Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 5 - LAMA

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 5 : Variables aléatoires à densité
Exercice 1 (Exercice type).On considère une variable aléatoire Xde densité
f(x) = cx20≤x≤3
0 sinon
1. Evaluer cpour que fsoit une densité de probabilité.
2. Déterminer la fonction de répartition Fde X. Donner son allure.
3. Calculer P(1<X<2).
4. Déterminer l’espérance et la variance de X.
Exercice 2 (Loi uniforme).Soit Xune variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur le segment [0,1].
1. Donner la fonction de répartition de X.
2. Calculer sa moyenne E(X)et sa variance Var(X).
3. Calculer E(Xn)pour tout n∈N.
4. Soit aet bdeux réels avec a<b. Définir la densité de la loi uniforme sur [a,b]. Donner son espérance et sa variance.
Exercice 3 (Loi exponentielle).Soit λ>0 fixé. On dit que Xsuit une loi exponentielle de paramètre λsi Xadmet pour
densité la fonction
f(x) = λe−λx1x≥0.
On note alors X∼E(λ).
1. Représenter f. Vérifier que fest une densité.
2. Calculer et représenter la fonction de répartition F.
3. Calculer l’espérance et la variance de X.
4. Montrer que la loi exponentielle a la propriété d’abscence de mémoire :
∀(x,t)∈R+×R+,P(X>x+t|X>x) = P(X>t).
5. La durée de vie en nombre d’années d’une télévision suit une loi de densité
f(t) = 1
8e−t
81t≥0.
(a) Quelle est la durée de vie moyenne d’une télévision ? Quel est l’écart type de cette durée de vie ?
(b) Calculer la probabilité pour que votre télévision ait une durée de vie supérieure à 8 ans.
(c) Vous possédez une télévision depuis 2 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie soit encore d’au moins 8
ans à partir de maintenant ?
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Exercice 4. (Loi normale). Un poète écrit des poèmes dont le nombre de vers suit une loi normale de moyenne 20 et d’écart
type 5. On ouvre son recueil au hasard et on choisit un poème.
1. Quelle est la probabilité pour que le poème fasse plus de 20 vers ?
2. Quelle est la probabilité pour que le poème fasse moins de 20 vers ?
3. Quelle est la probabilité pour que le poème fasse plus de 25, 30, 35, 40 vers ?
4. Quelle est la probabilité pour que le poème fasse moins de 10 vers ?
5. Tout en gardant la même moyenne comment peut on améliorer la modélisation ? Comparer le graphe des densités.
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi normale.
1. On suppose que la moyenne est 12 et la variance est 4 trouver la valeur qtelle que P(X>q) = 0.1.
2. On suppose que la moyenne est 5. Déterminer la variance pour que P(X>9) = 0.2.
Exercice 5 (Densité).Supposons que Xsuive la loi uniforme sur [0,1]et notons Yla variable aléatoire X2. Cette variable
aléatoire a t’elle une densité ?
Exercice 6 (Simulation d’une loi).Soit Xune variable aléatoire de fonction de répartition Fà valeurs dans ]0,1[et bijective.
1. Montrer que la fonction Fest strictement croissante.
2. Montrer que son inverse F−1est strictement croissante.
3. Grâce à la touche “rand” de la calculatrice, on tire une variable uniforme Usur ]0,1[.
4. On considère la variable aléatoire Y=F−1(U). Quelle est sa loi ?
5. En déduire qu’à partir de la simulation d’une loi uniforme on peut simuler une loi ayant une fonction de répartition
facilement inversible.
6. Comment simuleriez vous une loi de Cauchy de densité f(x) = 1
π(1+x2)?
Exercice 7. (Autour de l’indépendance).
Soit X= (X1,X2)un couple de variables aléatoires définie sur un espace probabilisé (Ω,A,P).
1. On suppose que le couple suit une loi uniforme sur le carré [0,1]×[0,1]. Démontrer que les variables aléatoires X1et
X2sont indépendantes et suivent la loi uniforme sur [0,1].
2. On suppose que le couple suit une loi uniforme sur le disque D(0,1). Monter que les variables X1et X2ne sont pas
indépendantes et calculer la covariance de X1et X2.
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