Entiers Naturels

Université de Provence
Licence MI
-
1ère année-S1
Mathématiques générales II
Les entiers naturels
N
Dans ce chapitre on va survoler les propriétés de l’ensemble des entiers naturels N. La théorie des ensembles
permet de prouver l’existence des sous ensembles de N, mais l’ensemble de tous les entiers est un axiome,
appelé axiome de l’infini. On ne discutera pas ici de l’existence de l’ensemble N. On renvoit pour cela
l’étudiant aux livres sur les ensembles et les nombres.
1
Définition
Définition 1.1 Axiome
Il existe un unique ensemble appelé N vérifiant les trois axiomes suivants :
1. N est totalement ordonné et toute partie non vide de N admet un plus petit élément (on dit qu’il est bien
ordonné). En particulier N a un plus petit élément.
2. N n’a pas de plus grand élément.
3. Tout élément de N∗ a un prédécesseur.
Notation : les ensembles {n, ..., m} se notent [[n, m]] pour n < m.
Remarques 1.2 1. Soit a ∈ N∗ alors a − 1 est le prédécesseur de a et a + 1 est le successeur de a.
2. Les propriétés de N permettent de démontrer le théorème de la récurrence.
(rappel : Soit A une propriété qui définit un sous-ensemble A de N. Si cette propriété est vraie pour 0 et si
le fait que ce soit vrai pour n implique que A est vraie pour n + 1, alors A = N.)
Lois internes
On peut munir N d’une addition + et d’une multiplication . (les lois usuelles) qui sont associatives,
commutatives avec chacune un neutre : 0 pour l’addition et 1 pour la multiplication. La multiplication est
distributive par rapport à l’addition.
Mais aucun élément (sauf les neutres pour chacun loi) n’a de symétrique par rapport à chaque opération.
2
2.0.1
Les ensembles finis
Définition
Définition 2.1 Soit E un ensemble. E est fini si et seulement si ∃n ∈ N et f : E → [[1, n]] telle que f soit
une bijection.
Le nombre n est le cardinal de cet ensemble.
On dit que E est infini s’il n’est pas fini.
Exemple : N est infini.
Théorème 2.2 Soit f : [[1, m]] → [[1, n]] une injection. Alors m ≤ n.
Preuve. : On fait la récurrence sur m.
Pour m = 1 : f : {1} → [[1, n]] une injection. Alors n ≥ 1.
Soit m ≥ 1. On suppose la propriété vraie à ce rang. Soit f : [[1, m + 1]] → [[1, n]] une injection.
La restriction de f à [[1, m]] est aussi une injection et par hypothèse n ≥ m. Il suffit de montrer que n 6= m.
2
LES ENSEMBLES FINIS
FONDEMENTS – 2
Supposons que m = n. Alors f : [[1, n + 1]] → [[1, n]] est une injection. Donc chaque élément de l’espace de
départ doit avoir sa propre image . C’est impossible car il y a plus d’éléments au départ qu’à l’arrivée.
Corollaire 2.3 Soit f : [[1, n]] → [[1, m]] une bijection. Alors m = n.
Théorème 2.4 Soit E une partie non vide de N. La partie E est finie si et seulement si E est majorée.
Corollaire 2.5 1. Tout sous ensemble d’un ensemble fini est fini.
2. Toute intersection (et tout réunion finie) d’ensembles finis est finie.
3. Le complémentaire dans N d’un ensemble fini est infini.
2.0.2
Propriétés des ensembles finis
Définition 2.6 Soient E et F deux ensembles.
E est équipotent à F si et seulement si il existe une bijection entre E et F .
Remarque 2.7 C’est une relation d’équivalence sur les ensembles.
Théorème 2.8 Soit F un ensemble. S’il existe une bijection de F sur [[1, n]] et de F sur [[1,m ]] ; alors
m = n.
Preuve. : on construit une bijection de [[1, n]] sur [[1, m]], d’où m = n.
Théorème 2.9 Soient E et F deux ensembles finis de même cardinal.
Soit f : E → F une application.
Alors f est injective si et seulement si f est surjective si et seulement si f est bijective.
EXERCICE 1
Faire la preuve de ce théorème.
Théorème 2.10 Soient E et F deux ensembles finis.
S’il existe f : E → F injective alors card(E) ≤ card(F ).
S’il existe f : E → F surjective alors card(E) ≥ card(F ).
2.0.3
Disgression sur les Ensembles infinis
On dit qu’un ensemble E est dénombrable si et seulement si il existe un bijection de N sur E.
On dit qu’un ensemble est non dénombrable si et seulement si il est infini et non équipotent à N.
En particulier, les ensembles dénombrables sont infinis.
Tous les ensembles infinis ne sont pas dénombrables.
