Série 19

EPFL 30 mars 2011
Topologie II
Prof. Kathryn Hess Bellwald
2ème année
2010-2011
Série 19
L’exercice 4 peut être rendu le 13 avril au début de la séance d’exercices.
Définition 1. Soit Xun espace topologique.
(a) On dit qu’un point x X admet une base dénombrable de voisinages s’il existe une collec-
tion dénombrable Vxde voisinages de xtelle que tout voisinage de xcontient au moins
un des éléments de Vx. On dit que Xsatisfait le 1er axiome de dénombrabilité si
chacun de ses points admet une base dénombrable de voisinages.
(b) On dit que Xsatisfait le 2ème axiome de dénombrabilité s’il admet une base dénom-
brable.
Exercice 1. Soit f:X Y une application continue et ouverte. Montrer que si Xsatisfait
le 1er ou le 2ème axiome de dénombrabilité, alors l’image f X satisfait aussi le même axiome.
Exercice 2. Montrer que si Xadmet une base dénombrable, alors toute base de Xcontient
une base dénombrable.
Exercice 3. Montrer que l’espace topologique Rlsatisfait le premier axiome de dénombrabilité
mais pas le deuxième.
Rappel :Rlest l’ensemble Rmuni de la topologie de la limite inférieure, c-à-d. la topologie engendrée par la
base Bl:a, b a, b Ret a b .
Exercice 4. Soit X:a, b, c un ensemble à trois points.
(a) Munir Xde la topologie T:X, , a , b, c . Déterminer si X, Test un espace de
Hausdorff, régulier, normal, ou possède plusieurs de ces propriétés.
(b) Faire de même pour chacune des huit autres topologies sur Xdécrites dans l’exercice 1
de la série 1.
Exercice 5. Montrer que tout ensemble simplement ordonné muni de sa topologie d’ordre est
un espace topologique régulier.