Optique Optique - Étienne Thibierge

Colles semaine 24, sujet A
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Optique
Question de cours
Définir le contraste d’une figure d’interférences et montrer que pour deux sources d’intensité I1 et I2 , celui-ci est
maximal si I1 = I2 .
Exercice 1 : Mesure de l’indice d’un gaz
On considère le montage représenté ci-dessous, constitué de deux fentes d’Young distantes de a devant lesquelles
on a placé deux cuves identiques transparentes de longueur ` pouvant contenir un gaz. Les cuves sont éclairées par
une onde plane au moyen d’une source ponctuelle S monochromatique placée en amont d’une lentille convergente L.
L’observation se fait sur un écran placé à une distance D a des fentes.
x
L
écran
cuve 1
S1
z
S
cuve 2
S2
1 - Comment faut-il placer la source S par rapport à la lentille L pour obtenir l’onde plane voulue ?
2 - En notant respectivement n1 et n2 l’indice de réfraction des gaz contenus dans les cuves 1 et 2, déterminer la
différence de chemin optique δ = (SS2 M ) − (SS1 M ) en un point M de coordonnées (x, y) de l’écran. En déduire
l’éclairement.
3 - Déterminer l’interfrange et la position de la frange d’ordre 0. Est-il possible de repérer cette frange en lumière
monochromatique ? Que peut-on en déduire d’une telle expérience sur les indices n1 et n2 ?
Initialement, un vide très poussé avait été effectué dans la première cuve, la seconde contenant de l’air à pression
atmosphérique et température ambiante : on a donc au début de l’expérience n1 = 1 et n2 = nair .
4 - On fait rentrer lentement de l’air dans la première cuve. Qu’observe-t-on sur l’écran ?
5 - Entre l’état initial et l’état d’équilibre, on observe le défilement de N franges au centre de l’écran. Déterminer
l’indice de l’air.
6 - Sachant que nair − 1 = 3 · 10−4 , discuter de la faisabilité de l’expérience.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1
Au foyer objet.
2
δ = (n2 − n1 )` +
ax
D
2π
donc E = E0 1 + cos
δ
λ
3 Interfrange i = λD/a, frange d’ordre 0 en x0 = (n1 − n2 )D`/a. Impossible à déterminer en lumière monochromatique : toutes les franges sont identiques. On ne peut donc rien déduire du tout.
4
L’indice n1 augmente progressivement, donc les franges défilent et sont translatées.
5 À la fin, la frange d’ordre 0 est nécessairement au centre de l’écran (par symétrie). Ainsi le nombre de franges
qui défilent en un point est tel que
N × i = x0,i
soit
nair − 1 = N
λ
`
6 Avec λ ∼ 6 · 10−7 m et pour observer le défilement de 10 franges, il faut des cuves longues de quelques centimètres :
c’est tout à fait réalisable.
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Colles semaine 24, sujet A : Optique
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
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Colles semaine 24, sujet B
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Optique
Question de cours
On considère un réseau en transmission de pas a. Il est éclairé par un faisceau parallèle formant un angle θ0
par rapport à la normale et monochromatique de longueur d’onde λ0 . On regarde l’intensité transmise dans une
direction θ par rapport à la normale sortante.
Rappeler la formule des réseaux, son sens physique, puis la démontrer.
Exercice 1 : Miroir de Lloyd
Le dispositif de Lloyd permet d’obtenir des interférences à deux ondes.
Il consiste en un miroir plan et un écran, éclairés par une source S supposée ponctuelle et monochromatique de longueur d’onde λ0 placée très
proche du miroir.
1 - Sur le schéma, tracer les deux rayons lumineux qui vont de S au
point M sur l’écran. On fera intervenir l’image S 0 de la source S par le
miroir.
2 - Justifier que les interférences observées sont du type « à deux ondes ».
On souhaite obtenir l’expression de l’éclairement I(M ) sur l’écran. On indique qu’une réflexion sur un miroir
ajoute un déphasage de π de l’onde.
λ0
.
2
4 - En déduire l’expression de l’éclairement E(M ) sur l’écran en fonction de SM −S 0 M . On supposera que l’éclairement
associé aux deux rayons est le même, notée E0 .
3 - Montrer que la différence de marche entre les deux rayons interférant en M s’écrit δM = SM − S 0 M −
5 - Quel sera l’allure de la figure d’interférence ? (franges rectilignes ou circulaires ? dans quel sens ?)
6 - Exprimer l’éclairement sur l’écran en fonction des coordonnées x et y du point M .
7 - En déduire l’expression de l’interfrange.
8 - Faire apparaître, par une construction géométrique, la zone de l’écran des interférences seront observables.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1
cf. figure 1.
Figure 1 – Rayons sur un miroir de Lloyd.