Théorème 2.11 L’intervalle [0, 1] est non-dénombrable.
On ne discutera pas ici des preuves de ce théorème, ni même de la cardinalité des ensembles infinis. On
invite l’étudiant passionné à se plonger dans les livres sur les ensembles et les nombres, ainsi qu’à la fiche de
TD ”Ensembles infinis”.
Camille Plénat
Université de Marseille-Provence
3
LES NOMBRES PREMIERS
2.1
FONDEMENTS – 3
Divisibilité dans N
Définition 2.12 Soit (a, b) ∈ N2 . On dit que a divise b dans N, noté a/b, ⇐⇒ ∃c ∈ N tel que b = ac.
On notera c = ab .
Définition 2.13 On dit que m est un multiple de n si et seulement si ∃a ∈ N tel que m = an.
Exemple 2.14 1) Un entier naturel n est dit pair si et seulement si 2/n (sinon il est impair).
2) ∀a ∈ N a/0
Proposition 2.1 La relation / est une relation d’ordre dans N.
EXERCICE 2
Faire la preuve.
Propriétés 2.15 on a les propriétées suivantes :
1. ∀a, b, c ∈ N (a/b → a/bc)
2. ∀a, b, c ∈ N (a/b et a/c ⇒ a/(b + c))
3. ∀a, b, c, d ∈ N (a/b et c/d ⇒ ac/bd)
4. ∀a, b ∈ N et n ∈ N∗ a/b ⇒ an /bn
Théorème 2.16 Division Euclidienne Soient m, n ∈ N∗ tel que m ≥ n. Alors il existe q, r ∈ N tels que
m = nq + r. On dit que q est le quotient de m par n et r le reste de la division.
On fera la preuve de l’existence de q et r dans le chapitre suivant .
3
Les nombres premiers
Définition 3.1 Un élément p ∈ N est dit premier si et seulement si (p ≥ 2 et (a/p ⇒ a = 1 ou a = p))
On dit qu’ un entier naturel est composé s’il n’est pas premier.
Théorème 3.2 Soit n ≥ 2 un entier naturel. Alors n admet un et au moins un facteur irréductible .
Preuve. : On considère l’ensemble F des diviseurs de n dans N\{1}. Cet ensemble est un sous ensemble non
vide (car il contient au moins n) de N\{1} et donc admet un plus petit élément p. Cet élément est premier
car sinon il y aurait un entier qui diviserait p et donc n, contradiction sur p.
Théorème 3.3 Soit n un entier et p un nombre premier . Alors soit p divise n soit p est premier avec n.
Définition 3.4 p et n sont premiers entre eux si et seulement si le seul diviseur commun est 1.
Preuve. : Supposons que p n’est pas premier avec n. Alors par définition il existe d ∈ N∗ \{1} tel que d/p et
d/n. Or p est premier, donc par définition d = p et donc p/n.
Théorème 3.5 Soit p un nombre premier. Soient a1 , ..., an ∈ N.
Alors p/a1 ...an si et seulement si ∃1 ≤ i ≤ n tel que p/ai
La preuve se fait par contradiction.(Après avoir vu le PGCG dans le chapitre suivant).
Camille Plénat
Université de Marseille-Provence
3
LES NOMBRES PREMIERS
FONDEMENTS – 4
Théorème 3.6 L’ensemble des nombres premiers est infini.
Preuve. :
Supposons que cet ensemble soit fini. Notons p1 , ..., pn ses éléments.
Soit k = p1 ...pn + 1. Alors k est un entier naturel différent de p1 , ..., pn (car strictement plus grand). De plus
il admet au moins un diviseur premier p , qui est différent de pi ∀i car pi ne divise pas k. Il existe donc un
(n + 1)ı̂ème nombre premier : contradiction.
Théorème 3.7 Tout entier n non premier a au moins un diviseur p tel que p2 ≤ n.
EXERCICE 3
Faire la preuve.
Théorème 3.8 Décomposition primaire
Soit n ∈ N\{0, 1}. Alors n admet une décomposition unique
Qn ken produit de nombres premiers.
I.e. ∃p1 , ...pn premiers et α1 , ..., αn ∈ N∗ tels que n = 1 pα
k .
Preuve. :
L’existence et l’unicité se prouvent par récurrence à partir de n = 2.
Remarques 3.9 1. On peut reprendre tout ce paragraphe pour les entiers relatifs ; on parlera alors d’entiers
irréductibles si et seulement si l’entier relatif considéré n’est divisible que par ±1 et ±p.
2. On verra des conséquences de ces théorèmes dans le chapitre suivant quand on calculera le plus grand
diviseur commun (pgcd) de deux entiers, ainsi que le plus petit multiple commun (ppcm) de deux entiers .
Camille Plénat
Université de Marseille-Provence