Étude des modes de gravité dans les étoiles en rotation rapide

Rapport de stage de M2R
Astrophysique, Sciences de l’Espace et Planétologie
Étude desmodesde gravité dans lesétoiles
en rotation rapide
VincentPrat
4juin 2010
Encadrant:
François Lignières (Latt)
Co-encadrant:
Jérôme Ballot(Latt)

Remerciements
Je tiens tout d’abord àremercierchaleureusementmes encadrants,François Lignièreset Jérôme
Ballot, pour leurpatience, leurs réponsesàmes questions, leurs explications,pour toutes les discussions
intéressantes que nousavonspu avoir,pourleurs remarques et plus généralementpour toute l’aidequ’ils
m’ontapporté durantce stage que j’ai beaucoupapprécié. Encoreun trèsgrand merciàeux.
Je remercie ensuite Rim Fareset Maria Eliana Escobar, mes voisines de bureau,ainsiquetous leurs
amis del’OMP,quim’ontaccueilli chaleureusementdès mon arrivée et ontgrandementfacilité mon
intégration au sein du laboratoire.
Merci égalementàMickael Pasek, doctorantdel’équipedeDynamiquedes Fluides Astrophysiques
du Latt,pour sa contribution àla modification du code numériqueutilisé durantle stage.
Pourfinir,je remercie toute ma famille et tous mes amispour leur soutiendanslesmoments difficiles
et pour leuraffection.
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Table desmatières
1Introduction 2
1.1 Contexte astrophysique..................................... 2
1.2 Contenudu stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2Équation iconale 4
2.1 Dérivation del’équation iconale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Réduction du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Approximation de WKB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Discussion sur l’équation iconale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Différentesexpressions de l’équation iconale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Domaines depropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3Formulation hamiltonienne de ladynamiquedes rayons 17
3.1 De l’équation iconale aux équations hamiltoniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Cas particulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Écriture des équationsdela dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Simulation et analyse desrésultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Écriture des équationsen géométrie sphérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Code numériqueutilisé ...................................... 20
3.4.1 Origine du code ...................................... 20
3.4.2 Fonctionnementdu code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.3 Contrôlede l’erreur ................................... 21
4Trajectoires et sections dePoincaré 22
4.1 Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.1 Sansrotation ....................................... 22
4.1.2 Avec rotation ....................................... 22
4.2 Sections de Poincaré ....................................... 24
4.2.1 Exemplesdesections de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2 Structurede l’espacedesphases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5Conclusion 29
Bibliographie 30
AAnnexes 31
A.1 Expression finalede l’équation en pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.2 Calcul de la forme normale ................................... 32
A.3 Terme constant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A.4 Passage au repère principal ................................... 34
A.5 Domaine de propagation en sphériquesans rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A.6 Solution de la dynamiquedes rayons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
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Chapitre 1
Introduction
1.1 Contexte astrophysique
Les étoilesconstituentl’essentiel dela masse visible de l’universetrevêtentàce titre une importance
considérable dansdenombreux domaines de l’astrophysique dontles résultatsdépendentdirectementde
ceuxde l’évolution stellaire.Il estdonc crucial de bien connaître lesmécanismes quirégissentcette évo-
lution. De plus,la physiquestellaire permet de testerla physiquedansdesconditionsqu’il esttotalement
impossiblede reproduireen laboratoire.
Si les mécanismes microscopiques (réactionsnucléaires, opacité,. . .)sontrelativementbienconnuset
intégrés aux modèlesactuels, lesmécanismes hydrodynamiques comme la convection thermique,la turbu-
lence,etc. sontplusdifficiles àmodéliser.Pour tenir compte malgrétout desprocessus hydrodynamiques
danslesmodèles d’étoiles,il faut fairedeshypothèsesquiontuneinfluence àlafois sur la structure et
l’évolution stellaires.
