2e partie : La trigonométrie dans le triangle rectangle

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2e partie : La trigonométrie dans le triangle rectangle
On considère un triangle rectangle en C. On
note angles et côtés selon la convention
adoptée dans le schéma ci-contre.
Lorsque les triangles sont semblables, c’est-
à-dire lorsque deux triangles ont des angles
égaux, le rapport entre leurs côtés
homologues est constant. Ces rapports
peuvent dès lors faire l’objet d’une étude.
Cette étude s’appelle la trigonométrie.
Définitions
Dans un triangle rectangle, le rapport du côté adjacent d’un angle à l’hypoténuse est appelé
cosinus de cet angle. Cela se note, pour l’angle
α
,
cos( ) b
c
α =
.
Dans un triangle rectangle, le rapport du côté opposé d’un angle à l’hypoténuse est appelé sinus
de cet angle. Cela se note, pour l’angle
α
, :
sin( ) a
c
α =
.
Dans un triangle rectangle, le rapport du côté opposé d’un angle au côté adjacent à cet angle est
appelé tangente de cet angle. Cela se note, pour l’angle
α
, :
tan( ) a
b
α =
.
Exercices
1. Dans un triangle rectangle donné on sait que
tan ( ! )=2
, où
ϑ
est un des angles de ce
triangle.
a) Construire un angle de mesure
!
.
b) Calculez les valeurs exactes de
sin( ! ) et cos( ! )
.
2. a) Construire un triangle ABC, rectangle en C sachant que
sin( ! )=0, 4
.
b) Quelle est la valeur exacte de
cos( ! ) et tan ( ! )?
c) Quelles sont les dimensions de ce triangle sachant que son aire et de 10 cm2 ?
3. Démontrez que:
a)
tan ( ! )=sin(
! )
cos( ! )
b)
sin2( ! )+cos2( ! )=1
C
b
A
a
B
c
α
β
γ
c

2
4. a) En considérant un triangle rectangle isocèle, établissez les valeurs exactes des sinus,
cosinus et tangente de l’angle de 45°.
b) En considérant le fait que la hauteur d’un triangle équilatéral partage ce dernier en
deux triangles rectangles identiques, établissez les valeurs exactes des sinus, cosinus et
tangente des angles de 30° et 60°.
c) En vous appuyant sur les valeurs du côté d’un octogone régulier inscrit dans un cercle
de rayon 1, établissez les valeurs exactes des sinus, cosinus et tangente de l’angle de
22,5°.
5. Dans un cercle de rayon 1 on considère
la figure ci-dessous
Montrez que:
cos2( ! )=1+cos(2
! )
2
Indications:
a) Que vaut
!
?
b) Que vaut
cos(2 ! )
?
c) Etablir de deux façons différentes le
cos( ! )
et conclure.
d) Utilisez ce résultat pour calculer les
valeurs exactes de
cos(15°), cos(7, 5°)
,
et de cos(22,5°).
e) Déduire de ces résultats les valeurs
exactes de sin(75°), sin(82,5°),
sin(67,5°), sin(15°), sin(7,5°), et
sin(22,5°).
6. Un homme aperçoit un arbre vertical sous un angle de 38,6°. Il recule de 25 m et voit ce
même arbre sous un angle de 18,3°. On admettra que les yeux de l’observateur se situent
au même niveau que le pied de l’arbre. Quelle est alors la hauteur de l’arbre ? A quelle
distance du pied de l’arbre l’observateur se trouvait-il au début ?
(Réponse : 14,12 m et 17,68 m)
7. Dans un cercle, une corde sous-tendant un arc de 82° est à 20 cm du centre. Quelle est la
longueur de cette corde ?
(Réponse : 34,77 cm)
8. Un observateur aperçoit de l’autre côté d’un canal un arbre vertical, juste en face de lui,
sous un angle de 35°. Il se déplace de 30 m le long de la rive et voir maintenant l’arbre
sous un angle de 19°. Calculer la largeur du canal ainsi que la hauteur de l’arbre.
(Réponse : 16,94 m et 11,86 m)
9. Quelle portion de la surface terrestre aperçoit-on depuis un satellite géostationnaire situé
à 36000 km d’altitude ? On admettra que le globe terrestre est une sphère de 6370 km de
rayon.
α
β
A
B
D
C
•

3
O
M
V
S
(Réponse : 42,48%)
10. La distance « à vol d’oiseau » de Rolle à Villeneuve est approximativement de 45 km.
En supposant que l’on parvienne à relier, par un câble parfaitement rectiligne, deux
bornes situés au bord du lac, l’une à Rolle l,’autre à Villeneuve, quelle serait la
profondeur maximum atteinte par le câble dans le lac ?
(Réponse : 39,7 m)
11. D’un point de vue situé à 225 m au-dessus du niveau d’un lac, on aperçoit le sommet
d’une montagne de la rive opposée sous un angle d’élévation de 5,13°. De ce même point
de vue, l’image réfléchie du sommet de la montagne par la surface du lac apparaît sous un
angle de dépression de 6,88°. Calculer l’altitude de cette montagne sachant que celle du
lac est de 375 m.
(Réponse : 1908 m)
12. Couché sur le sable au niveau d’une mer parfaitement calme, j’observe un voilier de
10 m de haut s’éloigner perpendiculairement au rivage. À quelle distance le sommet de
son mât va-t-il complètement disparaître de ma vue (des jumelles sont à portée de main si
nécessaire) ?
O : centre de la terre
M : moi (
6500OM km=
)
V(oilier) + S(ommet du mât) :
10VS m=
MS : ma ligne de vue
(Réponse : ............. km)
13. Sur un voilier immobile au niveau de l’équateur, Gerhard et Myriam contemplent les
derniers rayons du jour. Perché en haut du mât, Gerhard parvient à les observer 24
secondes de plus que Myriam, qui se trouve 10 m en dessous de lui dans l’ombre. En
supposant l’axe de rotation de la Terre perpendiculaire à l’écliptique déduire son rayon.
(Réponse : .................... km)