2
Une source S et une source secondaire S 0 ponctuelles et monochromatiques.
3
Notons I le point d’incidence sur le miroir du rayon allant de S à M en se réfléchissant. Alors,
δ = (SM ) − (SIM )
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Colles semaine 24, sujet B : Optique
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Un déphasage de π se traduit par une différence de marche additionnelle de λ/2. Par ailleurs, par stigmatisme,
(SIM ) = (SS 0 ). D’où le résultat.
2π
2π
0
δ
= 2E0 1 − cos
(SM − S M ) .
4 E = 2E0 1 + cos
λ
λ
5 Compte tenu des symétries de la disposition des sources, franges rectilignes infinies dans la direction y, donc
« horizontales ».
6 Calcul type trous d’Young, S 0 est le symétrique de S et donc xS 0 = −h. Comme la source est placée très proche
du miroir, alors h D
p
1 (x − h)2
2
2
SM = D + (x − h) ' D 1 +
2 D2
et de même
0
SM=
p
1 (x + h)2
'D 1+
2 D2
D2
+ (x +
h)2
si bien que
SM − S 0 M =
2hx
D
et on remplace dans l’éclairement, qui ne dépend pas de y.
7
i=
λD
.
2h
8 Zone de superposition des rayons directement issus de S et pouvant se réfléchir sur le miroir, que l’on construit
avec les rayons touchant les extrémités du miroir, en rouge sur la figure 1.
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Colles semaine 24, sujet C
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Optique
Question de cours
Exprimer l’intensité d’une superposition d’ondes lumineuses, en partant du signal lumineux
#”
si (M, t) = S0,i cos ωt − k i · #”
r + ϕi .
Exercice 1 : Fentes d’Young en lumière polychromatique
Cet exercice propose d’étudier l’influence du caractère non monochromatique d’une source sur la figure d’interférences obtenue par un dispositif de fentes d’Young.
L’interféromètre est éclairé par une lampe à vapeur de sodium dont le spectre est formé de deux raies très
rapprochées, figure 2, modélisées par deux raies monochromatiques de même intensité et de longueurs d’onde λ1 =
589,0 nm et λ2 = 589,6 nm. La figure d’interférences obtenue est donnée figure 3.
modèle
Figure 3 – Figure d’interférences.
Figure 2 – Spectre à deux raies.
On rappelle qu’avec un dispositif de trous d’Young (sans lentille) écartés de a et à distance D de l’écran, la
différence de marche en un point d’abscisse x de l’écran vaut δ = ax/D.
1 - En raisonnant sur une seule radiation de longueur d’onde λ0 , définir l’interfrange. Pour laquelle des longueurs
d’onde λ1 ou λ2 est-il le plus grand ?
2 - Les ondes issues de la raie 1 et celles issues de la raie 2 interfèrent-elles ? Quelle conséquence cela a-t-il sur la
figure d’interférences ?
3 - Exprimer Iλ1 (x) et de Iλ2 (x) et tracer leur allure sur le même graphique. Expliquer la figure d’interférence
observée.
a+b
a−b
4 - En utilisant la formule cos a + cos b = 2 cos
cos
, montrer que l’intensité totale se met sous la forme
2
2
2π ax
2π ∆λ ax
I(x) = Imoy 1 + cos
cos
λ̄ 2λ̄ D
λ̄ D
avec Imoy une constante de proportionnalité dépendant de l’intensité des raies ; ∆λ = λ2 − λ1 et λ la moyenne de λ1
2
et λ2 . Comme les deux longueurs d’onde sont très proches, on approxime λ1 λ2 ' λ et λ1 + λ2 ' 2λ.
5 - Représenter alors l’allure de I(x) et comparer à la figure 3. Quelle(s) observation(s) s’interprète(nt) avec ce
modèle ? Laquelle (lesquelles) ne s’interprète(nt) pas ?
6 - Terminer l’interprétation en raisonnant en termes de trains d’ondes.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1
Interfrange λD/a.
2
Non, car pas la même pulsation : ondes incohérentes. Du coup, on peut sommer directement les intensités.
ax
3 Formule de Fresnel : Iλ(x) = I1 1 + cos 2π
avec I1 une constante. Deux cosinus de périodes légèrement
λ D
différentes. Au centre, les deux sont en phase donc fort contraste, mais plus loin il y a déphasage donc perte de
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Colles semaine 24, sujet C : Optique
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
contraste.