Malheureusement, on nedisposegénéralementpas desuffisammentd’observablespour contraindre
touslesparamètres des modèles de structure stellaire.L’étude du spectre émis par les étoilesetleur
atmosphère permet assez souventde connaître la température effective, lagravité desurface ainsi que
quelques concentrationsd’éléments chimiques,mais ces observables sontgénéralementinsuffisantes pour
contraindredirectementles processushydrodynamiquesàl’œuvre dans lesintérieurs stellaires.
Un moyen desonderla structure des étoilesestd’étudier leursmodespropresd’oscillation, dela même
manière que l’étude des ondes sismiques terrestres apermis demieux connaîtrela structure internede
notre planète. C’estce qu’on appelle «l’astérosismologie»(dans le cas du Soleil, on parle «d’héliosismo-
logie »).
Les étoilespeuventosciller sousl’effet desforcesde pression, de lagravité etde laforce de Coriolis
si l’étoile est enrotation.Selon lafréquence desmodes,une ou plusieurs decesforces peuventdominer.
Ainsi, pour leshautes fréquences (mHz), c’est la pression quidomine,eton obtientdes ondes sonores,
égalementappelées«ondesp» pour «ondes depression ». Pourlesbassesfréquences (µHz), ce sont la
gravité et la force d’Archimède qui dominent, donnantce qu’on appelle les «ondesg» pour «ondes de
gravité ». Si deplusl’étoile considérée est enrotation,on aaffaire àdesondes «gravito-inertielles » pour
lesquelles on peutencore distinguerdeux régimesselon quela fréquence du mode estinférieure (régime
«sub-inertiel») ou supérieure (régime«super-inertiel») àla fréquence deCoriolis.
L’étudethéorique des modesd’oscillation s’effectue généralementenlinéarisantles petites perturba-
tionsautour d’un modèle d’équilibredel’étoile.Il estalorspossible decalculer les fréquencesdes modes
propresen fonction de la structure del’étoile étudiéeet inversement, si l’on est capable de mesurer
cesfréquences, on peutessayer de revenir àla structure interne. Appliquée au Soleil, cette technique a
révolutionnénotre connaissance de sa structure interneet en particulier deses mouvements de rotation.
Lorsquelasymétriesphérique est conservée, leproblème de larecherche des modes propres est sépa-
rable, c’est-à-dire qu’unmodepeuts’écrire comme leproduit detrois fonctions ne dépendantqued’une
seule variableψ(~x)=f(r)g(θ)h(ϕ)où r,θet ϕsontles coordonnéessphériques.En revanche,la rota-
tion vabrisercette symétrie. Une proportion importante d’étoiles tournentrapidement, surtout parmi
les étoiles massives ou de masses intermédiaires.Parmi celles-ci, on connaît plusieurs catégoriesd’étoiles
pulsantes : lesétoilesdu typeδScuti ou βCephei chez lesquelles on peut observer desondesp,cellesdu
typeγDoradusou SPB(Slowing Pulsating B)pourles ondesg.On peut égalementciter le cas extrême
des étoiles Be (pour Béruptives), quitournentàune vitesseproche de leurvitesse de rotation critique.
Les effets de la rotation sur lesmodesd’oscillation sontde deux types:d’unepart la force centrifuge
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modifie lagéométrie del’étoile(en l’aplatissant) etromptainsi la symétrie sphérique, d’autre part la
force de Coriolis modifie letypemême des oscillations.
Si on considère desvitessesderotation suffisammentfaibles (comme pour le Soleil, par exemple), il
estpossible d’utiliser uneméthodeperturbative,qui consiste àconsidérer que la rotation agit commeune
petite perturbation dela solution sans rotation.
Dès quelesvitessesde rotation considéréesdeviennentplus importantes, cette approche n’est plus
valable etil faut alors choisir entre deuxtypes deméthodes.D’une part, les calculs numériques de mode
quisonttrèslourds àmettre en œuvre etsurtoutqui nefournissentpas unevision globale des propriétés
des modes etde la structure du spectre de fréquence (cf. Ballot et al.2010). D’autrepart,uneméthode
dite «asymptotique »qui, au prix d’uncertain niveau d’approximation, permettentd’obtenir rapidement
uneclassification physiquedesmodeset une compréhension approfondie dela structuredu spectre de
fréquence.
