Théorème de Burnside

Développement: Théorème de Burnside
Adrien Fontaine
27 novembre 2012
Référence : Oraux X-ENS, Algèbre 2, exercice 3.6p171
Théorème 1 (Théorème de Burnside)
Un sous-groupe de GLn(C)d’exposant fini (c’est à dire qu’il existe un entier Ntel que AN=I
pour toute matrice Adu groupe) est fini.
Pour démontrer ce théorème, on va avoir besoin de la caractérisation classique des matrices nil-
potente suivante :
Lemme 1
Soit A∈Mn(C). On a :
Aest nilpotente ⇐⇒ ∀k≥1, T r(Ak)=0
Démonstration : Le sens direct est évident en trigonalisant notre matrice A.
Réciproquement, supposons que pour tout k≥1,T r(Ak)=0. Par l’absurde, si An’est pas
nilpotente alors soient λ1, ..., λrles valeurs propres distinctes non nulles de A, de multiplicités
respectives n1, ..., nr. Alors, en trigonalisant A, l’hypothèse sur les traces nous donne ;
∀k≥1, n1λk
1+... +nrλk r= 0
Le vecteur t(n1, ..., nr)est donc une solution non nulle du système linéaire :
λ1λ2... λr
λ2
1λ2 2... λ2
r
.
.
..
.
.
λr
1λr
2... λr
r
x1
.
.
.
xr
= 0
Or, le déterminant de la matrice du système est non nul (c’est un Vandermonde et les λisont
tous distincts). D’où, une contradiction.
On est désormais en mesure de démontrer le théorème de Burnside.
Démonstration du théorème de Burnside : Soit Nl’exposant de G.
Soit (Mi)1≤i≤mune base de V ect(G)formée d’éléments de G.
Soit f:G→Cm
A7→ (T r(AMi))1≤i≤m
Montrons que fest injective.
Soient A, B ∈Gtelles que T r(AMi) = T r(BMi)pour tout 1≤i≤m. Alors, par linéarité, on a :
∀M∈G, T r(AM ) = T r(BM)
1

2
Soit D=AB−1∈G. Alors on a :
∀k∈N, T r(Dk+1) = T r(A B−1Dk
| {z }
∈G
) = T r(BB−1Dk) = T r(Dk)
D’où par récurrence immédiate :
∀k∈N, T r(Dk) = T r(In) = n
Det Incommutent donc on peut appliquer le binôme de Newton, et pour tout k≥1, on a :
T r((D−In)k) =
k
X
j=0 j
k!(−1)jT r(Dk−j)
=
k
X
j=0 j
k!(−1)jn
=n(1 −1)k
= 0
Donc, d’après le lemme démontré précédemment, D−Inest nilpotente. Par ailleurs, Gétant
d’exposant fini N, toutes les matrices de Gsont annulées par XN−1qui est scindé à racines
simples, donc toutes les matrices de Gsont diagonalisables. En particulier, Dest diagonalisable
et donc, D−Inest diagonalisable.
Par conséquent, D−In= 0, i.e D=In. D’où l’injectivité.
Il reste à montrer que l’image de fest finie.
Or, Im(f)⊂Xmoù X={T r(A), a ∈G}.
Et on a vu que les éléments de Gsont annulés par XN−1, donc les valeurs propres des éléments
de Gsont dans l’ensemble des racines N-ièmes de l’unité qui sont en nombre fini. Donc Xest fini.
D’où Gfini.
Remarque 1
La démonstration nous donne par ailleurs une majoration sur l’ordre de G. En effet, on a :
–|G| ≤ |X|m
–m≤n2
–|X| ≤ Nn
Do’ù, |G| ≤ Nn3.