Probabilités

Lesprobabilitésvslastatistique
• Aveclastatistique,nousdisposonsdedonnées,d'observations
imparfaitesdumonderéeletnousessayonsdecomprendrecequise
passe
• Aveclesprobabilités,nousdisposonsdemodèlesmathématiquesqui
décriventunmondeidéalquin'existepasetquinouspermettentde
fairedesprédictionsprécises
• Typiquementlastatistiqueopèresurdeséchantillonsetessaiede
tirerdesconclusionsàproposdelapopulation
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Lesprobabilitésvslastatistique
piècenonpipée
(nonbiaisée,
unbiased)
simple
Probabilités
Onalemodèle
Onprédit lesdonnées
piècepipée
(biaisée,biased)
complexe
pièce
(biaisée
ou pas?)
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?
Statistique
Onalesdonnées
Onprédit lemodèle
2
Lesprobabilitésvslastatistique
?
Probabilités
Onsait ce quiest dans leseau.
Qu'y a-t-il dans lamain?
seau
?
seau
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Statistique
Onsait ce quiest dans lamain.
Qu'y a-t-il dans leseau ?
3
Lesprobabilitésvslastatistique
http://betterexplained.com/articles/a-brief-introduction-to-probability-statistics/
• Lesprobabilités consiste à partir d'unanimaletsedemanderquelles
empreintes il laissera.
• La statistique consiste à voir une empreinte età sedemande dequel
animalelle provient.Leprocessus est pluscomplexe comme illustré
ci-dessous.
1. Obtenir lesempreintes.Plusonena,mieuxc'est.
2. Mesurer lescaractéristiquesdebases(caractères)etcalculer les
paramètres.Profondeur,longueur,largeurdesempreintes,et
ensuitemoyenne,médiane,écart-type,...
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Lesprobabilitésvslastatistique
3. Trouverlesespèces.Ilyaunequantitéd'espècesdifférentesqui
auraientpuêtreàl'originedecesempreintes(distributionsde
probabilités). Onréduitlesespècesàconsidérerd'embléeense
basantsurlecontexte:danslesbois?Peut-êtredeschevauxmais
pasdezèbres.
4. Chercherunanimalspécifique.Onal'espèce(ladistribution):les
ours.Dequelourss'agit-ilenfonctiondesdonnéesdel'empreinte?
Onpeutlescompareràdesdonnéesconnuesgénéréesau
préalable(auzoosurdesours,àl'aidedeladistribution).
5. Onpeutensuitefairedesprédictions.
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Lesprobabilitésvslastatistique
• Ilyaunautreaspectimportantquidistinguelesdeux
• Lebutdesprobabilitésestdepouvoirdiscuterd'issuesincertaines
avantqu'ellesneseréalisent
• Lorsd'unjetdepièce,lachanced'avoirpileestjusteunechance
• Unefoisqueledéaétélancéetqu'onalerésultat,lesprobabilités
n'interviennentplus.Lerésultatestconnuaveccertitude
• C'estdoncunemesuredel'incertitude liéeàuneexpérience
• C'estenquelquesorteunemanièredequantifiernotreconnaissance
limitéed'unesituation
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Lesprobabilitésclassiques
• Laprobabilitéqu'unévénementseréaliseestlerapportentrele
nombredecasfavorablesetlenombredecaspossibles
• Touslescaspossiblessontconsidéréscommeéquiprobables
• Typiquement,cetteinterprétationsebasesurlasymétrieapparente
duproblème:cartes,dés,piècesdemonnaie,...
Nombre de cas favorables
p=
Nombre de cas possibles
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Lesprobabilitésclassiques:intervalle
• Etantdonnéquelenombredecasfavorablesestcomprisentre0etle
nombredecaspossibles,uneprobabilitéesttoujourscomprises
entre0et1,bornesincluses
• Cettepropriétéseratoujoursrespectéequellequesoitlamanièrede
calculerdesprobabilitésquenouschoisirons
0p1
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Lesprobabilitésclassiques:exemple1
• Onlanceunepièce.Ongagnesionaface.Onperdsionapile.Quelle
estlaprobabilitédegagner?
• Quelssonttouslescaspossibles?Pile,Face
• Quelssonttouslescasfavorables?Face
• Lescasfavorablessontceuxquipermettentàl'événement"jegagne"
deseréaliseretcelaarrivelorsqu'onaFace
• Quelleestlaprobabilitédegagner?
