Définition : Différent type de tirage : Prof : Belhaj Salah

Prof : Belhaj Salah
Résume du cours probabilité
Bac Sciences
Définition :
Si
un espace probabilisé et
un événement de E alors :
Différent type de tirage :
Type tirage
Successif avec
remise
Successif sans
remise
simultané
!
(Ω )
!
!
!.
!
PROPRIETE :
Soit ( Ω , A, P) un espace probabilisé alors :
-
0≤ P(A) ≤1
P ( φ )=0
-
P (Ω ) = 1
P (A ∪ B)= P(A)+P(B)-P(A ∩ B)
Si A et B sont incompatible alors P (A ∩ B) = 0 , donc P (A ∪ B)= P(A)+P(B)
Pour tout événement A on a : P (A)=1-P(A)
On dit que deux événement A et B forme une partition de Ω si A ∩ B = φ et A ∪ B =
Ω dons ce cas P(A)+P(B)= P ( Ω ) = 1
PROBABILITE CODITIONNELLE :
Soit A et B deux événements avec P(A) non nulle, on appelle « probabilité de B sachant A »
et on note P(B/A) ou PA(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé
On a alors
∩
INDEPENDANCE DES DEUX EVENNEMENTS
Deux évènements A et B dit Independent si la réalisation de l’un n’influe pas sur la
réalisation de l’autre donc :
P(A B) = P(A) . P(B)
VARIABLE ALEATOIRE (ALEA NUMERIQUE) :
soit E un espace probabilisé on appelle aléa numérique ou variable aléatoire tout
application
!  0,1]
:
"!
"
ESPERENCE MATHEMATIQUE :
X(E)={x 1, x 2,……………., x n} on appelle espérance mathématique ou moyenne de X le
nombre
E(X)=
∑ xi.P( X = xi)
THEOREME:
E (α X)= α. E(X) pour tout α de R
E(X+Y)= E(X) + E(Y)
VARIANCE :
$
$
#
ECART-TYPE :
-
% (X)
&#
-Loi binomiale :
Si une expérience n’ayant que deux issues (succès ou échec), soit p la probabilité de
l’événement succès, si on répète cette expérience n fois et on considère X la variable
aléatoire qui prend comme valeur le nombre des succès réalisé au cours de n
expériences ;
Dans ce cas on dit que X suit la loi binomiale de paramètre (n, p) alors
P(X=K)='() *) + * (,) pour tout k -(1,2,…………., n)
. /
(*
0 /
(* +
% /
&(* +
*
*
- LOI UNIFORME :
La fonction définie sur [a , b] par f(x) =
sur [a , b]
+
,
est appelée La densité de la loi uniforme
On appelle probabilité uniforme sur [a , b] l’application qui a tout intervalle
[c , d] 1[a , b] le réelle P([c , d] ) = 2
P({c}) = 2
"
"
"
"
,
X suit la loi uniforme p si P ( c 3 X3 d ) =
,
- LOI EXPONENTIELLE :
Soit 4 5 0 la fonction definie sur [0 , +∞ [ par f(t) = 4
exponentielle
,47
est appelée densité de la loi
On appelle loi de probabilité exponentielle de parametre 4 l’application p qui :
. a tout intervlle [c , d] 1 [0 , +∞ [ le réelle P([c , d] ) = 2 4
. a tout intervalle [c , +∞[ 1 [0 , +∞ [ le réelle P([c , +∞] ) =
,4"
"
,4
-FONCTION DE REPARTITION :
Soit X une variable aléatoire suit la loi uniforme P sur [a,b] on appelle fonction de
répartition de X l’application F : R → [0,1] définie par :
F(x)=
0 si x 8
, P (a3
3 " si x- [ab] , 1si x 5 b
9
:
-
-
-