La méthode asymptotique utilisel’approximation WKB(de Wentzel-Kramers-Brillouin)qui consiste,
d’un pointdevue physique,àsupposerquela longueur d’onded’unmode est petite devant la grandeur
caractéristique du milieu depropagation, ce quirevientàconsidérerqu’une ondeprogressivepeutêtre vue
comme un rayon donton suit la trajectoire. Cetteapproximation est classiqueen physiqueondulatoire
puisque c’estellequi permet dedécrire les ondesélectromagnétiques par l’optiquegéométrique (cf. Born
and Wolf 1981).
L’approximation de WKB permet d’obtenir unerelation de dispersion locale (l’équation iconale)
àpartirdes équationsdes petitesperturbations. Une fois cetterelation calculée,il estpossibled’en
déduire uneformulation hamiltoniennedela dynamique des rayons,puis, àpartir des propriétésde cette
dynamique,deremonter aux propriétésdes modes propres d’oscillation. Lignièresand Georgeot 2009 ont
construitrécemmentunetelle théorie asymptotiquedes modes acoustiquesdans les étoiles enrotation
rapide.
Il existe uneautremanièred’obtenir leséquations de ladynamique desrayonsenpassantpar les
caractéristiques de l’équation des ondes. C’est ce qu’ontfait Dintrans and Rieutord2000 pour les ondes
gravito-inertielles.Toutefois, étantdonné quecetteméthodenetientcompte quedestermesde plushaut
degré de dérivation,cela pose un problème,notammentàla surface del’étoile,où cestermes nesuffisent
pas àdécrire lerebond desrayons. On est alors obligé de poserdesconditions derebond ad hocplus ou
moins arbitrairesqui, en l’occurence,détruisentle caractère hamiltonien des trajectoires.
1.2Contenudu stage
L’objectif dece stage est degénéraliser les résultatsdeLignièresand Georgeot 2009 sur lesondes
sonores au cas desondes de gravité. L’apport de ce travail par rapport àDintrans and Rieutord2000 est
d’unepart laconservation du caractère hamiltonien destrajectoires lors du rebonden surface etd’autre
part la généralisation àla géométrie non sphérique,la déformation centrifuge n’étantpas priseen compte
dansDintrans and Rieutord2000.
Dansun premier temps, j’ai déterminé l’équation iconale généraliséepourdesondesgravito-inertielles
dansles étoilesen rotation rapide (section 2.1). Cette dérivation anécessité denombreux calculsdontles
principalesétapes sontprésentées dansce mémoire. Les calculs complets sontdisponibles dans desannexes
quine sontpas reproduitesdanscette version du rapport destage (limité à 30 pages)mais qui sont
disponibles àl’adressesuivante :http://www.ast.obs-mip.fr/users/ligniere/Rapport-Prat.pdf.
Les annexes apparaissentnéanmoins dans latable desmatières.
J’ai ensuite analysé l’équation iconale pour déterminer lesdomaines de propagation des ondesgravito-
inertielles. Les résultats sontdécritsdans la section 2.2.Je précise que la dérivation etl’analysede
l’équation iconalem’a occupéenviron pendantles deux premiers mois du stage.
La formulation hamiltonniennedela dynamique des rayons gravito-inertiels estdécrite dansla sec-
tion 3ainsiquela méthode numériqueutiliséepourrésoudre leséquations de ladynamique.
J’ai ensuite étudié ladynamiquedes rayons pour deuxmodèlespolytropiques d’étoile(section 4):
l’unàrotation nulle, l’autrecorrespondantàla rotation typique d’uneétoile γDoradus (Veq =RΩ=
145 km.s−1pour M=1,55 M⊙et R=1,6R⊙). Les résultats sontinterprétésavantde donner les
perspectives de ce travaildans la conclusion.
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