Entiers Naturels

Universit´e de Provence -
Licence MI 1`ere ann´ee-S1
Math´ematiques g´en´erales II
Les entiers naturels N
Dans ce chapitre on va survoler les propri´et´es de l’ensemble des entiers naturels N. La th´eorie des ensembles
permet de prouver l’existence des sous ensembles de N, mais l’ensemble de tous les entiers est un axiome,
appel´e axiome de l’infini. On ne discutera pas ici de l’existence de l’ensemble N. On renvoit pour cela
l’´etudiant aux livres sur les ensembles et les nombres.
1 D´efinition
D´efinition 1.1 Axiome
Il existe un unique ensemble appel´e Nv´erifiant les trois axiomes suivants :
1. Nest totalement ordonn´e et toute partie non vide de Nadmet un plus petit ´el´ement (on dit qu’il est bien
ordonn´e). En particulier Na un plus petit ´el´ement.
2. Nn’a pas de plus grand ´el´ement.
3. Tout ´el´ement de N∗a un pr´ed´ecesseur.
Notation : les ensembles {n, ..., m}se notent [[n, m]] pour n<m.
Remarques 1.2 1. Soit a∈N∗alors a−1est le pr´ed´ecesseur de aet a+ 1 est le successeur de a.
2. Les propri´et´es de Npermettent de d´emontrer le th´eor`eme de la r´ecurrence.
(rappel : Soit A une propri´et´e qui d´efinit un sous-ensemble Ade N. Si cette propri´et´e est vraie pour 0et si
le fait que ce soit vrai pour nimplique que A est vraie pour n+ 1, alors A=N.)
Lois internes
On peut munir Nd’une addition + et d’une multiplication .(les lois usuelles) qui sont associatives,
commutatives avec chacune un neutre : 0 pour l’addition et 1 pour la multiplication. La multiplication est
distributive par rapport `a l’addition.
Mais aucun ´el´ement (sauf les neutres pour chacun loi) n’a de sym´etrique par rapport `a chaque op´eration.
2 Les ensembles finis
2.0.1 D´efinition
D´efinition 2.1 Soit Eun ensemble. Eest fini si et seulement si ∃n∈Net f:E→[[1, n]] telle que fsoit
une bijection.
Le nombre nest le cardinal de cet ensemble.
On dit que Eest infini s’il n’est pas fini.
Exemple : Nest infini.
Th´eor`eme 2.2 Soit f: [[1, m]] →[[1, n]] une injection. Alors m≤n.
Preuve. : On fait la r´ecurrence sur m.
Pour m= 1 : f:{1} → [[1, n]] une injection. Alors n≥1.
Soit m≥1. On suppose la propri´et´e vraie `a ce rang. Soit f: [[1, m + 1]] →[[1, n]] une injection.
La restriction de f `a [[1, m]] est aussi une injection et par hypoth`ese n≥m. Il suffit de montrer que n6=m.

2 LES ENSEMBLES FINIS FONDEMENTS – 2
Supposons que m=n. Alors f: [[1, n + 1]] →[[1, n]] est une injection. Donc chaque ´el´ement de l’espace de
d´epart doit avoir sa propre image . C’est impossible car il y a plus d’´el´ements au d´epart qu’`a l’arriv´ee.
Corollaire 2.3 Soit f: [[1, n]] →[[1, m]] une bijection. Alors m=n.
Th´eor`eme 2.4 Soit Eune partie non vide de N. La partie Eest finie si et seulement si Eest major´ee.
Corollaire 2.5 1. Tout sous ensemble d’un ensemble fini est fini.
2. Toute intersection (et tout r´eunion finie) d’ensembles finis est finie.
3. Le compl´ementaire dans Nd’un ensemble fini est infini.
2.0.2 Propri´et´es des ensembles finis
D´efinition 2.6 Soient Eet Fdeux ensembles.
Eest ´equipotent `a Fsi et seulement si il existe une bijection entre Eet F.
Remarque 2.7 C’est une relation d’´equivalence sur les ensembles.
Th´eor`eme 2.8 Soit Fun ensemble. S’il existe une bijection de Fsur [[1, n]] et de F sur [[1,m ]] ; alors
m=n.
Preuve. : on construit une bijection de [[1, n]] sur [[1, m]], d’o`u m=n.
Th´eor`eme 2.9 Soient Eet Fdeux ensembles finis de mˆeme cardinal.
Soit f:E→Fune application.
Alors fest injective si et seulement si fest surjective si et seulement si fest bijective.
EXERCICE 1
Faire la preuve de ce th´eor`eme.
Th´eor`eme 2.10 Soient Eet Fdeux ensembles finis.
S’il existe f:E→Finjective alors card(E)≤card(F).
S’il existe f:E→Fsurjective alors card(E)≥card(F).
2.0.3 Disgression sur les Ensembles infinis
On dit qu’un ensemble Eest d´enombrable si et seulement si il existe un bijection de Nsur E.
On dit qu’un ensemble est non d´enombrable si et seulement si il est infini et non ´equipotent `a N.
En particulier, les ensembles d´enombrables sont infinis.
Tous les ensembles infinis ne sont pas d´enombrables.
Th´eor`eme 2.11 L’intervalle [0,1] est non-d´enombrable.
On ne discutera pas ici des preuves de ce th´eor`eme, ni mˆeme de la cardinalit´e des ensembles infinis. On
invite l’´etudiant passionn´e `a se plonger dans les livres sur les ensembles et les nombres, ainsi qu’`a la fiche de
TD ”Ensembles infinis”.
Camille Pl´enat Universit´e de Marseille-Provence

