Formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie Plusieurs des formules suivantes possèdent des restrictions dont nous avons volontairement omis le domaine afin de ne pas alourdir le texte. Opérations arithmétiques Logarithmes et fonctions exponentielles a c a d + bc + = b d bd a/b a d ad = × = c/d b c bc a (b + c) = a b + a c a +b a b = + c c c Propriétés des exposants et des radicaux am = a m−n an ¡ m ¢n a = a mn a m a n = a m+n (a b)n = a n b n an = n b b p p p n n ab = n a b p r n a a n = p n b b 1 a −n = n a 1 p n a=an p n am = ³ a ´n ¡p ¢m m n a =a n Factorisations et développements ¡ 2 ¢ a − b 2 = (a − b)(a + b) ¡ 3 ¢ ¡ ¢ a − b 3 = (a − b) a 2 + a b + b 2 ¡ 3 ¢ ¡ ¢ a + b 3 = (a + b) a 2 − a b + b 2 (a + b)2 = a 2 + 2a b + b 2 Fonction exponentielle y = a x a >1 0<a <1 croissance décroissance ⇒ ⇒ y = loga (x) y = ln(x) ⇐⇒ ⇐⇒ ay = x ey = x En général on utilise la base e ≈ 2, 71828 . . ., et donc le log naturel ln. Cela permet de définir z c = e c ln(z) Les propriétés suivantes sont autant valables pour loga (x) que pour ln(x). ln(1) = 0 ln(e m ) = m e ln(m) = m ³m ´ ln = ln(m) − ln(n) n ln(u) logb (u) = ln(b) ln(e) = 1 ln(m n) = ln(m) + ln(n) ¡ ¢ ln m p = p ln(m) Fonctions hyperboliques sinh(x) = e x − e −x 2 cosh(x) = e x + e −x 2 (a − b)2 = a 2 − 2a b + b 2 e x − e −x tanh(x) = x e + e −x (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 + b 3 (a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3a b 2 − b 3 (a + b)4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4a b 3 + b 4 Ã ! Ã ! n n n n! P (a + b)n = a n−k b k où = k! (n − k)! k k=0 k (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b) x + a b µ ¶ A 2 A2 (complétion de carré) − x2 + A x = x + 2 4 Figures classiques 2D et 3D, (aire A, circonférence C , volume V ) Équation quadratique Si a x 2 + b x + c = 0 avec a 6= 0 alors x= −b ± p b 2 − 4a c 2a On obtient des solutions réelles ou complexes selon la valeur du discriminant ∆ = b 2 − 4a c Triangle A= = b θ 1 2ah 1 2 a b sin(θ) Cercle Secteur circulaire A = 12 r 2 θ A = πr 2 C = 2πr h s =r θ (θ en radians) r a r θ s r Inégalités et valeur absolue a <b ⇒ a +c < b +c a < b et c > 0 ⇒ ac <bc a < b et c < 0 ⇒ ac >bc Si X représente une variable ou une expression et b > 0 ¯ ¯ ¯ X ¯ = b ⇐⇒ X = b ou X = −b ¯ ¯ ¯ X ¯ < b ⇐⇒ −b < X < b ¯ ¯ ¯ X ¯ > b ⇐⇒ X > b ou X < −b École de technologie supérieure Sphère V = 43 πr 3 A = 4πr 2 Cylindre V = πr 2 h A = 2πr 2 +2πr h Cône V = 31 πr 2 h A = πr 2 + πr a r r h a h r © Gilles Picard, 2 décembre 2016 Formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie Géométrie dans le plan cartésien Fonctions trigonométriques réciproques Considérons 2 points, P 1 (x 1 ; y 1 ) et P 2 (x 2 ; y 2 ) q ¡ ¢2 Distance entre P 1 et P 2 : d = (x 2 − x 1 )2 + y 2 − y 1 ³x +x y +y ´ 1 2 1 2 ; Point milieu de P 1 P 2 est 2 2 Droite passant par P 1 et P 2 : y2 − y1 La pente est m = x2 − x1 Équation : y = m x + b ou y − y 1 = m (x − x 1 ) y = sin(x) ⇐⇒ arcsin(y) = x y = tan(x) ⇐⇒ arctan(y) = x y = cos(x) ⇐⇒ π π ≤x≤ et −1 ≤ y ≤ 1 2 2 0 ≤ x ≤ π et −1 ≤ y ≤ 1 π π − <x< et −∞ < y < ∞ 2 2 − arccos(y) = x (où b est l’ordonnée à l’origine) Cercle de rayon r centré en (a; b) (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 Trigonométrie Identités trigonométriques de base Mesure des angles csc(θ) = sec(θ) = sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1 1 + tan2 (θ) = sec2 (θ) sin(−θ) = − sin(θ) sin(x) est une fonction impaire cos(−θ) = cos(θ) cos(x) est une fonction paire tan(−θ) = − tan(θ) ³ π´ = cos(θ) sin θ + 2 ³ π´ = sin(θ) cos θ − 2 tan(x) est une fonction impaire ³ π´ sin θ − = − cos(θ) 2 ³ π´ −1 = − cot(θ) tan θ − = 2 tan(θ) r π radians = 180° 1° = 180° π radians et 1 rad = 180 π s θ r s = r θ où θ est en radians Triangle rectangle et trigo sin(θ) = opp hyp tan(θ) = opp adj cos(θ) = adj hyp hyp adj Fonctions trigonométriques 1 sin(θ) = y cos(θ) = x tan(θ) = opp θ (x;y) y 1 θ x 1 -1 1 cos(θ) cos(θ) 1 cot(θ) = = sin(θ) tan(θ) 1 sin(θ) sin(θ) tan(θ) = cos(θ) Autres identités trigonométriques sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v) sin(u − v) = sin(u) cos(v) − cos(u) sin(v) y x cos(u + v) = cos(u) cos(v) − sin(u) sin(v) -1 cos(u − v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) sin(2u) = 2 sin(u) cos(u) cos(2u) = cos2 (u) − sin2 (u) 1 + cos(2u) 1 − cos(2u) cos2 (u) = sin2 (u) = 2 2 Triangle quelconque et trigo c B a C A b Fonctions trigonométriques, valeurs principales θ 0° 30° 45° 60° 90° θ en radians 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sin(θ) 0 1/2 p 2/2 p 3/2 1 École de technologie supérieure cos(θ) 1 p 3/2 p 2/2 1/2 0 Loi des sinus : tan(θ) 0 p 3/3 1 p 3 Ø sin(A) sin(B ) sin(C ) = = a b c Lois des cosinus : a 2 = b 2 + c 2 − 2b c cos(A) b 2 = a 2 + c 2 − 2a c cos(B ) c 2 = a 2 + b 2 − 2a b cos(C ) © Gilles Picard, 2 décembre 2016