),
on a un iso
le lemme de Shapiro
(4)
La suite exacte 0 -? Z -> Q -?
une suite exacte en cohomologie
Q/Z -?
r
0 de G modules
triviaux fournit
où 8 est un isomorphisme, puisque H\G Q) = 0, Q étant G
injectif. On
vérifie enfin que H\G , Q/Z)
x(^/X d'où 2 (G, O(y) X{K ). Cela fournit
avec (3)
2)
-
f
l'isomorphisme voulu.
fi
if
-
f
r
Natur alité de ï'isomorphisme :On montre que cet isomorphisme ne dépend
choix de la racine s eK du polynôme
0>(K).
pas du
\
/e
.
Fixons
K l9
K2K
2
/e 0*(K)
et choisissons
les plongements de
Kf
dans
)1 , Ç 2 eK deux racines de /. Notons
KetGl = G^K/K^, 2 = Gal(K/K 2 )
t)1,t
G2G
les stabilisateurs correspondants. Si
= gK 1
a(cp)(x)
1
geG est tel que t, 2 = 9%i (d'où
il induit un isomorphisme a: xC^i) -+
gG^'
= cpfe" l^). Il faut
et
G2G
=
2
),
K2K
2
P ai
*
montrer que les éléments de Br(K(t)) corres
et oc(cp) g
sont l es mêmes.
On vérifie facilement que a induit un isomorphisme p:i/ 2 (G 1? Z)
-^ H 2 (G 2 , Z) donné sur un cocyele c par P(c) (x, y) = c(g~ I xg, g~ I yg). Pour
et fe,: Ofê,)
K(0" l'inclusion.
ï=1,2, notons : Z OfëJ, f(l)
L'isomorphisme de (4) s'exprime à l'aide de la corestriction comme cor oy\* et
s'insère dans le diagramme commutatif
pondantà9e x(^i)
;4:; 4
;f(l);
=t-
décrivant le plongement de H 2 (G t , Z) dans H 2 (G, K(t)').
Pour montrer que P devient l'identité dans H 2 (G, K(t)'), on peut définir
2
H 2(G 2 ,K(tY), qui prolonge p, par
y: H (G 7K{tY)
l
-
et vérifier la commutativité du carré
Grâce à la définition de la cohomologie galoisienne, on se ramène à une
extension galoisienne finie de K contenant K 1 et K 2 . Le carré correspondant
commute alors en vertu de la compatibilité de la corestriction avec la
conjugaison [19, prop. 2-4-5] et du fait qu'un automorphisme intérieur est
trivial en cohomologie [19, cor. 2-3-2].
?
Remarque 1.2.
En effet, si
/e
(p
e
Il
est facile d'expliciter l'isomorphisme du théorème
[A] e Br(K), clairement i([A]) = [A® K K(t)]
x(K f\
1.1
e Bv(K(t)) et si
construire
une algèbre simple repré
on peut également
considérons
le corps fixe L de K par Kercp qui est une extension cyclique de K
Si m est son degré, notons 9 le générateur de G' : = Ga^L/K/) tel que
cp(0) = l/m dans Q/Z.
2
k
H 2 (G
, K(tY) est représentée par
L'image de cp dans H (G>, Ut)')
sentant1(9)e Br(K(t)). Choisissons une racine
f
f
2(H
f
cocycle
Br(L(t)/ c B^X/O) la classe du produitoùcroisé
II lui correspond dans
cyclique A = (L(t)/Kj(t)
:
9
0, r
- £,)
.
On a alors
i(cp)
= cor([A]),
cor:
-? Br(X(0) est la corestriction.
Mentionnons qu'il existe des formules explicites pour calculer la cores
trictiond'une algèbre simple [16], si bien que i(cp) peut être exprimé
B^K/t))
explicitement.
Conséquence: Le théorème 1.1 donne une méthode pour calculer le
groupe de Brauer des corps de fractions rationnelles à coefficients complexes.
Sachant que Br(C) = 0 et Br(C(0) = 0 (par le théorème de Tsen), on peut
faire une récurrence sur n:
(5)
Tout le problème est de calculer les groupes %(K) pour les corps de fonc
tionscomplexes à n variables K. On va d'abord faire un rappel de géométrie
algébrique.
§2.
La normalisation
Dans tout ce paragraphe, on ne fait que rappeler une construction très
standard de géométrie algébrique: la normalisation, car elle joue un rôle
essentiel dans la démonstration du théorème 3.1.
Toutes les variétés considérées dans ce paragraphe seront algébriques
irréductibles (réduites) et le corps de base k algébriquement clos. On notera
k(X) le corps des fonctions rationnelles sur une variété X, qui est égal au
corps des fractions de l'anneau /c[[7] des fonctions régulières sur U, pour
tout ouvert affine U de X.