Feuille d`exercices 4

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Ecole normale sup´erieure Ann´ee 2014-2015
Alg`ebre 1
Feuille d’exercices 4
Autour du produit semi-direct
Exercice 1 Soit Gun groupe et soient Het Kdes sous-groupes de Gtels que H∩K=
{e},HK =Get HCG. Montrer que :
1. l’application i:K→Aut(H) d´efinie par k7→ ik, o`u ik(h) = khk−1, est un mor-
phisme de groupes ;
2. la loi de composition (h1, k1)o(h2, k2)=(h1ik1(h2), k1k2) donne `a l’ensemble produit
H×Kune structure de groupe, not´e HoK;
3. l’application
f:HoK→G
(h, k)7→ hk
est un isomorphisme de groupes.
On dit alors que Gest le produit semi-direct de Kpar H.
Exercice 2 Soient Het Kdes groupes. Supposons qu’on dispose d’un morphisme de
groupes φ:K→Aut(H). Notons Ho
φKl’ensemble H×Kmuni de la loi de composition
d´efinie par
(h1, k1)o
φ(h2, k2) = (h1φ(k1)(h2), k1k2).
Montrer que Ho
φKest un groupe tel que H× {eK}EHo φKet {eH} × K≤Ho φK.
Exercice 3 Le produit semi-direct Ho
φKest direct si et seulement si φest le morphisme
trivial.
Exercice 4 Soit G=NoHet soit Kun sous-groupe de Gcontenant N. Montrer que
l’on a K=No(K∩H).
Exercice 5 Montrer que tout groupe d’ordre 255 est cyclique.
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Exercice 6 Soient Het Ndes groupes et soient φet ψ:H→Aut(N) des morphismes.
On veut trouver des conditions n´ecessaires et suffisantes pour que NoφHet NoψH
soient isomorphes.
1. S’il existe un automorphisme αde Htel que ψ=φ◦α, montrer que l’on a la
conclusion attendue.
2. S’il existe un automorphisme ude Ntel que
∀h∈H φ(h) = uψ(h)u−1,
montrer que la conclusion attendue vaut encore.
3. Si Hest cyclique et que φet ψ:H→Aut(N) sont tels que φ(H) = ψ(H), montrer
que NoφHet NoψHsont isomorphes.
Exercice 7 Soit Kun corps. Montrer que GLn(K) est isomorphe `a SLn(K)×K×si et
seulement si x7→ xnest un automorphisme de K×.
Exercice 8 Soient p<qdes nombres premiers.
1. D´eterminer `a isomorphisme pr`es tous les groupes d’ordre pq.
2. Si q≥3, en d´eduire que tout groupe d’ordre 2qest isomorphe `a Z/2qZou au groupe
di´edral Dq.
Exercice 9 1. Montrer qu’un groupe d’ordre 8 est isomorphe `a l’un des groupes sui-
vants :
Z/8Z,Z/4Z×Z/2Z,(Z/2Z)3, D4,H8.
Justifier que H8n’est pas un produit semi-direct.
2. Montrer que SL(2,Z/3Z) poss`ede un unique 2-Sylow que l’on identifiera.
Exercice 10 1. D´eterminer les p-Sylow de GL2(Z/pZ).
2. Soient φet ψdes morphismes non triviaux de Z/pZdans GL2(Z/pZ). En notant
pour tout entier k,φkle morphisme d´efini par φk(x) = φ(kx), montrer qu’il existe
un entier ket une matrice P∈GL2(Z/pZ) tels que ψ=P φkP−1.
3. En d´eduire qu’il existe, `a isomorphisme pr`es, un unique produit semi-direct non
trivial (Z/pZ)2oZ/pZ.
4. Montrer que le centre de ce dernier groupe est isomorphe `a Z/pZ.
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