Théorème de Burnside

Développement: Théorème de Burnside
Adrien Fontaine
27 novembre 2012
Référence : Oraux X-ENS, Algèbre 2, exercice 3.6p171
Théorème 1 (Théorème de Burnside)
Un sous-groupe de GLn (C) d’exposant fini (c’est à dire qu’il existe un entier N tel que AN = I
pour toute matrice A du groupe) est fini.
Pour démontrer ce théorème, on va avoir besoin de la caractérisation classique des matrices nilpotente suivante :
Lemme 1
Soit A ∈ Mn (C). On a :
A est nilpotente ⇐⇒ ∀k ≥ 1, T r(Ak ) = 0
Démonstration : Le sens direct est évident en trigonalisant notre matrice A.
Réciproquement, supposons que pour tout k ≥ 1, T r(Ak ) = 0. Par l’absurde, si A n’est pas
nilpotente alors soient λ1 , ..., λr les valeurs propres distinctes non nulles de A, de multiplicités
respectives n1 , ..., nr . Alors, en trigonalisant A, l’hypothèse sur les traces nous donne ;
∀k ≥ 1, n1 λk1 + ... + nr λkr = 0
Le vecteur t (n1 , ..., nr ) est donc une solution non nulle du système linéaire :


λ1 λ2 ... λr  
 2
 x1
λ1 λ22 ... λ2r   . 
 .
.. 
 .
  ..  = 0
.
 .
xr
λr1 λr2 ... λrr
Or, le déterminant de la matrice du système est non nul (c’est un Vandermonde et les λi sont
tous distincts). D’où, une contradiction.
On est désormais en mesure de démontrer le théorème de Burnside.
Démonstration du théorème de Burnside : Soit N l’exposant de G.
Soit (Mi )1≤i≤m une base de V ect(G) formée d’éléments de G.
Soit
f : G →
Cm
A 7→ (T r(AMi ))1≤i≤m
Montrons que f est injective.
Soient A, B ∈ G telles que T r(AMi ) = T r(BMi ) pour tout 1 ≤ i ≤ m. Alors, par linéarité, on a :
∀M ∈ G, T r(AM ) = T r(BM )
1
2
Soit D = AB −1 ∈ G. Alors on a :
k
−1 k
k
∀k ∈ N, T r(Dk+1 ) = T r(A |B −1
{zD }) = T r(BB D ) = T r(D )
∈G
D’où par récurrence immédiate :
∀k ∈ N, T r(Dk ) = T r(In ) = n
D et In commutent donc on peut appliquer le binôme de Newton, et pour tout k ≥ 1, on a :
T r((D − In )k ) =
k
X
j=0
=
k
X
j=0
!
j
(−1)j T r(Dk−j )
k
!
j
(−1)j n
k
= n(1 − 1)k
=0
Donc, d’après le lemme démontré précédemment, D − In est nilpotente. Par ailleurs, G étant
d’exposant fini N , toutes les matrices de G sont annulées par X N − 1 qui est scindé à racines
simples, donc toutes les matrices de G sont diagonalisables. En particulier, D est diagonalisable
et donc, D − In est diagonalisable.
Par conséquent, D − In = 0, i.e D = In . D’où l’injectivité.
Il reste à montrer que l’image de f est finie.
Or, Im(f ) ⊂ X m où X = {T r(A), a ∈ G}.
Et on a vu que les éléments de G sont annulés par X N − 1, donc les valeurs propres des éléments
de G sont dans l’ensemble des racines N -ièmes de l’unité qui sont en nombre fini. Donc X est fini.
D’où G fini.
Remarque 1
La démonstration nous donne par ailleurs une majoration sur l’ordre de G. En effet, on a :
– |G| ≤ |X|m
– m ≤ n2
– |X| ≤ N n
3
Do’ù, |G| ≤ N n .