4
I = Iλ1 + Iλ2 donc
2π ax
2π ax
I = 2I1 2 + cos
+ cos
λ1 D
λ2 D
1 1
1 ax
1 1
1 ax
= 2I1 2 + 2 cos 2π
+
cos 2π
−
2 λ1
λ2 D
2 λ1
λ2 D
1 2λ̄ ax
1 ∆λ ax
= 2I1 2 + 2 cos 2π
cos 2π
2
2 λ̄ D
2 λ̄2 D
2π ∆λ ax
2π ax
= I0 1 + cos
cos
λ̄ 2λ̄ D
λ̄ D
où on pose Imoy = 4I1 .
5 Une enveloppe sinusoïdale avec des battements plus rapides à l’intérieur, figure 4. On n’interprète pas la décroissance à grande différence de marche.
Figure 4 – Battements.
6 Les raies ne sont pas infiniment fines. À la largeur intrinsèque à chaque raie est associée une longueur de train
d’onde, `i = λ2i /∆λi . Si la différence de marche est supérieure à la longueur d’un train d’onde on perd les interférences.
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Colles semaine 24, sujet D
Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Optique
Exercice 1 : Bilentilles de Billet
Le dispositif des bilentilles de Billet, schématisé figure 5, est élaboré à partir d’une lentille convergente L de
centre O, d’axe optique (Oz), de rayon R et de distance focale f 0 . Cette lentille est coupée en deux dans le plan (Oyz),
formant ainsi deux demi-lentilles L1 et L2 . Chaque demi-lentille se comporte exactement comme une lentille ayant
son propre centre optique et ses propres foyers.
Les demi-lentilles sont translatées symétriquement suivant Ox pour les séparer d’une distance ∆. Dans le repère (Oxyz), les centres optiques O1 et O2 ont alors pour coordonnées (±∆/2, 0, 0). Ce dispositif est éclairé par une
source monochromatique ponctuelle S située à distance L = 2f 0 de O. Des caches opaques, non représentés sur la
figure, permettent de bloquer la lumière ne passant pas par les demi-lentilles.
x
L1
y
z
L
F1
×
S
×
F
O
×
F0
O1×
F10
×
z
z
S
×
F2
O2×
×
F20
L2
Figure 5 – Bilentilles de Billet.
1 - Construire sur un schéma propre les deux images S1 et S2 de S par les lentilles L1 et L2 . Attention à laisser de
la place à droite de la figure et à respecter à peu près les proportions de la figure de l’énoncé concernant la taille de
la lentille.
2 - Déterminer analytiquement les positions de S1 et S2 , c’est-à-dire la distance a entre S1 et S2 et la distance d
entre la droite (S1 S2 ) et le plan contenant les demi-lentilles.
3 - Justifier que S1 et S2 se comportent comme deux sources secondaires à même de générer une figure d’interférences.
Construire alors sur le schéma le champ d’interférences.
4 - Calculer la distance minimale Dmin à laquelle il faut placer un écran d’observation pour observer des interférences.
Cette distance sera comptée à partir des demi-lentilles.
5 - L’écran est placé à distance D > Dmin des demi-lentilles. Calculer la largeur d du champ d’interférences.
6 - Déterminer l’interfrange puis le nombre de franges visibles sur l’écran.
Donnée : relations de conjugaison et de grandissement pour une lentille mince.
Le centre optique de la lentille est noté O, son foyer principal objet est noté F et son foyer principal image F 0 .
La lentille a une distance focale image f 0 et une distance focale objet f = −f 0 . A est un point de l’axe optique et A0
son image par la lentille. Les distances sont comptées algébriquement.
1
1
1
−
= 0
f
OA0
OA
OA0
γ=
OA
et
F A × F 0 A0 = −f 0
et
γ=−
2
F 0 A0
f
=−
f0
FA
Éléments de correction de l’exercice 1 :
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Colles semaine 24, sujet D : Optique
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1
C’est de l’optique géométrique ...
2
Montage 4f et rayons passant par Oi non déviés donnent comme coordonnées (±∆, 0, 2f 0 ) : a = 2∆ et d = 2f 0 .
3
Images géométriques de S, donc les sources sont de même fréquence et cohérentes.
4 Tracé des rayons extrêmes passant par le haut et le bas de la lentille. Par stigmatisme, tous les rayons passent
par S1 et S2 .
5 Théorème de Thalès dans les deux triangles s’appuyant sur la source secondaire et l’extrémité de la lentille
complétés par un côté parallèle à l’axe optique :
!
R− ∆
∆
2f 0
0
2
d’où
Dmin = 2f 1 +
=
∆
Dmin − 2f 0
R− ∆
2
Dessin à scanner.
6
Notons α la largeur angulaire du champ d’interférences. Géométriquement,
tan
α
d/2
∆
=
=
2
Dmin − 2f 0
D − Dmin
d’où
d=2
∆ (D − Dmin )
Dmin − 2f 0
Dessin à faire.
7
i = λ(D − 2f 0 )/2∆ et N = d/i.
8/8
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