Formulaire de probabilités et statistiques

1
Formulaire de probabilités et statistiques
1. Statistiques
Soit xune série statistique à une variable discrète : x={(x1, n1),(x2, n2), ..., (xp, np)}.
La médiane M e de xpartage la série en deux groupes de même effectif. Pour la calculer on range par ordre
croissant toutes les valeurs de la série, toute valeur xiétant répétée autant de fois que son effectif ni.
si l’effectif total est pair (N=Pp
i=1 ni= 2k)
la médiane M e est la moyenne entre les kème et k+ 1ème
valeurs.
si l’effectif total est impair (N=Pp
i=1 ni= 2k+ 1)
la médiane M e est égale à la k+ 1ème valeur.
Les quartiles partagent la série en 4 groupes d’effectifs à peu près égaux; de même les déciles partagent la série
en 10 groupes d’effectifs à peu près égaux. Les valeurs de la série étant rangées par ordre croissant, répétées autant
de fois que leur effectif :
Premier quartile :
Q1est la plus petite valeur de x, telle que au moins 25%
des valeurs de xsoient inférieures ou égales à Q1.
Troisième quartile :
Q3est la plus petite valeur de x, telle que au moins 75%
des valeurs de xsoient inférieures ou égales à Q3.
Premier décile :
D1est la plus petite valeur de x, telle que au moins 10%
des valeurs de xsoient inférieures ou égales à D1.
Neuvième décile :
D9est la plus petite valeur de x, telle que au moins 90%
des valeurs de xsoient inférieures ou égales à D9.
moyenne :¯x=Pp
i=1 nixi
Pp
i=1 ni.variance :V(x) = Pp
i=1 ni(xi−¯x)2
Pp
i=1 ni
écart-type :σ(x) = pV(x).
2. Probabilités conditionnelles
On définit une loi de probabilité psur un univers Ω = {w1, w2,··· , wn}, en associant à toute issue wide Ωun
nombre pi∈[0,1] tel que :
p(w1) + p(w2) + ···+p(wn) = 1
Un événement Ede Ωest un sous-ensemble de Omega.
L’événement E={e1, e2,··· , ep}a pour probabilité : p(E) = p(e1) + p(e2) + ···+p(ep).
p(Ω) = 1 et p(∅) = 1.
Evénement contraire ou complémentaire : P(¯ A) = 1 −P(A).
Conjonction de deux évenements :
p(A∩B) = p(A)×pA(B)pA(B) = p(A∩B)
p(A)
Aet Bsont disjoints (incompatibles) ssi p(A∩B) = ∅.
Si les événements sont indépendants alors :
pA(B) = p(B),;pB(A) = p(A) ; p(A∩B) = p(A)×p(B)
Union de deux événements quelconques :
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)
Union de deux évenements disjoints :
P(A∪B) = P(A) + P(B) ( si A∩B=∅)
Loi des probabilités totales :
Si B1B2, ...Bnforment une partition de B, soit B=B1∪B2∪ · · · ∪ Bnavec Bi∩Bj=∅si i6=j
alors P(A∩B) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + ···+P(A∩Bn)
Variable aléatoire discrète : on munit un ensemble X={x1, x2, ..., xn}d’une loi de probabilité p.
L’espérance mathématique de la v.a.r. Xest la moyenne des valeurs xipondérées par les probabilités pi:
E(X) = ¯ X=
n
X
i=1
pixiV(X) =
n
X
i=1
pi(xi−¯ X)2σ(X) = pV(X)