Espaces localement convexes

Universit´e Montpellier II Ann´ee universitaire 2014-2015
M1 Math´ematiques et Applications
Analyse Fonctionnelle FMMA103
Feuille d’exercices no2
Espaces localement convexes
A. Bases de topologies, espaces vectoriels topologiques, et semi-normes :
Exercice 1 Soit Xun espace topologique, Yun espace m´etrique, et f∈ Cb(X, Y ). D´ecrire une base de
voisinages de fpour la topologie de la convergence uniforme sur Cb(X, Y ), puis pour la topologie de la
convergence simple. (On pourra montrer que cette derni`ere coincide avec la topologie produit sur YXen
identifiant une fonction favec l’uplet (f(x))x∈X, puis consid´erer les ouverts ´el´ementaires de YX.)
Exercice 2 Soit Xun espace vectoriel. Montrer que la topologie discr`ete sur Xn’est pas vectorielle.
(Consid´erer l’application α7→ αa,a∈X.)
Exercice 3 Soit Xun espace vectoriel topologique. Montrer que :
1. Tout voisinage de 0 est absorbant (donc X=∪∞
n=0rnVpour toute suite de r´eels rn>0, rn→ ∞);
2. Tout voisinage de 0 contient un voisinage de 0 qui est ´equilibr´e;
3. L’adh´erence d’un sous-espace vectoriel de Xest un sous-espace vectoriel;
4. Le seul sous-espace vectoriel de Xouvert dans Xest Xlui-mˆeme;
5. Toute suite convergente de Xest born´ee;
6. Toute partie compacte de Xest born´ee;
7. Une partie Ade Xest born´ee si, et seulement si, pour toutes suites (xn)∈ANet (an)∈RNtelle
que lim an= 0, on a lim anxn= 0 ∈X.
Exercice 4 Pour tous f,g∈ C(R,R) on pose δ(f, g) = min{1,supx∈R|f(x)−g(x)|}.
1. Montrer que (C(R,R), δ) est un espace m´etrique complet.
2. En consid´erant les distances δ(0, λf), o`u λ∈Ret f∈ C(R,R) est non born´ee, montrer que
(C(R,R), δ) n’est pas un espace vectoriel topologique.
Exercice 5 Soit T:X→Yune application lin´eaire entre espaces vectoriels topologiques.
1. Montrer que si Xest de dimension finie, alors Test continue.
2. Montrer que si Test continue, alors pour toute partie born´ee Ede X,T(E) est une partie born´ee
de Y(on dit que l’application lin´eaire Test born´ee).
3. En d´eduire que tout espace vectoriel norm´e de dimension infinie poss`ede des formes lin´eaires ainsi
que des endomorphismes non continus (on pourra utiliser l’existence d’une base de X, et consid´erer
une suite infinie de vecteurs de norme ´egale `a 1).
Exercice 6 Soit Xun espace vectoriel topologique r´eel et u:X→Rune forme lin´eaire non nulle.
Montrer que les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:
1. uest continue;
2. Ker(u) est ferm´e;
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3. Ker(u) n’est pas dense dans X;
4. Il existe un voisinage de 0 ∈Xsur lequel uest born´ee.
Exercice 7 Soit n≥2. Pour tout 1 ≤i≤net x= (x1, . . . , xn)∈Rnon pose pi(x) = |xi|.
1. Montrer que piest une semi-norme sur Rn, et que pour chaque partie finie I⊂ {1, . . . , n}la topologie
d´efinie par la famille {pi}i∈Icoincide avec celle d´efinie par la semi-norme pI(x) = maxi∈I(|xi|}. A
quelle condition cette topologie est-elle s´epar´ee ?
2. On suppose n= 2. Montrer que pour tout i∈ {1,2}les boules Br,i ={(x, y)∈R2, pi(x)< r}ne
forment pas une base de voisinages de l’origine pour la topologie usuelle de R2.
Exercice 8 Soient P={pi}i∈Iune famille de semi-normes sur un espace vectoriel X. Pour toute partie
finie Kde Iet tout x∈Xon note pK(x) = maxk∈K{pk(x)}.
1. Soient p:X→R+et q:X→R+deux applications telles que p(tx) = tp(x) et q(tx) = tq(x) pour
tout t > 0 et x∈X. Montrer que si (p(x)≤r⇒q(x)≤s) (r,s > 0), alors q(x)≤sr−1p(x).
2. En d´eduire les faits suivants :
(a) Soit T: (X, P)→(Y, P0) une application lin´eaire, o`u P0={pj}j∈Jest une famille de semi-
normes sur Y. Montrer que Test continue si, et seulement si, pour tout j∈Jil existe K⊂I
fini et c≥0 tels que pour tout x∈X,pj(T(x)) ≤cpK(x).
(b) Soit P0={pj}j∈June seconde famille de semi-normes sur X. Montrer que la topologie associ´ee
`a P0est moins fine que celle associ´ee `a Psi, et seulement si, pour tout j∈Jil existe K⊂I
fini et c≥0 tels que pour tout x∈X,pj(x)≤cpK(x).
Exercice 9 Soit Aune partie d´enombrable de [0,1] form´ee d’´el´ements distincts an(n∈N), et α= (αn)
une suite de R+telle que P∞
n=0 αn<+∞. Pour tout f∈ C([0,1],R) on pose ||f||A,α =P∞ n=0 αn|f(an)|.
