2e partie : La trigonométrie dans le triangle rectangle

2e partie :
La trigonométrie dans le triangle rectangle
On considère un triangle rectangle en C. On
note angles et côtés selon la convention
adoptée dans le schéma ci-contre.
Lorsque les triangles sont semblables, c’està-dire lorsque deux triangles ont des angles
égaux, le rapport entre leurs côtés
homologues est constant. Ces rapports
peuvent dès lors faire l’objet d’une étude.
Cette étude s’appelle la trigonométrie.
B
c
A
c
β
a
γ
α
b
C
Définitions
Dans un triangle rectangle, le rapport du côté adjacent d’un angle à l’hypoténuse est appelé
b
cosinus de cet angle. Cela se note, pour l’angle α , cos(α ) = .
c
Dans un triangle rectangle, le rapport du côté opposé d’un angle à l’hypoténuse est appelé sinus
a
de cet angle. Cela se note, pour l’angle α , : sin(α ) = .
c
Dans un triangle rectangle, le rapport du côté opposé d’un angle au côté adjacent à cet angle est
a
appelé tangente de cet angle. Cela se note, pour l’angle α , : tan(α ) = .
b
Exercices
1.
Dans un triangle rectangle donné on sait que tan( ! ) = 2 , où ϑ est un des angles de ce
triangle.
a) Construire un angle de mesure ! .
b) Calculez les valeurs exactes de sin( ! ) et cos( ! ) .
2.
a) Construire un triangle ABC, rectangle en C sachant que sin(! ) = 0, 4 .
b) Quelle est la valeur exacte de cos(! ) et tan(! )?
c) Quelles sont les dimensions de ce triangle sachant que son aire et de 10 cm2 ?
3.
Démontrez que:
a) tan(! ) =
sin(! )
cos(! )
b) sin 2 (! ) + cos2 (! ) = 1
1
4.
a) En considérant un triangle rectangle isocèle, établissez les valeurs exactes des sinus,
cosinus et tangente de l’angle de 45°.
b) En considérant le fait que la hauteur d’un triangle équilatéral partage ce dernier en
deux triangles rectangles identiques, établissez les valeurs exactes des sinus, cosinus et
tangente des angles de 30° et 60°.
c) En vous appuyant sur les valeurs du côté d’un octogone régulier inscrit dans un cercle
de rayon 1, établissez les valeurs exactes des sinus, cosinus et tangente de l’angle de
22,5°.
5.
6.
Dans un cercle de rayon 1 on considère
la figure ci-dessous
1+ cos(2! )
2
Montrez que: cos (! ) =
2
Indications:
a) Que vaut ! ?
b) Que vaut cos(2 ! ) ?
c) Etablir de deux façons différentes le
cos(! ) et conclure.
d) Utilisez ce résultat pour calculer les
valeurs exactes de cos(15°), cos(7, 5° ) ,
et de cos(22,5°).
e) Déduire de ces résultats les valeurs
exactes
de
sin(75°),
sin(82,5°),
sin(67,5°), sin(15°), sin(7,5°), et
sin(22,5°).
C
D
A
α
β
•
B
Un homme aperçoit un arbre vertical sous un angle de 38,6°. Il recule de 25 m et voit ce
même arbre sous un angle de 18,3°. On admettra que les yeux de l’observateur se situent
au même niveau que le pied de l’arbre. Quelle est alors la hauteur de l’arbre ? A quelle
distance du pied de l’arbre l’observateur se trouvait-il au début ?
(Réponse : 14,12 m et 17,68 m)
7.
Dans un cercle, une corde sous-tendant un arc de 82° est à 20 cm du centre. Quelle est la
longueur de cette corde ?
(Réponse : 34,77 cm)
8.
Un observateur aperçoit de l’autre côté d’un canal un arbre vertical, juste en face de lui,
sous un angle de 35°. Il se déplace de 30 m le long de la rive et voir maintenant l’arbre
sous un angle de 19°. Calculer la largeur du canal ainsi que la hauteur de l’arbre.
(Réponse : 16,94 m et 11,86 m)
9.
Quelle portion de la surface terrestre aperçoit-on depuis un satellite géostationnaire situé
à 36000 km d’altitude ? On admettra que le globe terrestre est une sphère de 6370 km de
rayon.
2
(Réponse : 42,48%)
10.
La distance « à vol d’oiseau » de Rolle à Villeneuve est approximativement de 45 km.
En supposant que l’on parvienne à relier, par un câble parfaitement rectiligne, deux
bornes situés au bord du lac, l’une à Rolle l,’autre à Villeneuve, quelle serait la
profondeur maximum atteinte par le câble dans le lac ?
(Réponse : 39,7 m)
11.
D’un point de vue situé à 225 m au-dessus du niveau d’un lac, on aperçoit le sommet
d’une montagne de la rive opposée sous un angle d’élévation de 5,13°. De ce même point
de vue, l’image réfléchie du sommet de la montagne par la surface du lac apparaît sous un
angle de dépression de 6,88°. Calculer l’altitude de cette montagne sachant que celle du
lac est de 375 m.
(Réponse : 1908 m)
12.
Couché sur le sable au niveau d’une mer parfaitement calme, j’observe un voilier de
10 m de haut s’éloigner perpendiculairement au rivage. À quelle distance le sommet de
son mât va-t-il complètement disparaître de ma vue (des jumelles sont à portée de main si
nécessaire) ?
S
V
O
M
O : centre de la terre
M : moi ( OM = 6500 km )
V(oilier) + S(ommet du mât) : VS = 10 m
MS : ma ligne de vue
(Réponse : ............. km)
13.
Sur un voilier immobile au niveau de l’équateur, Gerhard et Myriam contemplent les
derniers rayons du jour. Perché en haut du mât, Gerhard parvient à les observer 24
secondes de plus que Myriam, qui se trouve 10 m en dessous de lui dans l’ombre. En
supposant l’axe de rotation de la Terre perpendiculaire à l’écliptique déduire son rayon.
(Réponse : .................... km)
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