Morphismes de modules sur un anneau

Université de Nice-Sophia-Antipolis
Licence de mathématiques 2002-03
Algèbre Ln10, Feuille 3
§5. Morphismes de modules sur un anneau
1. Quiz
1.1) Prouver ou infirmer les assertions suivantes:
(a) “On peut construire un morphisme de Z-modules de Z/15 dans Z/4.”
(b) “On peut construire un morphisme de Z-modules de Z/15 dans Z/5.”
(c) “On peut construire un morphisme de Z-modules de Z/15 dans Z/30.”
1.2) En général, sous quelle condition existe-t-il un morphisme de Z-modules de Z/m dans
Z/n?
2. Exercice: diagrammes
On dit qu’une suite de morphismes de A-modules
M0
f1
/ M1
f2
/ M2
/ ···
f3
fn
/ Mn
est exacte si on a Im fi = Ker fi+1 pour i = 1, . . . , n − 1. (On note que cette hypothèse
entraine fi+1 ◦ fi = 0.) Ainsi, si on considère le morphisme nul 0 → M 0 , qui a pour image
le sous-module trivial de M 0 , et le morphisme nul M 00 → 0, qui a pour noyau le module
M 00 tout entier, alors une suite
0
/ M0
f
/M
g
/ M 00
/0
est exacte quand Ker(f ) = 0 (donc f est injectif), Im(f ) = Ker(g) et Im(g) = M 00 (donc
g est surjectif).
Un carré de morphismes de A-modules
f0
M00
g0
/ M10
g1
M01
f1
/ M11
est commutatif si on a f1 ◦ g0 = g1 ◦ f0 .
2.1) On se donne un diagramme
M00
f0
u0
0
/ M10
/ M0
g0
u00
u
f1
/ N1
BF, Courriel: [email protected]
1
/ M000
g1
/ N100
/0
constitué de carrés commutatifs (on dit que le diagramme est commutatif) et dont les
lignes forment des suites exactes. Montrer que si u0 et u00 sont bijectifs alors le morphisme
u l’est aussi.
2.2) On dit qu’une suite exacte courte
0
/ M0
f
/M
/ M 00
g
/0
(comme ci-dessus) est scindée quand il existe un morphisme de A-modules s : M 00 → M
tel que g ◦ s = IdM 00 . Observer que l’existence d’un scindage s : M 00 → M équivaut à
l’existence d’un morphisme u : M 0 ⊕ M 00 → M rendant le diagramme
/ M0
0
i
=
/ M0
0
f
/ M 0 ⊕ M 00
u
/M
q
/ M 00
/0
=
g
/ M 00
/0
commutatif. Que peut-on conclure de la question 2.1) quant à ce morphisme u?
2.3) Montrer que les suites exactes courtes dont le A-module de droite M 00 est libre de
type fini sont scindées. Si on suppose également que M 0 est libre de type fini, alors que
peut-on en conclure quant au module M ?
Application: Retrouver un résultat classique concernant le rang et la dimension du
noyau d’un morphisme d’espaces vectoriels f : U → V en considérant la suite
/U
/ Ker f
0
f
/ Im f
/ 0.
2.4) Déterminer l’ensemble des suites exactes courtes de Z-modules
0
/ Z/2
f
/M
g
/ Z/2
/0
(Remarque: On pourra utiliser le résultat de la question suivante qui affirme que M possède
4 éléments.) Utiliser ce résultat pour donner un ou des exemples de suites exactes courtes
qui ne sont pas scindées.
2.5) On se donne une suite exacte courte de Z-modules
0
/ M0
f
/M
g
/ M 00
/0
telle que M 0 et M 00 sont finis. On veut montrer que M est également fini de cardinal
card M = card M 0 · card M 00 : observer que les classes d’équivalences de M modulo M 0
sont en bijections avec les éléments de M 00 et conclure.
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