Nombre de cas favorables
1
p=
= = 0.5
Nombre de cas possibles
2
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Lesprobabilitésclassiques:exemple2
• Onlanceundé.Ongagnesionobtientunnombrepair.Quelleestla
probabilitédegagner?
• Quelssonttouslescaspossibles?⚀⚁⚂⚃⚄⚅
• Quelssonttouslescasfavorables?⚁⚃⚅
• Lescasfavorablessontceuxquipermettentàl'événement"jegagne"
deseréaliseretcelaarrivelorsqu'ona⚁,⚃ ou⚅
• Quelleestlaprobabilitédegagner?
Nombre de cas favorables
3
p=
= = 0.5
Nombre de cas possibles
6
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Lesprobabilitésclassiques:exemple3
• Ontiredescartesd'unjeude52cartes.Ongagnesionobtientune
figure.Quelleestlaprobabilitédegagner?
• Quelssonttouslescaspossibles?52(13cartespar♠♥♦♣)
• Quelssonttouslescasfavorables?12(valet,dame,roide♠♥♦♣)
• Lescasfavorablessontceuxquipermettentàl'événement"jegagne"
deseréaliseretcelaarrivelorsqu'onaunedes12cartes
• Quelleestlaprobabilitédegagner?
Nombre de cas favorables
12
3
p=
=
=
= 0.230769
Nombre de cas possibles
52
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Lesprobabilitésclassiques:exemple4
• Unevillecontientxfemmesetyhommes.Onchoisitunadultede
manièrealéatoire.Quelleestlaprobabilitéd'avoirunhomme?
• Quelssonttouslescaspossibles?x+y
• Quelssonttouslescasfavorables?y
• Lescasfavorablessontceuxquipermettentàl'événement"jegagne"
deseréaliseretcelaarrivelorsqu'onaundesyhommes
• Quelleestlaprobabilitéd'avoirunhomme?
Nombre de cas favorables
y
p=
=
Nombre de cas possibles
x+y
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Lesprobabilitésclassiques:exemple5
• Imaginonsunarcherdébutantquiessaied'atteindrelecentrede
rayon1delaciblederayon2ensupposantqu'ilatteintlacible.
Quelleestsachancedesuccès?
• Onpeutrecouriràuneproportionenutilisantlessurfaces
• Quelleestlasurfacetotale?Laflèchearrivesurlacible.Lasurfacede
lacibleπr2 avecr=2càd 4π
• Quelleestlasurfacefavorable?πr2 avecr=1càd π
am`7+2 /m +2Mi`2
π
1
p=
=
= = 0.25
am`7+2 /2 H +B#H2
4π
4
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Lesprobabilitésclassiques:problèmes
• Ilya4problèmesaveccetteinterprétationdesprobabilités:
• Ladéfinitionestcirculaire.Ondéfinitlaprobabilitéd'unévénementense
basantsurlefaitquelescassontéquiprobables,cequirevientàutiliserla
définitiondelaprobabilitéalorsqu'onestentraindeladéfinir
• Ladéfinitionestlimitée.Quefait-onlorsqu'iln'yapasdesymétriephysique?
• Commentpeut-onjustifierlasymétrie?Noussavonsqu'iln'existepasde
piècedemonnaieoudedéparfaitementsymétrique.Onpeutsedemander
d'ailleurssicetteinterprétationestapplicableàn'importequellesituationdu
monderéel
• Lenombredecasestfini
• Cependantnousverronsqu'ilestutilederaisonnerainsideparle
côtéintuitifetlafacilitédecompréhensionquienrésulte
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Problème1
• Quelleestlaprobabilitéqu'unepunaise
neterminepaslapointeverslehautlors
d'unlancé?
• Peut-ontrouveruneprobabilitédela
manièreclassique?Noncariln'yapasde
symétrie
• Ilestnécessairederépéterl'expériencede
nombreusesfoisetonauraunrapport
effectif/effectiftotalquis'approcherade
la"vraie"probabilité
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Problème2
• Siunefamillededeuxenfantsestsélectionnéealéatoirement,quelle
estlaprobabilitéqu'ilyaitdeuxgarçons?
• Quelssonttouslescaspossibles?FF,FG,GF,GG(Fille– Garçon)
• Quelssonttouslescasfavorables?GG
• Onadoncuneprobabilitéde¼=0.25
• Est-cebienlecas?Quellessontnoshypothèses?
• EtsivousalliezinterrogerdesgensdanslarueenBelgique,qu'auriezvouscommeréponse?
