Morphismes de modules sur un anneau

Universit´e de Nice-Sophia-Antipolis
Licence de math´ematiques 2002-03
Alg`ebre Ln10, Feuille 3
§5. Morphismes de modules sur un anneau
1. Quiz
1.1) Prouver ou infirmer les assertions suivantes:
(a) “On peut construire un morphisme de Z-modules de Z/15 dans Z/4.”
(b) “On peut construire un morphisme de Z-modules de Z/15 dans Z/5.”
(c) “On peut construire un morphisme de Z-modules de Z/15 dans Z/30.”
1.2) En g´en´eral, sous quelle condition existe-t-il un morphisme de Z-modules de Z/m dans
Z/n?
2. Exercice: diagrammes
On dit qu’une suite de morphismes de A-modules
M0
f1//M1 f2//M2 f3//· · · fn//Mn
est exacte si on a Im fi=Ker fi+1 pour i= 1, . . . , n −1. (On note que cette hypoth`ese
entraine fi+1 ◦fi= 0.) Ainsi, si on consid`ere le morphisme nul 0 →M0, qui a pour image
le sous-module trivial de M0, et le morphisme nul M00 →0, qui a pour noyau le module
M00 tout entier, alors une suite
0//M0f//Mg//M00 //0
est exacte quand Ker(f) = 0 (donc fest injectif), Im(f) = Ker(g) et Im(g) = M00 (donc
gest surjectif).
Un carr´e de morphismes de A-modules
M00
f0//
g0
M10
g1
M01
f1//M11
est commutatif si on a f1◦g0=g1◦f0.
2.1) On se donne un diagramme
M0
0
f0//
u0
M0
g0//
u
M00
0
//
u00
0
0//M0
1
f1//N1 g1//N00
1
BF, Courriel: [email protected]
1

constitu´e de carr´es commutatifs (on dit que le diagramme est commutatif) et dont les
lignes forment des suites exactes. Montrer que si u0et u00 sont bijectifs alors le morphisme
ul’est aussi.
2.2) On dit qu’une suite exacte courte
0//M0f//Mg//M00 //0
(comme ci-dessus) est scind´ee quand il existe un morphisme de A-modules s:M00 →M
tel que g◦s=IdM00 . Observer que l’existence d’un scindage s:M00 →M´equivaut `a
l’existence d’un morphisme u:M0⊕M00 →Mrendant le diagramme
0//M0i//
=
M0⊕M00 q//
u
M00 //
=
0
0//M0f//Mg//M00 //0
commutatif. Que peut-on conclure de la question 2.1) quant `a ce morphisme u?
2.3) Montrer que les suites exactes courtes dont le A-module de droite M00 est libre de
type fini sont scind´ees. Si on suppose ´egalement que M0est libre de type fini, alors que
peut-on en conclure quant au module M?
Application: Retrouver un r´esultat classique concernant le rang et la dimension du
noyau d’un morphisme d’espaces vectoriels f:U→Ven consid´erant la suite
0//Ker f //Uf//Im f //0.
2.4) D´eterminer l’ensemble des suites exactes courtes de Z-modules
0//Z/2f//Mg//Z/2//0
(Remarque: On pourra utiliser le r´esultat de la question suivante qui affirme que Mposs`ede
4 ´el´ements.) Utiliser ce r´esultat pour donner un ou des exemples de suites exactes courtes
qui ne sont pas scind´ees.
2.5) On se donne une suite exacte courte de Z-modules
0//M0f//Mg//M00 //0
telle que M0et M00 sont finis. On veut montrer que Mest ´egalement fini de cardinal
card M= card M0·card M00 : observer que les classes d’´equivalences de Mmodulo M0
sont en bijections avec les ´el´ements de M00 et conclure.
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