3 LES NOMBRES PREMIERS FONDEMENTS – 3
2.1 Divisibilit´e dans N
D´efinition 2.12 Soit (a, b)∈N2. On dit que a divise b dans N, not´e a/b,⇐⇒ ∃c∈Ntel que b=ac.
On notera c=a
b.
D´efinition 2.13 On dit que mest un multiple de nsi et seulement si ∃a∈Ntel que m=an.
Exemple 2.14 1) Un entier naturel nest dit pair si et seulement si 2/n (sinon il est impair).
2) ∀a∈Na/0
Proposition 2.1 La relation /est une relation d’ordre dans N.
EXERCICE 2
Faire la preuve.
Propri´et´es 2.15 on a les propri´et´ees suivantes :
1. ∀a, b, c ∈N(a/b →a/bc)
2. ∀a, b, c ∈N(a/b et a/c ⇒a/(b+c))
3. ∀a, b, c, d ∈N(a/b et c/d ⇒ac/bd)
4. ∀a, b ∈Net n∈N∗a/b ⇒an/bn
Th´eor`eme 2.16 Division Euclidienne Soient m, n ∈N∗tel que m≥n. Alors il existe q, r ∈Ntels que
m=nq +r. On dit que qest le quotient de mpar net rle reste de la division.
On fera la preuve de l’existence de qet rdans le chapitre suivant .
3 Les nombres premiers
D´efinition 3.1 Un ´el´ement p∈Nest dit premier si et seulement si (p≥2et (a/p ⇒a= 1 ou a =p))
On dit qu’ un entier naturel est compos´e s’il n’est pas premier.
Th´eor`eme 3.2 Soit n≥2un entier naturel. Alors nadmet un et au moins un facteur irr´eductible .
Preuve. : On consid`ere l’ensemble F des diviseurs de n dans N\{1}. Cet ensemble est un sous ensemble non
vide (car il contient au moins n) de N\{1}et donc admet un plus petit ´el´ement p. Cet ´el´ement est premier
car sinon il y aurait un entier qui diviserait pet donc n, contradiction sur p.
Th´eor`eme 3.3 Soit nun entier et pun nombre premier . Alors soit pdivise nsoit pest premier avec n.
D´efinition 3.4 pet nsont premiers entre eux si et seulement si le seul diviseur commun est 1.
Preuve. : Supposons que pn’est pas premier avec n. Alors par d´efinition il existe d∈N∗\{1}tel que d/p et
d/n. Or pest premier, donc par d´efinition d=pet donc p/n.
Th´eor`eme 3.5 Soit pun nombre premier. Soient a1, ..., an∈N.
Alors p/a1...ansi et seulement si ∃1≤i≤ntel que p/ai
La preuve se fait par contradiction.(Apr`es avoir vu le PGCG dans le chapitre suivant).
Camille Pl´enat Universit´e de Marseille-Provence

3 LES NOMBRES PREMIERS FONDEMENTS – 4
Th´eor`eme 3.6 L’ensemble des nombres premiers est infini.
Preuve. :
Supposons que cet ensemble soit fini. Notons p1, ..., pnses ´el´ements.
Soit k=p1...pn+ 1. Alors kest un entier naturel diff´erent de p1, ..., pn(car strictement plus grand). De plus
il admet au moins un diviseur premier p, qui est diff´erent de pi∀icar pine divise pas k. Il existe donc un
(n+ 1)ˆı`eme nombre premier : contradiction.
Th´eor`eme 3.7 Tout entier nnon premier a au moins un diviseur ptel que p2≤n.
EXERCICE 3
Faire la preuve.
Th´eor`eme 3.8 D´ecomposition primaire
Soit n∈N\{0,1}. Alors nadmet une d´ecomposition unique en produit de nombres premiers.
I.e. ∃p1, ...pnpremiers et α1, ..., αn∈N∗tels que n=Qn
1pαk
k.
Preuve. :
L’existence et l’unicit´e se prouvent par r´ecurrence `a partir de n= 2.
Remarques 3.9 1. On peut reprendre tout ce paragraphe pour les entiers relatifs ; on parlera alors d’entiers
irr´eductibles si et seulement si l’entier relatif consid´er´e n’est divisible que par ±1et ±p.
2. On verra des cons´equences de ces th´eor`emes dans le chapitre suivant quand on calculera le plus grand
diviseur commun (pgcd) de deux entiers, ainsi que le plus petit multiple commun (ppcm) de deux entiers .
Camille Pl´enat Universit´e de Marseille-Provence