Série 19

EPFL
Topologie II
Prof. Kathryn Hess Bellwald
2ème année
2010-2011
30 mars 2011
Série 19
L’exercice 4 peut être rendu le 13 avril au début de la séance d’exercices.
Définition 1. Soit X un espace topologique.
(a) On dit qu’un point x P X admet une base dénombrable de voisinages s’il existe une collection dénombrable Vpxq de voisinages de x telle que tout voisinage de x contient au moins
un des éléments de Vpxq. On dit que X satisfait le 1er axiome de dénombrabilité si
chacun de ses points admet une base dénombrable de voisinages.
(b) On dit que X satisfait le 2ème axiome de dénombrabilité s’il admet une base dénombrable.
Exercice 1. Soit f : X ÝÑ Y une application continue et ouverte. Montrer que si X satisfait
le 1er ou le 2ème axiome de dénombrabilité, alors l’image f pX q satisfait aussi le même axiome.
Exercice 2. Montrer que si X admet une base dénombrable, alors toute base de X contient
une base dénombrable.
Exercice 3. Montrer que l’espace topologique Rl satisfait le premier axiome de dénombrabilité
mais pas le deuxième.
Rappel : Rl est l’ensemble R muni de la topologie de la limite inférieure, c-à-d. la topologie engendrée par la
base Bl : tra, bq | a, b P R et a bu.
Exercice 4. Soit X : ta, b, cu un ensemble à trois points.
(a) Munir X de la topologie T : tX, H, tau, tb, cuu. Déterminer si pX, T q est un espace de
Hausdorff, régulier, normal, ou possède plusieurs de ces propriétés.
(b) Faire de même pour chacune des huit autres topologies sur X décrites dans l’exercice 1
de la série 1.
Exercice 5. Montrer que tout ensemble simplement ordonné muni de sa topologie d’ordre est
un espace topologique régulier.