Formulaire de probabilités et statistiques

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Formulaire de probabilités et statistiques
1. Statistiques
Soit x une série statistique à une variable discrète : x = {(x1 , n1 ), (x2 , n2 ), ..., (xp , np )}.
La médiane M e de x partage la série en deux groupes de même effectif. Pour la calculer on range par ordre
croissant toutes les valeurs de la série, toute valeur xi étant répétée autant de fois que son effectif ni .
Pp
P
si l’effectif total est pair (N = i=1 ni = 2k)
si l’effectif total est impair (N = pi=1 ni = 2k + 1)
ème
ème
la médiane M e est la moyenne entre les k et k + 1
la médiane M e est égale à la k + 1ème valeur.
valeurs.
Les quartiles partagent la série en 4 groupes d’effectifs à peu près égaux ; de même les déciles partagent la série
en 10 groupes d’effectifs à peu près égaux. Les valeurs de la série étant rangées par ordre croissant, répétées autant
de fois que leur effectif :
Premier quartile :
Premier décile :
Q1 est la plus petite valeur de x, telle que au moins 25% D1 est la plus petite valeur de x, telle que au moins 10%
des valeurs de x soient inférieures ou égales à Q1 .
des valeurs de x soient inférieures ou égales à D1 .
Troisième quartile :
Neuvième décile :
Q3 est la plus petite valeur de x, telle que au moins 75% D9 est la plus petite valeur de x, telle que au moins 90%
des valeurs de x soient inférieures ou égales à Q3 .
des valeurs de x soient inférieures ou égales à D9 .
Pp
Pp
ni (xi − x̄)2
i=1
P
n
x
variance
:
V
(x)
=
i
i
p
.
moyenne : x̄ = Pi=1
p
i=1 ni
p
n
i=1 i
écart-type : σ(x) = V (x).
2. Probabilités conditionnelles
On définit une loi de probabilité p sur un univers Ω = {w1 , w2 , · · · , wn }, en associant à toute issue wi de Ω un
nombre pi ∈ [0, 1] tel que :
p(w1 ) + p(w2 ) + · · · + p(wn ) = 1
Un événement E de Ω est un sous-ensemble de Omega.
L’événement E = {e1 , e2 , · · · , ep } a pour probabilité : p(E) = p(e1 ) + p(e2 ) + · · · + p(ep ).
p(Ω) = 1 et p(∅) = 1.
Evénement contraire ou complémentaire : P (Ā) = 1 − P (A).
Conjonction de deux évenements :
p(A ∩ B) = p(A) × pA (B)
pA (B) =
p(A ∩ B)
p(A)
A et B sont disjoints (incompatibles) ssi p(A ∩ B) = ∅.
Si les événements sont indépendants alors :
pA (B) = p(B), ; pB (A) = p(A) ; p(A ∩ B) = p(A) × p(B)
Union de deux événements quelconques :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Union de deux évenements disjoints :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) ( si A ∩ B = ∅)
Loi des probabilités totales :
Si B1 B2 , ...Bn forment une partition de B, soit B = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn avec Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j
alors P (A ∩ B) = P (A ∩ B1 ) + P (A ∩ B2 ) + · · · + P (A ∩ Bn )
Variable aléatoire discrète : on munit un ensemble X = {x1 , x2 , ..., xn } d’une loi de probabilité p.
L’espérance mathématique de la v.a.r. X est la moyenne des valeurs xi pondérées par les probabilités pi :
E(X) = X̄ =
n
X
i=1
pi xi
V(X) =
n
X
i=1
pi (xi − X̄)2
σ(X) =
p
V(X)