Chapitre 5 : Fonction exponentielle

Chapitre 5 : Fonction exponentielle
QCM Pour bien commencer
(cf. p. 162 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Exercice n°1
Une équation de la tangente à la courbe de la fonction x ↦ ax2 + bx + c au point d’abscisse d :
A est y = 2ax + b.
B est y = 2adx + bx – ad2 + c.
C est y = a(x – d) + ax2 + bx + c.
D ne peut pas être trouvée.
Réponse juste : B.
f’(d)=2ad + b et f(d) = ad2 + bd + c donc une équation de la tangente en d est :
y = (2ad + b)(x – d) + ad2 + bd + c = 2adx + bx – ad2 + c.
Exercice n°2
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x + 5.
Si on note f’ la fonction dérivée de f, on peut affirmer que :
A pour tout nombre réel x, on a x f’(x) + 5 = f(x).
B il existe un nombre réel x tel que f’(x) = f(x).
C pour tout nombre réel x, on a f’(x) = f(x).
D pour tout nombre réel x, on a f ’(
=
x)
1 2
x + 5x .
2
Réponses justes : A et B.
f’(x) = 1 donc x f’(x) + 5 = f(x).
Par ailleurs, pour x = –4, f’(x) = f(x).
Cela valide les propositions A et B, et réfute les propositions C et D.
Exercice n°3
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2.
Si on note f’ la fonction dérivée de f, on peut affirmer que :
A f’ = f2.
B (f’)2 = 4f.
C f’ = f.
2
 f’
D f −  =
0.
 2
Réponses justes : B et D
f’(x) = 2x et (f’(x))2 = 4x2 ce qui valide la proposition B et invalide la A et la C.
2
 f ’( x) 
f ( x) − 
x 2 − x 2 , ce qui valide la proposition D.
 =
 2 
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Exercice n°4
Soit f la fonction définie sur ℝ par :
f(x) = x + b
avec b un nombre réel non nul. On peut affirmer que :
A pour tout nombre x réel, f(2x) = 2f(x).
B il existe x réel tel que f(2x) = 2f(x).
C pour tout nombre réel x, on a :(f(x))2 = f(x2) + 2bf(x) – b(1 + b).
D pour tout x et y nombres réels, f(x + y) = f(x) + f(y).
Réponse juste : C.
2f(x) = 2x + 2b et f(2x) = 2x + b. Donc pour tout x, 2f(x) = f(2x) ⇔ b = 0.
(f(x))2 = x2 + 2bx + b2 et f(x2) + 2bf(x) – b(1 + b) = x2 + b + 2b(x + b) – b(1 + b) = x2 + 2bx + b2.
f(x+y) = f(x) + f(y) ⇔ x + y + b = x + b + y + b ⇔ b = 0.
Exercice n°5
(π π )
a.
A π0.
3
vaut :
π9
B π–4.
C π2.
D 1.
Réponses justes : A et D.
(
b. 9 859−3 9 8599 + 9 8592
0
12
A 9 859 .
B 9 859 .
)
3
vaut :
C 2 × 9 8596. D 1.
Réponse juste : C.
Exercice n°6
a et e désignent des nombres réels non nuls.
a.
(a )
4 2
 a
2

 2
A a0.
vaut :
4
B a7.
C 2a6.
D 1.
C e 2.
D 1.
Réponse juste : C.
1
b.
× 3 
−
1
( e2 )  e 
e
A e6.
−1
vaut :
B e 3.
Réponse juste : A.
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Exercice n°7
Dans le repère ci-contre,
est la courbe représentative
d’une fonction f continue sur ℝ.
Si on sait que les points A(0 ; 4) et B(5 ; 0,01) sont sur ,
alors on peut conjecturer que :
A lim f ( x) = 0 .
x  +3
B lim f ( x) = 0 .
x  −3
C lim f ( x) = 0 .
x0
D lim f ( x) n’existe pas.
x 5
Réponse juste : A.
En fait B pourrait aussi être une bonne réponse car hors fenêtre tout peut arriver (et A pourrait aussi
être fausse…).
Pour des raisons de continuité, les propositions C et D ne peuvent pas être conjecturées car forcément
fausses.
Exercice n°8
Dans le repère ci-contre,
f et
g sont les courbes
représentatives de deux fonctions f et g continues sur ℝ.
On peut affirmer que :
A pour tout nombre réel x, on a f(x) ≤ g(x).
B pour tout nombre réel x positif, on a f(x) ≤ g(x).
C il existe un nombre réel x tel que f(x) ≤ g(x).
D il existe un intervalle I tel que, pour tout nombre réel x de
I, on a f(x) ≤ g(x).
Réponses justes : C et D.
La proposition B est fausse car hors fenêtre tout peut arriver.
Exercice n°9
Soit f et g deux fonctions telles que, pour tout x réel, 0 ≤ f(x) ≤ g(x) et telles que les limites de f et g en
+∞ existent. On peut affirmer que :
A si lim f ( x) = +3 alors lim g ( x) = +3 .
x →+3
x  +3
B si lim f ( x) = 0 alors lim g ( x) = 0 .
x  +3
x  +3
C si lim g ( x) = 3 alors lim f ( x) = 3 .
x  +3
x  +3
Réponse juste : A.
1
; g : x ↦ f(x) + 1.
x +1
1
1
;g:x↦ 2
Contre-exemple pour la proposition C : f : x ↦ 2
+ 3.
x +1
x +1
Contre-exemple pour la proposition B : f : x ↦
2
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