2.3 Applications : caractéristique d`un anneau Exercice 12 Exercice

2.3 Applications : caractéristique d’un anneau
Soit A un anneau; l’application
ϕ
de z dans A qui à n associe n.1 est un morphisme d’anneaux. Son noyau Ker
ϕ
est
donc un idéal de
z (exercice 8) donc de la forme p z avec p
∈
n (exercice 5). En considérant la décomposition
canonique de
ϕ (exercice 10) on obtient un isomorphisme de z /p z sur
ϕ
( z ).
Définition : l’entier naturel p ainsi défini s’appelle caractéristique de l’anneau A et se note car(A).
Remarques :
Si p = 0 : alors Ker ϕ = {0} donc ϕ est injective et donc z est isomorphe à ϕ ( z ) : A contient un sous-anneau
isomorphe à z et en particulier A est infini;
Si p ≠ 0 : alors Ker
ϕ = z /p z isomorphe à ϕ ( z ); p est le plus petit entier > 0 tel que p.1 = 0 et p
∈
n est caractérisé
par : ∀n
∈
n : n.1 = 0 ⇔ n multiple de p.
Proposition : Si l’anneau A est intègre sa caractéristique est soit 0 soit un nombre premier.
En particulier la caractéristique d’un corps est donc 0 ou un nombre premier.
Démonstration : si la caractéristique de A n’est pas nulle
ϕ ( z ) est inclus dans A intègre, donc ϕ ( z ) est lui-même
intègre et de plus il est isomorphe à z /p z . Donc z /p z est intègre donc p est premier (exercice 1).
La réciproque de la proposition est fausse (trouver des contre exemples).
Exemples : car(
z /n z ) = n; car( q ) = car( r ) = 0.
Exercice 12
Etant donné un corps K on appelle sous-corps premier de K le plus petit sous-corps (au sens de l’inclusion) K’ de K.
Montrer que si car(K) = 0, K’ est isomorphe à
q et si car(K) = p , K’ est isomorphe à z /p z.
Exercice 13
Soit K un corps fini; montrer qu’il existe un nombre premier p et un entier n > 0 tel que Card K = pn (considérer K
comme un espace vectoriel sur son corps premier).
Réciproquement on démontre que pour tout nombre premier p et tout entier n > 0 il existe un corps à q = pn éléments,
unique à un isomorphisme près, noté
F
q.
Exercice 14
Soit K un corps commutatif de caractéristique p > 0. Montrer que l’application de K dans K qui à x associe xp est un
morphisme de corps (appelé homomorphisme de Fröbenius).
Si K est fini c’est un automorphisme; si K = z/pz c’est l’identité (utiliser le théorème Fermat).