ouverts est -banach-alaoglu -depuis -kg

Universit´e Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
2 - VOCABULAIRE DES ESPACES TOPOLOGIQUES
Quizz
Exercice 1 – Ouverts, ferm´es
a) L’intervalle [0; 1[ est-il ouvert (resp. ferm´e) dans R?
b) Dans R2euclidien, les parties suivantes sont-elles des ouverts :
{(x, y)/−1<x<1,−1< y < 1},{(x, y)/−1≤x < 1,−1≤y < 1}
Exercice 2 – Topologie induite
a) D´ecrire les ouverts et les ferm´es de [a;b[ et [a; +∞[ pour la topologie induite par R.
b) Dans R2, on consid`ere l’axe des abscisses Aet a∈A: quel est le lien entre les voisinages de adans
Aet dans R2?
Exercice 3 – Adh´erence, suites
a) Si Aest `a la fois dense et ferm´e dans X, que peut-on dire ?
b) Soit (xn) une suite dans un espace m´etrique : montrer que si (xn) converge, elle n’a qu’une seule valeur
d’adh´erence, mais que la r´eciproque est fausse.
Pour s’entraˆıner
Exercice 4
a) Pour Xun ensemble muni de la distance discr`ete, d´ecrire les boules ouvertes, les boules ferm´ees, puis
les ouverts et les ferm´es.
b) Dans R2euclidien, ]0; 1[×{0}est-il ouvert ? [0; 1] × {0}est-il ferm´e ?
Exercice 5
a) Soit (E, d) un espace m´etrique et A⊂E,x∈E: montrer que x∈A⇔d(x, A) = 0.
b) Montrer que dans un espace m´etrique, les singletons sont ferm´es.
Exercice 6
On sait que pour tous nombres r´eels x<y, il existe un rationnel r∈]x;y[.
a) En d´eduire que tout r´eel xest limite d’une suite de rationnels (rn)n.
b) V´erifier que rn= 10−nE(10nx) convient.
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Exercice 7
Soit E=C([0; 1],R) muni de la norme N∞, et A={f∈E| ∀t∈[0; 1], f(t)>0}. Montrer que pour
tout f∈A, il existe r > 0 tel que B(f, r)⊂A. Que peut-on en d´eduire sur A?
Exercice 8
a) Montrer que si A⊂Bsont deux parties d’un espace topologique X, alors
◦
A⊂
◦
Bet A⊂B.
b) V´erifier que A=Aet
◦
◦
A=
◦
A. Montrer que
◦
A⊂Aet
◦
A⊂
◦
A, mais que ces deux inclusions peuvent ˆetre
strictes (par exemple pour A=Qdans R).
Exercice 9
Soit Eun K-espace vectoriel norm´e. Montrer que A⊂Eest d’int´erieur non vide si et seulement si A
contient une boule ouverte. En d´eduire que tout sous-espace vectoriel strict Fde Eest d’int´erieur vide
(raisonner par l’absurde, et montrer que Fcontient alors E).
Les essentiels
Exercice 10 – Un exemple d’espace topologique non s´epar´e
Sur X=R2, on d´efinit Ocomme l’ensemble des parties de Xqui sont r´eunion de droites verticales,
augment´e de ∅.
a) Montrer que Od´efinit une topologie sur X. En donner une base.
b) Pour x= (a, b)∈X, d´ecrire les voisinages de x. S’agit-il de la topologie euclidienne sur R2?
c) Un espace topologique est dit s´epar´e si pour tous x6=y, on peut trouver deux ouverts disjoints U3x
et V3y. Montrer que Xn’est pas s´epar´e.
d) Soit xn= (0,1/n) : v´erifier que tout point (0, b) est limite dans Xde la suite (xn).
e) Quelle est la topologie induite sur l’axe des abscisses ? Sur l’axe des ordonn´ees ?
Exercice 11
Soit (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces m´etriques. Dans l’espace (E1×E2, dmax), on sait (cours) que tout
produit de ferm´es est un ferm´e. En d´eduire que tout produit d’ouverts est un ouvert.
Exercice 12
Soit (E, d) un espace m´etrique.
a) Montrer que B(a, r)⊂BF (a, r) et donner un exemple d’inclusion stricte (on pourra consid´erer par
exemple E={0} ∪ [1; +∞[).
b) Montrer qu’il y a ´egalit´e dans un K-espace vectoriel norm´e.
Exercice 13
Soit E=`∞(C) l’ensemble des suites born´ees, muni de la norme N∞.
a) Montrer, en utilisant la d´efinition d’un ferm´e, que F={u= (un)∈E/ u0= 1}est ferm´e dans E.
b) Pour k∈N, on pose
v(k)= (0,...,0,1,0,...,0, . . .)
o`u le 1 se trouve `a la ki`eme place. Calculer N∞(v(k)) et N∞(v(k)−v(l)). En d´eduire que (v(k))kest
une suite d’´el´ements de la boule unit´e ferm´ee de Equi n’admet aucune sous-suite convergente.
c) Soit Al’ensemble des suites stationnaires (i.e. constantes `a partir d’un certain rang), et ula suite de
terme g´en´eral un=1
n+1 : montrer que u∈A.
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Pour aller plus loin
Exercice 14 – Densit´e de aZ+bZdans R
Soit a, b des r´eels non nuls et H=aZ+bZ={ak +bl/ k, l ∈Z}.
a) V´erifier que Hest un sous-groupe de (R,+). A quelle condition existe-t-il c∈Rtel que H=cZ?
b) En d´eduire, en utilisant la classification des sous-groupes de (R,+), que Hest dense dans Rsi et
seulement si a
b/∈Q.
Exercice 15 – Topologie produit
a) Soit (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces m´etriques. Montrer que, dans (E1×E2, dmax ), les ouverts sont
exactement les r´eunions de produits d’ouverts.
b) Donner dans R×Run exemple d’ouvert qui ne soit pas de la forme O1×O2avec O1, O2des ouverts
de R.
c) Si Xet Ysont deux espaces topologiques, que peut-on mettre comme topologie sur le produit X×Y?
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