TD PETIT LEXIQUE DE LOGIQUE ET NOTATIONS TS Proposition

TD PETIT LEXIQUE DE LOGIQUE ET NOTATIONS TS
Proposition: C'est un énoncé mathématique qui peut être vrai ou faux.
Exemples:
(P): ABC est isocèle en A (Q): Les angles de sommet B et C sont égaux
(R): (U
n
) est croissante (I): x
2
>4
Implication: Soit (P) et (Q) deux propositions.
On dit que (P) implique (Q) pour signifier que lorsque (P) est vraie, alors (Q) est vraie.
On note (P)(Q)
On formule: si (P) alors (Q) ou encore (P) donc (Q)
Exemples:
1 ABC isocèle en A ⇒ les angles de sommets B et C sont égaux.
2 (U
n
) est croissante ⇒ (U
n
) est minorée par...................................
3 ....................................⇒ x
2
>4
Lorsque (P)⇒(Q), on dit que
-(P) est une condition suffisante pour Q car il suffit que (P) soit vraie pour que (Q) le
soit aussi.
-(Q) est une condition nécessaire pour (P) car on ne peut avoir (P) vraie et (Q) fausse
simultanément donc il est nécessaire d'avoir (Q) pour avoir (P).
-Remarquons que l'on peut avoir simultanément (P) fausse et (Q) vraie.
En effet si (P) est x>2 et (Q) x²>4 alors pour x=-3 on a (P) fausse et (Q) vraie.
Implication réciproque: Soit l'implication (P)⇒(Q), la réciproque est l'implication
(Q)⇒(P).
Attention, une implication peut être exacte et sa réciproque erronée.
Exemples:
La réciproque de 1 est exacte
La réciproque de 2 est fausse, en effet considérons la suite U
1
=2 et U
n+1
=U
n
+(-1)
n+1
.
On a ................................................................................................................................................
La réciproque de 3 est ...............................................................................................................
Equivalence: On dit que deux propositions (P) et (Q) sont équivalentes lorsqu'on a la
double implication (P)⇒(Q) et (Q)⇒(P).
On note (P)⇔(Q)
On formule: (P) équivaut à (Q) ou (P) si et seulement si (ssi) (Q)
dans ce cas les propositions sont vraies simultanément ou fausses simultanément

Exemples:
ABC isocèle en A ⇔ les angles de sommets B et C sont égaux.
.....................................................................................................................
......................................................................................................................
Lorsque (P)⇔(Q) on dit que (P) est une condition nécessaire et suffisante pour Q.
Les connecteurs logiques "ou" et "et": Soit (P) et (Q) deux propositions.
La proposition ((P) ou (Q)) est vraie si au moins une des deux propositions est vraie
La proposition ((P) et (Q)) est vraie si les deux propositions sont vraies
Exemples:
a.b=0 ⇔ a=0.......b=0
a
2
+b
2
=0 ⇔ a=0........b=0
x
2
>4 ⇔......................................
Les quantificateurs:
L'expression "quel que soit" ou encore "pour tout" est un quantificateur universel. Il se
note ∀.
L'expression "il existe (au moins un)" est un quantificateur existentiel. Il se note ∃
Exemples:
Pour tout x∈[0,1] se note ∀x∈[0,1]
Pour tout entier naturel non nul se note ∀n∈*
Il existe un entier relatif k tel que u
k
est positif se note ∃k∈, u
k
≥0
Il existe un réel a de [0,1] qui a pour image 2 par f se note .......................................................
(U
n
)
n≥0
est minorée par son premier terme ⇔...................................
L'équation f(x)=0 a une solution sur  ⇔...........................................
(U
n
)
n≥0
est minorée ⇔.................................................................................
Négation d'une proposition: Soit (P) une proposition. Sa négation est la proposition qui
est vraie lorsque (P) est fausse et fausse lorsque (P) est vraie.
On formule: non (P)
Exemples:
La négation de f est croissante est f n'est pas croissante
x∈ est x∉
x²≥1 est................................................................
"Tous les élèves ont choisi la spécialité math" est........................................
"Quelques personnes sont allergiques à l'iode" est.......................................
∀x∈, f(x)=f(-x) est..........................................
∃x∈, f(x)=0 est ................................................

Quelques exercices
I. QCM de logique-Concours ESIEE Mai 2005
Chaque question est pourvue de cinq réponses, plusieurs réponses peuvent être vraies ou
fausses.
Exercice 1: On considère un ensemble de 100 dalles qui sont carrées, hexagonales ou
octogonales et qui sont d'une seule couleurs bleue, verte ou blanche.
Sachant que toutes les dalles blanches sont carrées, on peut en déduire que:
1. Aucune dalle hexagonale n'est blanche.
2. Aucune dalle blanche n'est hexagonale
3. Si une dalle est carrée alors elle est blanche.
4. Si une dalle est blanche alors elle est carrée.
5. Pour qu'une dalle soit blanche, il suffit qu'elle soit carrée.
Exercice 2: On considère un ensemble de 100 dalles qui sont carrées, hexagonales ou
octogonales et qui sont d'une seule couleurs bleue, verte ou blanche.
On considère les énoncés suivants:
P:" Toute dalle octogonale est bleue ou verte."
Q: "Il existe au moins une dalle verte carrée et une dalle blanche octogonale."
1. Si P est vrai alors Q est nécessairement faux.
2. Si toutes les dalles carrées sont blanches alors P est nécessairement vrai.
3. Si toutes les dalles carrées sont blanches alors Q est nécessairement faux.
4. Si toutes les dalles vertes sont hexagonales alors P est nécessairement faux.
5. Si toutes les dalles vertes sont hexagonale, alors Q est nécessairement faux.
II. Une rédaction incorrecte
Lire l'énoncé et la réponse, puis trouver la raison pour laquelle le professeur n'est pas
content…..
Enoncé: Montrer que la droite D d'équation y=x-2 est asymptote en +∞ à la courbe (C),
représentative de la fonction f définie sur ]-1;+∞[ par f(x)=
1
x
1
x
²
x
+−− .
Réponse: Si la droite D est asymptote à la courbe (C) en +∞ alors,
0
))
2
x
(
)
x
(
f
(
lim
x
=−−
+∞→
.
Or, ∀x∈]-1;+∞[,
1
x
1
1
x
)
1
x
)(
2
x
(
1
x
1x²x
2x
1
x
1x²x
)2x()x(f + =
+
+
−
−
+−−
=−−
+−−
=−−
Donc 0
1
x
1
lim))2x()x(f(lim
x
x
=
+
=−−
+∞→+∞→
Et par suite, la droite D est bien asymptote à la courbe (C)