Espaces localement convexes

Université Montpellier II
M1 Mathématiques et Applications
Analyse Fonctionnelle FMMA103
Année universitaire 2014-2015
Feuille d’exercices no 2
Espaces localement convexes
A. Bases de topologies, espaces vectoriels topologiques, et semi-normes :
Exercice 1 Soit X un espace topologique, Y un espace métrique, et f ∈ Cb (X, Y ). Décrire une base de
voisinages de f pour la topologie de la convergence uniforme sur Cb (X, Y ), puis pour la topologie de la
convergence simple. (On pourra montrer que cette dernière coincide avec la topologie produit sur Y X en
identifiant une fonction f avec l’uplet (f (x))x∈X , puis considérer les ouverts élémentaires de Y X .)
Exercice 2 Soit X un espace vectoriel. Montrer que la topologie discrète sur X n’est pas vectorielle.
(Considérer l’application α 7→ αa, a ∈ X.)
Exercice 3 Soit X un espace vectoriel topologique. Montrer que :
1. Tout voisinage de 0 est absorbant (donc X = ∪∞
n=0 rn V pour toute suite de réels rn > 0, rn → ∞);
2. Tout voisinage de 0 contient un voisinage de 0 qui est équilibré;
3. L’adhérence d’un sous-espace vectoriel de X est un sous-espace vectoriel;
4. Le seul sous-espace vectoriel de X ouvert dans X est X lui-même;
5. Toute suite convergente de X est bornée;
6. Toute partie compacte de X est bornée;
7. Une partie A de X est bornée si, et seulement si, pour toutes suites (xn ) ∈ AN et (an ) ∈ RN telle
que lim an = 0, on a lim an xn = 0 ∈ X.
Exercice 4 Pour tous f , g ∈ C(R, R) on pose δ(f, g) = min{1, supx∈R |f (x) − g(x)|}.
1. Montrer que (C(R, R), δ) est un espace métrique complet.
2. En considérant les distances δ(0, λf ), où λ ∈ R et f ∈ C(R, R) est non bornée, montrer que
(C(R, R), δ) n’est pas un espace vectoriel topologique.
Exercice 5 Soit T : X → Y une application linéaire entre espaces vectoriels topologiques.
1. Montrer que si X est de dimension finie, alors T est continue.
2. Montrer que si T est continue, alors pour toute partie bornée E de X, T (E) est une partie bornée
de Y (on dit que l’application linéaire T est bornée).
3. En déduire que tout espace vectoriel normé de dimension infinie possède des formes linéaires ainsi
que des endomorphismes non continus (on pourra utiliser l’existence d’une base de X, et considérer
une suite infinie de vecteurs de norme égale à 1).
Exercice 6 Soit X un espace vectoriel topologique réel et u : X → R une forme linéaire non nulle.
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:
1. u est continue;
2. Ker(u) est fermé;
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3. Ker(u) n’est pas dense dans X;
4. Il existe un voisinage de 0 ∈ X sur lequel u est bornée.
Exercice 7 Soit n ≥ 2. Pour tout 1 ≤ i ≤ n et x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn on pose pi (x) = |xi |.
1. Montrer que pi est une semi-norme sur Rn , et que pour chaque partie finie I ⊂ {1, . . . , n} la topologie
définie par la famille {pi }i∈I coincide avec celle définie par la semi-norme pI (x) = maxi∈I (|xi |}. A
quelle condition cette topologie est-elle séparée ?
2. On suppose n = 2. Montrer que pour tout i ∈ {1, 2} les boules Br,i = {(x, y) ∈ R2 , pi (x) < r} ne
forment pas une base de voisinages de l’origine pour la topologie usuelle de R2 .
Exercice 8 Soient P = {pi }i∈I une famille de semi-normes sur un espace vectoriel X. Pour toute partie
finie K de I et tout x ∈ X on note pK (x) = maxk∈K {pk (x)}.
1. Soient p : X → R+ et q : X → R+ deux applications telles que p(tx) = tp(x) et q(tx) = tq(x) pour
tout t > 0 et x ∈ X. Montrer que si (p(x) ≤ r ⇒ q(x) ≤ s) (r, s > 0), alors q(x) ≤ sr−1 p(x).
2. En déduire les faits suivants :
(a) Soit T : (X, P) → (Y, P 0 ) une application linéaire, où P 0 = {pj }j∈J est une famille de seminormes sur Y . Montrer que T est continue si, et seulement si, pour tout j ∈ J il existe K ⊂ I
fini et c ≥ 0 tels que pour tout x ∈ X, pj (T (x)) ≤ cpK (x).
(b) Soit P 0 = {pj }j∈J une seconde famille de semi-normes sur X. Montrer que la topologie associée
à P 0 est moins fine que celle associée à P si, et seulement si, pour tout j ∈ J il existe K ⊂ I
fini et c ≥ 0 tels que pour tout x ∈ X, pj (x) ≤ cpK (x).
Exercice 9 Soit A une partie
N), et α = (αn )
P∞ dénombrable de [0, 1] formée d’éléments distincts an (n ∈P
∞
une suite de R+ telle que n=0 αn < +∞. Pour tout f ∈ C([0, 1], R) on pose ||f ||A,α = n=0 αn |f (an )|.
