II
(a) Comme Σ∅est vide, son homologie est nulle. Il en est de même de tout ΣAsi Xest
vide. Si Xn’est pas vide, Σ{a}est contratile sur le point [x, 1, a](qui est indépendant de x
et qui existe puisque Xn’est pas vide). En effet, on définit h: Σ{a}×[0,1] →Σ{a}en posant
h([x, t, a], s)=[x, (1 −s)t+s, a]. Pour s= 0, on a l’application identique et h([x, t, a],1) =
[x, 1, a]. Ainsi, pour X6=∅, l’homologie de Σ{a}est celle du point.
(b) En fait, Σ{a,b}est juste la suspension (non réduite) de X. Il est pratique d’utiliser l’ho-
mologie réduite plutôt que l’homologie ordinaire. On notera que le sous-ensemble de Σ{a,b}
réduit au point [x, 1, a]est fermé dans Σ{a,b}car son image réciproque par la projection ca-
nonique est un fermé de X×[0,1]×{a, b}(à savoir X×{1}×{a}). Ainsi, son complémentaire
Uest ouvert dans Σ{a,b}, et il en est de même du complémentaire Vdu point [x, 1, b]. Bien
sûr, Uet Vrecouvrent Σ{a,b}, et U∩Vse rétracte par déformation sur {[x, 0, a]|x∈X}qui
est homéomorphe à X. De plus, Uet Vsont contractiles (Use rétracte par déformation sur
{[x, t, b]|x∈X}, lequel se rétracte par déformation sur le point [x, 1, b]). La suite exacte de
Mayer-Vietoris nous donne donc l’isomorphisme :
˜
Hi+1(Σ{a,b})∂∗
'//˜
Hi(X)
Comme Uet Vsont connexes par arcs et U∩Vnon vide, on en déduit que H0(Σ{a,b})'Λ,
H1(Σ{a,b})'˜
H0(X)et Hi(Σ{a,b})'Hi−1(X)pour i≥2.
(c) Comme An’est pas vide, soit a∈A. On pose :
r([x, t, n]) = ([x, t, n]si n∈A
[x, t, a]si n6∈ A
On voit que rest continue, car l’application analogue X×[0,1] ×B→X×[0,1] ×A(qui
est clairement continue) passe au quotient. Par ailleurs, il est clair que r◦iest l’identité
de ΣA.
(d) Bien entendu, ΣAétant homéomorphe à ΣA0si Aet A0sont équipotents, on peut sup-
poser que A={0, . . . , n}. On utilise la notation Σnpour Σ{0,...,n}. On va montrer par récur-
rence sur nque ˜
Hi(Σn)est la somme directe de nexemplaires de ˜
Hi−1(X). Le résultat est
déjà acquis pour n= 0 et n= 1 d’après les questions précédentes. On peut donc supposer
n≥2.
Notons Ule complémentaire du point [x, 1, n]dans Σnet Vle complémentaire de l’ensemble
fini {[x, 1, p]|p∈ {0, . . . , n −1}}.Uet Vsont deux ouverts qui recouvrent Σn. De plus,
Use rétracte par déformation sur Σn−1et Vest contratile. Enfin, U∩Vse rétracte par
déformation sur {[x, 0, p]|x∈X}. Comme l’inclusion de Σn−1dans Σna une rétraction
continue, elle induit une injection en homologie, et il en est donc de même de l’inclusion de
Udans Σn. La suite exacte de Mayer-Vietoris nous donne donc les suites exactes courtes
scindées :
0//˜
Hi(Σn−1)i∗//˜
Hi(Σn)//
r∗
nn
˜
Hi−1(X)//0
qui donnent le résultat annoncé. On en déduit que (pour n≥2)H0(Σn)'Λ,H1(Σn)'
⊕n
k=1 ˜
H0(X)et Hi(Σn)' ⊕n
k=1Hi−1(X)pour i≥2.
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