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Lesprobabilitéscommeunefréquence
Lavisionfréquentiste
• Uneautreinterprétationpossibleestdevoirlaprobabilitécommela
fréquence(relative)d'unévénementdansungrandnombre
d'expériences(passageàlalimite)
• Onvoitclairementlecôtéstatistiquedecettemanièredeprocéder
• Onaplusdeproblèmeliéàlasymétrie(absence,réalisme)des
probabilitésclassiquesnidecircularité
• Maiscelaimpliquedepouvoirrépéterl'expérience
1z2+iB7 /2 `ûHBbiBQM /2 HǶûpĕM2K2Mi
nx
p≈
=
1z2+iB7 iQiH
ne
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Exemple1(punaises)
Fréq.punaise
pointeverslebas
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
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5
10
15
20
Nbre dejetsde
10punaises
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Vocabulaire
• Nousallonschoisirunvocabulaireprécispourparlerdesprobabilités
• Cevocabulaireserautilisépourdéfinirunethéoriemathématiquedes
probabilitésquinedépendplusdesinterprétationsprécédentes
• Maisavantcelanousallonscontinueràexplorerl'interprétation
classiqueetaugmenternotreboîteàoutilspourcalculerlescas
favorablesetlescaspossibles
• Ceseral'objetdel'analysecombinatoire
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Expérience aléatoire etrésultats
• Enprobabilités,onréalise desexpériences (experiments)dont le
résultatestaléatoire
• Expériences:jetd’undé,jetdedeuxdés,pileouface,…
• Aléatoire :si l’expérience est répétée,sonrésultat peut différer.Onne
peut pasleprédire.Lehasard est présent.Ilyaplusieurs résultats
possibles.Lecontraired’aléatoire est déterministe
• Lerésultat uniqueou l’issue (outcome)d’une expérience est noté ω
(omegaminuscule)
• L’ensemble desrésultats possibles ou univers (samplespace)est noté
Ω (omegamajuscule)
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Résultats
• Noussavons quels sont tous lesrésultats possibles d’une expérience
avant delaréaliser
• Mais nousnesavons paslequel va sortir àl’issue del’expérience
• Eneffet,il s’agit d’une expérience aléatoire
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Unjetdepièce
• Onlanceune piècedemonnaie une fois
• Celancement est notre expérience
• Ilya2résultats possibles :pile(tail)ou face(head)
• Donc Ω ={P,F}
• Celaveut dire queω =Pou ω =F
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Unjetdedeux pièces
• Onlancedeux pièces demonnaie une fois
• Celancement est notre expérience
• Ilya4résultats possibles :PP,PF,FP,FF
• Donc Ω ={PP,PF,FP,FF}
• Celaveut dire queω =PPou ω =PFou ω =FPou
ω =FF
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Expérience aléatoire composée
• Une expérience aléatoire peut être répétée plusieurs fois.Commepar
exemple deuxjetsd’une pièce plutôt qu’un jetdedeuxpièces
• Dansce cas,nous considérons quenous avons toujours une seule
expérience maiscomposée d’étapes ou d’essais (trials)
• Donc,onraisonnera toujours dans lasuiteducours enterme
d’expérience unique
• Bienentendu,lesmathématiciens ont imaginé considérer des
expériences multiples.C’est ce qu’on appelle desprocessus aléatoires
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Expérience aléatoire composée
• Donc,plutôtquedevoirlejetd'unepiècedeuxfoiscommedeux
expériences:
• AvecΩ1 ={P,F}etΩ2 ={P,F}
• Cequin'est paspermis caronnedoit définir qu'un seul Ω
• Onregroupe ces deux essais (sous-expériences)dans une seule
expérience dans laquelle ondisposedetoutes lesissuespossibles :
• Ω ={PP,PF,FP,FF}
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Unjetd’undé
• Onlanceunfois undé à 6faces
• Cejetuniqued’undé est notre expérience
• Ilya6résultats possibles pourlenombre
obtenu :1,2,3,4,5ou 6
• Donc Ω = 1,2,3,4,5,6
• Cela veut dire que𝜔 = 1 ou𝜔 = 2 ou𝜔 = 3
ou𝜔 = 4 ou𝜔 = 5 ou𝜔 = 6
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Unjetdedeux dés
• Onlanceune fois deux dés à 6faces
• Cejetuniqueest notre expérience
• Chaque dé est identifiable
• Chaque résultat est écrit (dé1,dé2)
• Ilya36résultats possibles :(1,1),(1,2),
(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),
(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
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Unjetdedeux dés
• Donc Ω ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),