1. Montrer que ||f ||A,α est une semi-norme sur C([0, 1], R), puis que la topologie définie par ||f ||A,α
est moins fine que celle de la convergence uniforme.
2. Montrer qu’il existe une suite (fk ) de fonctions de C([0, 1], R) telle que limk→+∞ ||f ||A,α = 0 et
||fk ||∞ = 1. En déduire que la topologie définie par ||f ||A,α est strictement moins fine que celle de
la convergence uniforme. A quelle condition la semi-norme ||f ||A,α est-elle une norme ?
3. Montrer que ||f ||A,α et ||f ||A0 ,α0 définissent la même topologie si, et seulement si, A = A0 et il existe
c1 , c2 > 0 tels que c1 αn ≤ αn0 ≤ c2 αn pour tout n ∈ N.
B. Topologie de la convergence uniforme locale :
Exercice 10 Soit Ω un ouvert non vide de Rn , et C(Ω) l’espace des fonctions à valeurs complexes continues
sur Ω. On note K(Ω) l’ensemble des parties compactes de Ω. Pour tout K ∈ K(Ω) et f ∈ C(Ω), on pose
||f ||K = supx∈K |f (x)|.
1. Montrer que ||f ||K est une semi-norme sur C(Ω), et que P = {||f ||K , K ∈ K(Ω)} est séparante.
2. Pour tout j ∈ N∗ on pose Kj = {x ∈ Ω, d(x, Rn \ Ω) ≥ 1/j, ||x|| ≤ j}, où || · || est une norme
quelconque fixée sur Rn , et d(x, Rn \Ω) la distance induite de x à Rn \Ω. Montrer que les topologies
définies par P et {||f ||Kj , j ∈ N∗ } coincident.
3. En déduire que (C(Ω), P) est un espace localement convexe métrisable. Exhiber une distance sur
C(Ω) compatible avec la topologie de (C(Ω), P), puis montrer que (C(Ω), P) est une espace de
Fréchet.
4. Vérifier que pour chaque compact K ⊂ Ω, ||f ||K n’est pas une norme sur C(Ω), puis que tout
voisinage de l’origine dans C(Ω) contient une droite complexe. En déduire que (C(Ω), P) n’est pas
normable.
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Exercice 11 Soit Ω un ouvert non vide de Rn , k ∈ N ∪ {∞}, et C k (Ω) l’espace des fonctions à valeurs
complexes de classe C k sur Ω. On note K(Ω) l’ensemble des parties compactes de Ω. Pour tout K ∈ K(Ω),
l ∈ N, et f ∈ C l (Ω), on pose ||f ||K,l = supx∈K,|α|≤l |Dα f (x)|, où pour tout α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn on
note |α| = α1 + . . . + αn , et Dα = ∂xα11 . . . ∂xαnn . En particulier, la famille {|| · ||K,0 , K ∈ K(Ω)} définit la
topologie de la convergence uniforme locale sur C(Ω).
1. Montrer que {|| · ||K,l , K ∈ K(Ω)} et {|| · ||K,l , K ∈ K(Ω), l ∈ N} sont des familles séparantes
de semi-normes sur C l (Ω) et C ∞ (Ω) respectivement. Montrer que dans les deux cas on peut se
restreindre à une famille dénombrable de semi-normes.
2. On munit les espaces C l (Ω) (l ∈ N) et C ∞ (Ω) des topologies définies par les familles de semi-normes
{||·||K,l , K ∈ K(Ω)} et {||·||K,l , K ∈ K(Ω), l ∈ N} respectivement. Montrer que C l (Ω), l ∈ N∪{∞},
est un espace de Fréchet.
P
3. Soit k ∈ N, et P = |α|≤l aα Dα un opérateur différentiel d’ordre l ≤ k à coefficients aα ∈ C k−l (Ω).
Montrer que P est une application linéaire continue de C k (Ω) dans C k−l (Ω).
4. On veut montrer que toute partie fermée bornée de C ∞ (Ω) est compacte :
(a) Soit B une partie bornée de C l (Ω), l > 0. En utilisant le théorème des accroissements finis,
montrer que B est équicontinue sur tout compact K ∈ K(Ω). En déduire que la restriction à
K de toute suite de B sous-converge dans C(K).
(b) Soit i : C l (Ω) → C(Ω) l’injection canonique. En utilisant un procédé diagonal et la suite
croissante de compacts Kj définis dans l’exercice 10, déduire de la question précédente que
i(B) est relativement compacte.
(c) Soit k < l, i : C l (Ω) → C k (Ω) l’injection canonique, et B une partie bornée de C l (Ω). Montrer
que i(B) est relativement compacte. (Utiliser la question 4 et l’exercice 3.)
(d) Conclure.
5. Montrer qu’aucun des espaces C k (Ω), k ∈ N ∪ {∞}, n’est normable. (Utiliser la question précédente
et le théorème de Riesz, ou bien raisonner par l’absurde et comparer les semi-normes de C k (Ω)).
C. Autres :
Exercice 12 Montrer que tout compact d’un e.l.c. est borné.
Exercice 13 Montrer que tout compact d’un e.l.c. de dimension infinie est d’intérieur vide.
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