1. Montrer que ||f||A,α est une semi-norme sur C([0,1],R), puis que la topologie d´efinie par ||f||A,α
est moins fine que celle de la convergence uniforme.
2. Montrer qu’il existe une suite (fk) de fonctions de C([0,1],R) telle que limk→+∞||f||A,α = 0 et
||fk||∞= 1. En d´eduire que la topologie d´efinie par ||f||A,α est strictement moins fine que celle de
la convergence uniforme. A quelle condition la semi-norme ||f||A,α est-elle une norme ?
3. Montrer que ||f||A,α et ||f||A0,α0d´efinissent la mˆeme topologie si, et seulement si, A=A0et il existe
c1,c2>0 tels que c1αn≤α0
n≤c2αnpour tout n∈N.
B. Topologie de la convergence uniforme locale :
Exercice 10 Soit Ω un ouvert non vide de Rn, et C(Ω) l’espace des fonctions `a valeurs complexes continues
sur Ω. On note K(Ω) l’ensemble des parties compactes de Ω. Pour tout K∈K(Ω) et f∈ C(Ω), on pose
||f||K= supx∈K|f(x)|.
1. Montrer que ||f||Kest une semi-norme sur C(Ω), et que P={||f||K, K ∈K(Ω)}est s´eparante.
2. Pour tout j∈N∗on pose Kj={x∈Ω, d(x, Rn\Ω) ≥1/j, ||x|| ≤ j}, o`u || · || est une norme
quelconque fix´ee sur Rn, et d(x, Rn\Ω) la distance induite de x`a Rn\Ω. Montrer que les topologies
d´efinies par Pet {||f||Kj, j ∈N∗}coincident.
3. En d´eduire que (C(Ω),P) est un espace localement convexe m´etrisable. Exhiber une distance sur
C(Ω) compatible avec la topologie de (C(Ω),P), puis montrer que (C(Ω),P) est une espace de
Fr´echet.
4. V´erifier que pour chaque compact K⊂Ω, ||f||Kn’est pas une norme sur C(Ω), puis que tout
voisinage de l’origine dans C(Ω) contient une droite complexe. En d´eduire que (C(Ω),P) n’est pas
normable.
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Exercice 11 Soit Ω un ouvert non vide de Rn,k∈N∪ {∞}, et Ck(Ω) l’espace des fonctions `a valeurs
complexes de classe Cksur Ω. On note K(Ω) l’ensemble des parties compactes de Ω. Pour tout K∈K(Ω),
l∈N, et f∈ Cl(Ω), on pose ||f||K,l = supx∈K,|α|≤l|Dαf(x)|, o`u pour tout α= (α1, . . . , αn)∈Nnon
note |α|=α1+. . . +αn, et Dα=∂α1
x1. . . ∂αn xn. En particulier, la famille {|| · ||K,0, K ∈K(Ω)}d´efinit la
topologie de la convergence uniforme locale sur C(Ω).
1. Montrer que {|| · ||K,l, K ∈K(Ω)}et {|| · ||K,l, K ∈K(Ω), l ∈N}sont des familles s´eparantes
de semi-normes sur Cl(Ω) et C∞(Ω) respectivement. Montrer que dans les deux cas on peut se
restreindre `a une famille d´enombrable de semi-normes.
2. On munit les espaces Cl(Ω) (l∈N) et C∞(Ω) des topologies d´efinies par les familles de semi-normes
{||·||K,l, K ∈K(Ω)}et {||·||K,l, K ∈K(Ω), l ∈N}respectivement. Montrer que Cl(Ω), l∈N∪{∞},
est un espace de Fr´echet.
3. Soit k∈N, et P=P|α|≤laαDαun op´erateur diff´erentiel d’ordre l≤k`a coefficients aα∈ Ck−l(Ω).
Montrer que Pest une application lin´eaire continue de Ck(Ω) dans Ck−l(Ω).
4. On veut montrer que toute partie ferm´ee born´ee de C∞(Ω) est compacte :
(a) Soit Bune partie born´ee de Cl(Ω), l > 0. En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis,
montrer que Best ´equicontinue sur tout compact K∈K(Ω). En d´eduire que la restriction `a
Kde toute suite de Bsous-converge dans C(K).
(b) Soit i:Cl(Ω) → C(Ω) l’injection canonique. En utilisant un proc´ed´e diagonal et la suite
croissante de compacts Kjd´efinis dans l’exercice 10, d´eduire de la question pr´ec´edente que
i(B) est relativement compacte.
(c) Soit k < l,i:Cl(Ω) → Ck(Ω) l’injection canonique, et Bune partie born´ee de Cl(Ω). Montrer
que i(B) est relativement compacte. (Utiliser la question 4 et l’exercice 3.)
(d) Conclure.
5. Montrer qu’aucun des espaces Ck(Ω), k∈N∪ {∞}, n’est normable. (Utiliser la question pr´ec´edente
et le th´eor`eme de Riesz, ou bien raisonner par l’absurde et comparer les semi-normes de Ck(Ω)).
C. Autres :
Exercice 12 Montrer que tout compact d’un e.l.c. est born´e.
Exercice 13 Montrer que tout compact d’un e.l.c. de dimension infinie est d’int´erieur vide.
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