(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),
(6,5),(6,6)}
• Notez que Ω dépend del’usage qu’on compte fairedenotre
expérience.Cfr.slidessuivants aveclesévénements
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Evénement
• Unévénement (event)est une suppositionrelativeaurésultat d’une
expérience aléatoire
• Une fois l’expérience accomplie l’événement est réalisé ou non
• Onutilise habituellement une lettre majusculepourledésigner
comme A,B,C,…
• Onpourrait avoir comme événements pourl’expérience aléatoire de
jetd’undé :
• A=ledé vaut 4
• B =ledé est strictement inférieur à 4=ledé vaut 1,2ou 3
• C=ledé est unnombre pair
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Evénement (ex:dé =4)
• Prenons l’événement A=ledé vaut 4
• L’expérience consiste à jeter undé une seule fois età noter lerésultat
ω
• Noussavons que Ω est l’ensemble detous lesrésultats possibles,à
savoir1ou 2ou 3ou 4ou 5ou 6,c’est-à-direl’ensemble {1,2,3,4,5,6}
• L’événement Aseraréalisé si lerésultat ω vaut 4
• L’événement Aneserapasréalisé si lerésultat ω vaut 1ou 2ou 3ou
5ou 6
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Evénement (ex:dé <4)
• Prenons l’événement B=ledé est strictement inférieur à 4
• L’expérience consiste à jeter undé une seule fois età noter lerésultat
ω
• Noussavons que Ω est l’ensemble detous lesrésultats possibles,à
savoir1ou 2ou 3ou 4ou 5ou 6,c’est-à-dire{1,2,3,4,5,6}
• L’événement Bseraréalisé si lerésultat ω vaut 1ou 2ou 3
• L’événement Bneserapasréalisé si lerésultat ω vaut 4ou 5ou 6
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Evénement (exavecdeux dés)
• Onpourrait avoir pourl’expérience dejetdedeux dés :
•
•
•
•
•
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A=lasomme desdés vaut 5
B =lesdeux dés sont identiques
C =lesdeux dés sont différents
D =lerésultat est (6,6)
E =lerésultat est (1,1),(1,2)ou (1,3)
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Evénement (somme =5)
• Prenons l’événement A=lasomme desdés vaut 5
• L’expérience consiste à jeter deux dés une seule fois età noter le
résultat ω
• Noussavons que Ω est l’ensemble detous lesrésultats possibles,à
savoir{(1,1),(1,2),…}
• L’événement Aseraréalisé si lerésultat ω vaut (1,4)ou (2,3)ou (3,2)
ou (4,1)
• L’événement Aneserapasréalisé dans lecas contraire
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Evénement (somme =5)
• Nousavons choisi Ω comme représentant tous lesrésultats possibles
avecdeux dés
• Mais nousaurions pu negarder que lasomme desdés puisque c’est
cela quinousintéresse
• Donc ce cas,Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
• Prenons l’événement A=lasomme desdés vaut 5
• L’événement Aseraréalisé si lerésultat ω vaut 5
• L’événement Aneserapasréalisé dans lecas contraire
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Evénement comme sous-ensemble
• Onidentifie unévénement ausous-ensembledeΩ quicorrespond
auxrésultats quileréalisent
• Unévénement necontenant qu'un élément est appelé unévénement
élémentaire
• Dans lecas delasomme dedeux dés avecΩ ={(1,1),(1,2),…}avec
l’événement A=lasomme desdés vaut 5,ona:A={(1,4),(2,3),(3,2),
(4,1)}
• Dans lecas delasomme dedeux dés avecΩ ={2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11,12}avecl’événement A=lasomme desdés vaut 5,ona:A={5}
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Probabilitésclassiques
• Toutcenousvenonsdedirepréciselevocabulairequenousallons
utiliser
• Danslecasdesprobabilitésclassiques,nouscalculonsuneprobabilité
enfaisantlerapportnbre casfavorablessurnbre caspossibles
• CelarevientàconsidérerlesévénementsEcommedesensembleset
àcompterleursélémentsetdoncconsidérerleurcardinalité
LQK#`2 /2 +b 7pQ`#H2b
|E|
p=
=
LQK#`2 /2 +b TQbbB#H2b
|Ω|
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Probabilitésclassiques
Sommedesdés=5
• Considéronslesdeuxslidesprécédents:
1. SoitΩ ={(1,1),(1,2),…,(6,6)}etA={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
2. Soit Ω ={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}etA={5}
• Lesprobabilités classiques donnent lesvaleurs suivantes :
1.
2.
+
,
+
,
=
=
./
0
00
0
1
= = 0.11111 …
= 0.0909090 …
• Laquelle est labonne?
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