Corrigé - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Corrigé du DM n°9 pour le mercredi 7/03
Groupes d’ordre quatre
1 Obligatoire
Exercice 1 (un modèle géométrique du groupe de Klein) On munit le plan d’un repère or-
thonormé, det d′sont l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. On note sdet sd′les symétries
orthogonales par rapport à det d′. On note G={id, sd, sd′,−id}.
1. Soit Mun point du plan de coordonnées (x, y). On a
sd◦s′
d(x, y) = sd(sd′(x, y)) = sd(−x, y) = (−x, −y) = −id(x, y).
Ainsi sd◦s′
d=id, la symétrie de centre (0,0).
2. Démontrer que (G, ◦) est un groupe commutatif. De même, on montre par exemple que
sd◦ −id=sd′. On résume tous les calculs de «produits» (composés ici) dans Gdans le
tableau suivant :
◦id sdsd′−id
id id sdsd′−id
sdsdid −id sd′
sd′sd′−id id sd
−id −id sd′sdid
.
Cela montre que Gest stable pour la loi ◦. On remarque aussi que les quatre éléments de G
sont inversibles et égaux à leur inverse, car ∀g∈G, on a g◦g= id.
Ainsi, Gest un sous-groupe du groupe des bijections de R2car :
• il contient l’identité
• il est stable par composition et passage à l’inverse
Il est de plus commutatif.
3. Est-il isomorphe qui lui aussi possède 4 éléments ? On pourra calculer les carrés de chaque
élément.
Nous allons montrer que Gn’est pas isomorphe au groupe des racines quatrièmes de l’unité.
La raison est que dans G, tous les éléments élevés au carré donnent l’identité, tandis que
dans U4, on a par exemple i2=−1 qui n’est pas égal à 1. Détaillons.
Supposons qu’il existe un isomorphisme φ:U4→G. On a alors φ(i)∈G, donc φ(i)◦φ(i) = id.
Mais φ(1) = id, car le morphisme φtransforme le neutre 1 de U4en le neutre de G, c’est-à-
dire id. D’autre part, comme φest un morphisme, on a φ(i)◦φ(i) = φ(i×i) = φ(i2) = φ(−1).
On a donc φ(1) = φ(−1) et donc 1 = −1 car φest injective. Contradiction.
Exercice 2 Soit G={1, a, b, c}un groupe multiplicatif à 4 éléments. On note 1 son élément
neutre. On suppose que ∀x∈G, x2= 1. On sait alors d’après un exercice que Gest commutatif.
1. Soit x∈G. Comme x×x= 1, xest l’inverse de x.
2. Que valent les produits ab,ac et bc ?
Comme Gest un groupe, il est stable par produit, donc ab ∈G. Si ab = 1, on a alors aussi
ba = 1 (car Gest commutatif) et alors best l’inverse de a, mais alors b=a(par unicité de
l’inverse) ce qui est faux. Donc ab 6= 1.
Supposons que ab =a. Alors en multipliant par l’inverse de a(par la gauche), on aurait
b= 1, ce qui est faux. Donc ab 6=a.
De même si ab =b, en mutipliant par l’inverse de b(à droite), on obtient a= 1, ce qui est
faux, donc ab 6=b.
On a donc ab =c. On montre la même façon que :
ab =c, ac =, bc =a.

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3. On note Kle groupe de Klein vu ci-dessus. On définit une application fde Gsur Ken posant
f(1) = id, f(a) = sd, f(b) = sd′et f(c) = −id. Cette application est même une bijection de
Gsur K.
On f(ab) = f(c) = −id = sd◦sd′=f(a)◦f(b).
De même, f(ac) = f(b) = sd′=sd◦ − id = f(a)◦f(c). On montre de la même façon que
pour tout xet yde G, on a f(xy) = f(x)◦f(y). Cela prouve que fest un morphisme, et
comme fest bijective, c’est un isomorphisme de Gsur K.
2 Facultatif
Exercice 3 (Un théorème de Lagrange) Soit (G, ×) un groupe commutatif de cardinal n.
1. Soit g∈G. Démontrer que l’application f:G→Gdéfinie par f(x) = gx est une bijection.
Soit y∈G. On a y=f(x)⇐⇒ y=gx ⇐⇒ g−1y=x. L’application fest donc bijective.
2. En déduire que gn=een calculant de deux façons différentes le produit Y
x∈G
gx.
D’une part, Y
x∈G
gx =Y
x∈G
gY
x∈G
x=Y
x∈G
g×xn.
D’autre part, Y
x∈G
gx =Y
x∈G
f(x) = Y
y∈G
y=Y
x∈G
gcar fest une bijection de Gdans G. Ainsi
Y
x∈G
g×xn=Y
x∈G
gd’où xn=e.
3. En déduire les sous-groupes finis de C∗.
Soit Gun sous-groupe fini de C∗de cardinal n. Alors d’après le théorème de Lagrange, pour
tout zdans G, on a zn= 1, autrement dit z∈Un. Ainsi G⊂Un. Réciproquement, pour
tout n∈N∗,Unest bien un sous-groupe fini de C∗.
Exercice 4 (Groupe cyclique d’ordre 4) Soit (G, ×) un groupe de cardinal 4. On sait d’après
le théorème de Lagrange (exercice 3) que ∀x∈G, x4= 1. On appelle ordre de xle plus petit
entier k∈N∗tel que xk= 1.
1. Soit x∈Gdifférent de 1. On note pson ordre. Démontrer que p∈ {2,4}.
Comme x4= 1, on a p64. Si p= 3, alors x3= 1 et donc en multipliant par x, on obtient
x4=x, d’où 1 = x, ce qui est faux. Enfin p6= 1 car sinon x= 1, donc p∈ {2,4}.
2. Que dire du groupe Gsi tout élément de Gdifférent de 1 est d’ordre deux ? Dans ce cas,
d’après l’exercice 2, Gest isomorphe au groupe de Klein K.
3. On suppose qu’il existe x∈Gd’ordre 4.
(a) Justifier que les éléments 1, x, x2, x3de Gsont 2 à 2 distincts.
Déjà x6= 1, x26= 1 et x36= 1 car sinon l’ordre de xne serait pas égal à 4.
Si x=x2, alors en multipliant par x−1, on obtient 1 = x, ce qui est faux. De même si
x=x3, on a 1 = x2, faux. Enfin, si x2=x3, en multipliant par l’inverse de x2, on a
1 = x, faux.
Ainsi Gqui possède 4 éléments contient l’ensemble {1, x, x2, x3}lui aussi à 4 éléments.
Onen déduit que G={1, x, x2, x3}.
(b) En déduire que Gest isomorphe à U4. On considère l’application f:G→U4définie
par f(1) = 1, f(x) = i, f(x2) = −1 et f(x3) = −i.
L’application fest par construction une bijection de Gsur U4. Reste à vérifier que c’est
un morphisme.
Remarquons que −1 = i2et −i=i3. On a donc par récurrence immédiate que pour
tout k∈N,f(xk) = ik. On a donc pour tout ket ndans N:
f(xk×xn) = f(xk+n) = ik+n=ik×in=f(xk)×f(xn).
Ceci montre que fest un morphisme.
Nous avons donc achever la classification des groupes d’ordre quatre : à isomorphisme près,
ils sont de deux types : soit isomorphe au groupe de Klein, soit isomorphe au groupe des racines
4-ièmes de l’unité.