Chapitre 5 : Fonction exponentielle

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Chapitre 5 : Fonction exponentielle
QCM Pour bien commencer
(cf. p. 162 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Une équation de la tangente à la courbe de la fonction x ↦ ax
Exercice n°1 2
A est y = 2ax + b. + bx + c au point d’abscisse d :
B est y = 2adx + bx – ad2
C est y = a(x – d) + ax + c.
2
D ne peut pas être trouvée.
+ bx + c.
Réponse juste : B.
f’(d)=2ad + b et f(d) = ad2
y = (2ad + b)(x – d) + ad
+ bd + c donc une équation de la tangente en d est :
2 + bd + c = 2adx + bx – ad2
+ c.
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x + 5.
Exercice n°2
Si on note f’ la fonction dérivée de f, on peut affirmer que :
A pour tout nombre réel x, on a x f’(x) + 5 = f(x).
B il existe un nombre réel x tel que f’(x) = f(x).
C pour tout nombre réel x, on a f’(x) = f(x).
D pour tout nombre réel x, on a
2
1
’( ) 5
2
fx x x= +
.
Réponses justes : A et B.
f’(x) = 1 donc x f’(x) + 5 = f(x).
Par ailleurs, pour x = –4, f’(x) = f(x).
Cela valide les propositions A et B, et réfute les propositions C et D.
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x
Exercice n°3 2
Si on note f’ la fonction dérivée de f, on peut affirmer que :
.
A f’ = f2
B (f’) .
2
C f’ = f.
= 4f.
D
2
’0
2
f
f −=
.
Réponses justes : B et D
f’(x) = 2x et (f’(x))2 = 4x2
222
’( )
() 2
fx
fx x x −=−
ce qui valide la proposition B et invalide la A et la C.
, ce qui valide la proposition D.

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Soit f la fonction définie sur ℝ par :
Exercice n°4
f(x) = x + b
avec b un nombre réel non nul. On peut affirmer que :
A pour tout nombre x réel, f(2x) = 2f(x).
B il existe x réel tel que f(2x) = 2f(x).
C pour tout nombre réel x, on a :(f(x))2 = f(x2
D pour tout x et y nombres réels, f(x + y) = f(x) + f(y).
) + 2bf(x) – b(1 + b).
Réponse juste : C.
2f(x) = 2x + 2b et f(2x) = 2x + b. Donc pour tout x, 2f(x) = f(2x) ⇔ b = 0.
(f(x))2 = x2 + 2bx + b2 et f(x2) + 2bf(x) – b(1 + b) = x2 + b + 2b(x + b) – b(1 + b) = x2 + 2bx + b2
f(x+y) = f(x) + f(y) ⇔ x + y + b = x + b + y + b ⇔ b = 0. .
a.
Exercice n°5
( )
3
9
ππ
π
vaut :
A π0. B π–4. C π2
. D 1.
Réponses justes : A et D.
b.
( )
3
39 2
9859 9859 9859
−+
vaut :
A 9 8590. B 9 85912. C 2 × 9 8596
. D 1.
Réponse juste : C.
a et e désignent des nombres réels non nuls.
Exercice n°6
a.
( )
2
4
4
22
a
a
vaut :
A a0. B a7. C 2a6
. D 1.
Réponse juste : C.
b.
( )
1
13
2
1ee
e
−
−
×
vaut :
A e6. B e3. C e2
. D 1.
Réponse juste : A.

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Dans le repère ci-contre, est la courbe représentative
d’une fonction f continue sur ℝ.
Exercice n°7
Si on sait que les points A(0 ; 4) et B(5 ; 0,01) sont sur ,
alors on peut conjecturer que :
A
lim ( ) 0
xfx += 3
.
B
lim ( ) 0
xfx −=
3
.
C
0
lim ( ) 0
x
fx=
.
D
5
lim ( )
xfx
n’existe pas.
Réponse juste : A.
En fait B pourrait aussi être une bonne réponse car hors fenêtre tout peut arriver (et A pourrait aussi
être fausse…).
Pour des raisons de continuité, les propositions C et D ne peuvent pas être conjecturées car forcément
fausses.
Dans le repère ci-contre,
Exercice n°8
f et g
On peut affirmer que :
sont les courbes
représentatives de deux fonctions f et g continues sur ℝ.
A pour tout nombre réel x, on a f(x) ≤ g(x).
B pour tout nombre réel x positif, on a f(x) ≤ g(x).
C il existe un nombre réel x tel que f(x) ≤ g(x).
D il existe un intervalle I tel que, pour tout nombre réel x de
I, on a f(x) ≤ g(x).
Réponses justes : C et D.
La proposition B est fausse car hors fenêtre tout peut arriver.
Soit f et g deux fonctions telles que, pour tout x réel, 0 ≤ f(x) ≤ g(x) et telles que les limites de f et g en
+∞ existent. On peut affirmer que :
Exercice n°9
A si
lim ( )
x
fx
→+
= +
3
3
alors
lim ( )
xgx
+= + 3
3
.
B si
lim ( ) 0
xfx += 3
alors
lim ( ) 0
xgx +=
3
.
C si
lim ( ) 3
x
gx
+
=
3
alors
lim ( ) 3
xfx
+= 3
.
Réponse juste : A.
Contre-exemple pour la proposition B : f : x ↦
211x+
; g : x ↦ f(x) + 1.
Contre-exemple pour la proposition C : f : x ↦
211x+
; g : x ↦
213
1x+ +
.