ensembles, relations, lois de composition [PDF: 82 ko]

Universit´ e Antilles–Guyane DEUG MIAS 2eann´ee
UFR Sciences Exactes et Naturelles Alg`ebre 3
D´ ept Scientifique Interfacultaire 1er semestre 2005-2006
T.D. s´erie 4 : ensembles, relations, lois de composition
Ensembles
Exercice 1. (a) En fonction de x, y ∈R, donner le cardinal de l’ensemble {x, y}.
(b) L’ensemble vide ∅est d´efini par : ∀x:x /∈ ∅. En d´eduire :
(i) ∅ ⊂ Epour tout E; (ii) A⊂ ∅⇒A=∅; (iii) P(∅) = {∅}.
(c) Pour les parties A= ]−1,2] et B= [1,3[ de R, d´eterminer :
(i) B\Aet (ii) B−A={b−a;a∈A, b ∈B}.
Exercice 2. Faire un sch´ema avec deux ensembles non disjoints pour illustrer les
lois de de Morgan, et la diff´erence sym´etrique A∆B= (A∪B)\(A∩B).
Relations
Exercice 3. Pour deux relations R:E→F,S:F→G, on d´efinit la relation
compos´ee S◦R:E→Gpar x(S◦R)z⇐⇒ ∃y∈F:xRy∧ySz.
(a) Montrer que la composition est associative, c-`a-d. :
(T◦S)◦R=T◦(S◦R), pour toute relation T⊂G×H.
(b) Une relation Rest une fonction ssi ∀x, y, y0:xRy∧xRy0⇒y=y0.
Montrer que la compos´ee de deux fonctions est une fonction.
(c) Montrer que S◦Rest injective si Ret Sle sont. L’injectivit´e de R
est-elle n´ecessaire ? et celle de S?
(d) Montrer que S◦Rest surjective si Ret Sle sont. La surjectivit´e de S
est-elle suffisante ? n´ecessaire ? et celle de R?
(e) Sous quelle condition est-ce que la r´eciproque R−1d’une relation R
est-elle une fonction ? Sous quelle condition est-elle surjective ?
Relations d’ordre
Exercice 4. Soient (E, R) et (F, S) deux ensembles ordonn´es. On appelle ordre
lexicographique sur E×Fla relation binaire d´efinie sur E×Fpar
(x, y)T(x0, y0)⇐⇒ (xRx0∧x6=x0)∨(x=x0∧ySy0).
Montrer que c’est une relation d’ordre. G´en´eraliser `a un ordre sur En, n ∈N∗ .
Relations d’´ equivalence
Exercice 5. (a) Montrer que la relation : xRy⇐⇒ x−yest divisible par 5,
est une relation d’´equivalence sur Z. D´ecrire l’ensemble quotient Z/R.
(b) Montrer que si xRx0et yRy0, alors (x+y)R(x0+y0) et (x y)R(x0y0).
Exercice 6. Soient Ret Sdes relations d’´equivalence sur des ensembles Eet F.
Sur E×F, on d´efinit une relation binaire Tpar :
(x, y)T(x0, y0)⇐⇒ xRx0∧ySy0.
(a) Montrer que Test une relation d’´equivalence.
(b) Exhiber une bijection entre (E×F)/Tet (E/R)×(F/S).

Exercice 7. Soient E,Fdeux ensembles, f:E→Fune application, et Sune
relation binaire sur F. Montrer que la relation binaire Rd´efinie sur Epar
∀x, y ∈E:xRy⇐⇒ f(x)Sf(y) (∗)
h´erite des propri´et´es (r´eflexivit´e, transitivit´e, sym´etrie,...) de la relation S.
Exercice 8. Soient R,Sdes relations d’´equivalence sur des ensembles Eet F
respectivement. Une application f:E→Fest dite compatible avec les re-
lations Ret Ssi, et seulement si, elle v´erifie ∀x, y ∈E:xRy⇒f(x)Sf(y).
(a) Soit fcompatible avec Ret S. Montrer qu’il existe une unique applica-
tion g:E/ R→F/ Stelle que le diagramme suivant soit commutatif :
Ef −→ F
π↓ ↓ π0
E/ Rg −→ F/ S
,
c’est-`a-dire telle que π0◦f=g◦π(avec π:x7→ c`(x)).
(b) R´eciproquement, supposons qu’il existe g:E/ R→F/ S, telle que
π0◦f=g◦π. Montrer que fest compatible avec Ret S.
Lois de composition
Exercice 9. Etudier les suivantes lois de composition internes sur R(associati-
vit´e, commutativit´e, existence d’un ´el´ement neutre, ´el´ements inversibles) :
(a) ab=√a2+b2,
(b) a∗b=a+b−ab ; calculer an=a∗···∗apour tout n∈N∗.
(c) a∇b=a+b+|a−b|
2.
Exercice 10. Sur les parties P(E) d’un ensemble E, l’union, l’intersection et la
diff´erence sym´etrique sont des l.c.i. ´ Etudier les propri´et´es de ces lois.
Exercice 11. Etudier la loi d´efinie sur E=Q2par : (a, b)|(a0, b0) = (aa0, ba0+b0).
Exercice 12. On consid`ere l’ensemble G=R∗×R, muni de la loi (x, y) & (x0, y0) =
(x x0, y x0+f(x)y0), Quelles conditions doit v´erifier l’application f:R∗→R
pour que & soit commutative ? associative ? admette un ´el´ement neutre ?
Quels sont dans ce dernier cas les ´el´ements inversibles ?
Exercice 13. Trouver une condition n´ecessaire et suffisante sur (a, b, c)∈R3
pour que Rmuni de la loi x∗y=a(x+y) + b x y +csoit un groupe.
Morphismes
Exercice 14. Soit fun morphisme d’un magma (G, ·) dans un magma (H, ∗).
Montrer que si (G, ·) est un groupe ab´elien, alors (f(G),∗) l’est aussi.
(On parle de «transport de structure »par un morphisme surjectif.)
Attention : A-t-on toujours f(eG) = eH? (Consid´erer o:R∗→R, x 7→ 0.)
Exercice 15. Montrer que l’application r´eciproque d’un isomorphisme (c’est-`a-
dire d’un morphisme bijectif) en est un aussi.
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