Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 5 - LAMA

Probabilités, MATH 424
Feuille de travaux dirigés 5 : Variables aléatoires à densité
Exercice 1 (Exercice type). On considère une variable aléatoire X de densité
2
cx 0 ≤ x ≤ 3
f (x) =
0
sinon
1. Evaluer c pour que f soit une densité de probabilité.
2. Déterminer la fonction de répartition F de X. Donner son allure.
3. Calculer P(1 < X < 2).
4. Déterminer l’espérance et la variance de X.
Exercice 2 (Loi uniforme). Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur le segment [0, 1].
1. Donner la fonction de répartition de X.
2. Calculer sa moyenne E(X) et sa variance Var(X).
3. Calculer E(X n ) pour tout n ∈ N.
4. Soit a et b deux réels avec a < b. Définir la densité de la loi uniforme sur [a, b]. Donner son espérance et sa variance.
Exercice 3 (Loi exponentielle). Soit λ > 0 fixé. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ si X admet pour
densité la fonction
f (x) = λe−λx 1x≥0 .
On note alors X ∼ E (λ).
1. Représenter f . Vérifier que f est une densité.
2. Calculer et représenter la fonction de répartition F.
3. Calculer l’espérance et la variance de X.
4. Montrer que la loi exponentielle a la propriété d’abscence de mémoire :
∀(x,t) ∈ R+ × R+ , P(X > x + t | X > x) = P(X > t).
5. La durée de vie en nombre d’années d’une télévision suit une loi de densité
1 t
f (t) = e− 8 1t≥0 .
8
(a) Quelle est la durée de vie moyenne d’une télévision ? Quel est l’écart type de cette durée de vie ?
(b) Calculer la probabilité pour que votre télévision ait une durée de vie supérieure à 8 ans.
(c) Vous possédez une télévision depuis 2 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie soit encore d’au moins 8
ans à partir de maintenant ?
1
Exercice 4. (Loi normale). Un poète écrit des poèmes dont le nombre de vers suit une loi normale de moyenne 20 et d’écart
type 5. On ouvre son recueil au hasard et on choisit un poème.
1. Quelle est la probabilité pour que le poème fasse plus de 20 vers ?
2. Quelle est la probabilité pour que le poème fasse moins de 20 vers ?
3. Quelle est la probabilité pour que le poème fasse plus de 25, 30, 35, 40 vers ?
4. Quelle est la probabilité pour que le poème fasse moins de 10 vers ?
5. Tout en gardant la même moyenne comment peut on améliorer la modélisation ? Comparer le graphe des densités.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale.
1. On suppose que la moyenne est 12 et la variance est 4 trouver la valeur q telle que P(X > q) = 0.1.
2. On suppose que la moyenne est 5. Déterminer la variance pour que P(X > 9) = 0.2.
Exercice 5 (Densité). Supposons que X suive la loi uniforme sur [0, 1] et notons Y la variable aléatoire X 2 . Cette variable
aléatoire a t’elle une densité ?
Exercice 6 (Simulation d’une loi). Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F à valeurs dans ]0, 1[ et bijective.
1. Montrer que la fonction F est strictement croissante.
2. Montrer que son inverse F −1 est strictement croissante.
3. Grâce à la touche “rand” de la calculatrice, on tire une variable uniforme U sur ]0, 1[.
4. On considère la variable aléatoire Y = F −1 (U). Quelle est sa loi ?
5. En déduire qu’à partir de la simulation d’une loi uniforme on peut simuler une loi ayant une fonction de répartition
facilement inversible.
6. Comment simuleriez vous une loi de Cauchy de densité f (x) =
1
π(1+x2 )
?
Exercice 7. (Autour de l’indépendance).
Soit X = (X1 , X2 ) un couple de variables aléatoires définie sur un espace probabilisé (Ω, A , P).
1. On suppose que le couple suit une loi uniforme sur le carré [0, 1] × [0, 1]. Démontrer que les variables aléatoires X1 et
X2 sont indépendantes et suivent la loi uniforme sur [0, 1].
2. On suppose que le couple suit une loi uniforme sur le disque D(0, 1). Monter que les variables X1 et X2 ne sont pas
indépendantes et calculer la covariance de X1 et X2 .
2