Groupes: compléments

MAT 1231 : Alg`ebre multilin´eaire et th´eorie des groupes
Groupes: compl´ements
Exercice 1 Soit f:G→G0un morphisme de groupes, H, K des sous-groupes de G
et H0, K0des sous-groupes de G0. Montrer que
H⊂f−1(f(H)), f(f−1(H0)) ⊂H0,
f(H∩K)⊂f(H)∩f(K), f−1(H0∩K0) = f−1(H0)∩f−1(K0),
f(H∨K) = f(H)∨f(K), f−1(H0)∨f−1(K0)⊂f−1(H0∨K0).
Exercice 2 Soit f:G→G0un morphisme surjectif de groupes et H, K des sous-
groupes de G.
1. Montrer que f−1(f(H)) = ker(f)·H. En d´eduire que si ker(f)⊂H, alors
f−1(f(H)) = H.
2. Montrer que si Hest normal dans G, alors f(H) est normal dans G0.
3. Montrer que si ker(f)⊂Hou ker(f)⊂K, alors f(H∩K) = f(H)∩f(K).
4. On suppose que Het Ksoient normaux dans G.
(a) Montrer que f(H∩K) est un sous-groupe normal de f(H)∩f(K).
(b) Montrer que pour tout x∈H,y∈K, on a xyx−1y−1∈H∩K.
(c) En d´eduire que le groupe quotient (f(H)∩f(K))/f(H∩K) est ab´elien.
Exercice 3 Soit Gun groupe.
1. Soit A⊂G. Montrer que hAi=Asi et seulement si Aest un sous-groupe de
G.
2. Soit (a, b)∈G2. L’implication hai=hbi ⇒ a=best-elle v´erifi´ee ?
3. Le groupe Zest-il engendr´e par 2 ? par {5,12}? Le groupe Z×Zest-il engendr´e
par (1,1) ?
Exercice 4 Soit Hun sous-groupe normal d’un groupe Get Aune partie de G.
On note πla surjection canonique de Gdans G/H. Montrer que G/H =hπ(A)isi
et seulement si G=hA∪Hi.
Exercice 5 Soit Het Kdeux groupes et notons Aut(H) le groupe des automor-
phismes de H. Soit α:K→Aut(H) un morphisme de groupes. On d´efinit une loi de
composition ∗sur H×Kpar
(h, k)∗(h0, k0)=(h·α(k)(h0), k ·k0)
pour tout (h, k),(h0, k0)∈H×K.

1. Montrer que (H×K, ∗) est un groupe. On l’appelle produit semi-direct de H
et Krelativement `a α, et on le note HoαK.
2. D´eterminer pour quel morphisme de groupes α:K→Aut(H), le produit semi-
direct HoαKest le produit direct des groupes Het K.
3. On suppose que Het Ksont des sous-groupes d’un groupe Gtel que H  G et
H∩K={1}. On d´efinit β:K→Aut(H) par β(k)(h) = k·h·k−1pour tout
h∈H,k∈K.
(a) Montrer que βest un morphisme de groupes.
(b) Soit φ:HoβK→HK l’application d´efinie par φ(h, k) = h·k, pour tout
h∈H,k∈K. Montrer que φest un morphisme de groupes. L’application
φest-elle un isomorphisme ?
Exercice 6 Soit Gun groupe.
1. Montrer que l’ensemble Int(G) de tous les automorphismes int´erieurs de Gest
un sous-groupe normal de Aut(G).
2. Montrer que Int(G) et G/Z(G) sont isomorphes.
indication : Consid´erer le morphisme φ:G→Int(G) tel que φ(a): x7→ axa−1
pour tout a∈G.
Exercice 7 Soit Het Kdes sous-groupes normaux d’un groupe G. On d´efinit le
commutateur de Het K, not´e [H, K], comme le sous-groupe de Gengendr´e par
tous les commutateurs [h, k] pour tout h∈H,k∈K. Montrer que [H, K] est un
sous-groupe normal de Gtel que [H, K]⊂H∩K. Montrer que si H∩K={1},
alors hk =kh pour tout h∈H,k∈K.
Exercice 8 Soit Gun groupe tel que g2= 1 pour tout g∈G. Montrer que Gest
ab´elien.
2