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S.Boukaddid Changement de r´ef´erentiel sup TSI
Dynamique dans un r´ef´erentiel non galil´een
Table des mati`eres
1G´en´eralit´e 2
2Etude cin´ematique 3
2.1 Vecteur rotation d’entraˆınement ...................... 3
2.2 Relation fondamentale de la d´erivation .................. 4
2.3 Composition des vitesses .......................... 5
2.4 Composition des acc´el´erations ....................... 6
3Dynamique dans un r´ef´erentiel non galil´een 8
3.1 Principe de la relativit´e galil´een ...................... 8
3.2 Lois de la dynamique dans un r´ef´erentiel non galil´een .......... 9
3.2.1 Principe fondamental de la dynamique en r´ef´erentiel non galil´een 9
3.3 Th´eor`eme du moment cin´etique en r´ef´erentiel non galil´een ....... 10
3.4 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique dans un r´ef´erentiel non galil´een . . . . 10
3.5 Energie m´ecanique d’un point mat´eriel dans un r´ef´erentiel non galil´een R’ 11
3.5.1 Energie potentielle d’entraˆınement centrifuge ........... 11
3.5.2 Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique ................. 11
4Application : Poids d’un point mat´eriel 12
4.1 R´ef´erentiel g´eocentrique-R´ef´erentiel terrestre ............... 12
4.2 Champ gravitationnel ............................ 13
4.3 Poids d’un corps .............................. 13
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S.Boukaddid Changement de r´ef´erentiel sup TSI
1G´en´eralit´e
•R(O, x, y, z, t) : r´ef´erentiel galil´een
fixe
•R0(O0, x0, y0, z0, t0) : r´ef´erentiel en mou-
vement par rapport `a R
O
x
y
z
O’
x’
y’
z’
•le rep`ere R,fixe dit rep`ere absolu
•le mouvement d’un point mat´eriel M par rapport `a R est qualifi´e du mouvement
absolu
•le rep`ere R0, en mouvement dit rep`ere relatif
•le mouvement d’un point mat´eriel M par rapport `a R’ est qualifi´e du mouvement
relatif
IEn m´ecanique classique non relativiste (v << C) le temps est absolu ,c`ad,
ne d´epend pas du r´ef´erentiel donc t=t0.
IOn distingue entre les mouvements relatifs suivants :
•translation : les axes de R0restent parall`ele `a ceux de Rdonc les vecteurs
de base de R0restent invariables au cours du temps
−→
ex=−→ ex0;−→ ey=−→ ey0;−→ ez=−→ ez0
On distingue entre deux types :
•translation rectiligne : L’origine O0de R0d´ecrit une courbe rectiligne
OO’ O’ (C)
•translation circulaire : l’origine O0de R0d´ecrit un cercle
OO’
R’
R’
R’
R’
Imouvement de rotation
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S.Boukaddid Changement de r´ef´erentiel sup TSI
2Etude cin´ematique
2.1 Vecteur rotation d’entraˆınement
Consid´erons deux r´ef´erentiels
•un r´ef´erentiel R(O, −→ ex,−→ ey,−→ ez)
•un r´ef´erentiel R0(O0,−→ ex0,−→ ey0,−→ ez0) en mouvement par rapport `a R
•D´efinition 1 : On appelle mouvement d’entrainement, le mouvement du r´ef´erentiel
R0par rapport `a R
•le mouvement g´en´eral de R0par rapport `a Rse d´ecompose en :
Iun mouvement de translation par rapport `a Rcaract´eris´e par le vecteur
vitesse −→ v(O0/R) = d−−→
OO0
dt !R
Imouvement de rotation par rapport `a Rcaract´eris´e par le vecteur rotation
d’entrainement −→ ω(R0/R)
•D´efinition 2 : le vecteur rotation d’entrainement −→ ω(R0/R) d’un r´ef´erentiel
R0(O0,−→ ex0,−→ ey0,−→ ez0) par rapport au r´ef´erentie R(O, −→ ex,−→ ey,−→ ez) caract´erise la ro-
tation de R0par rapport `a Rtel que :
Id−→
ex0
dt R
=−→ ω(R0/R)∧−→ ex0
Id−→
ey0
dt R
=−→ ω(R0/R)∧−→ ey0
Id−→
ez0
dt R
=−→ ω(R0/R)∧−→ ez0
•Exemple
IR(O, −→ ex,−→ ey,−→ ez) : rep`ere absolu
IR0(O, −→ er,−→ eθ,−→ ez) : rep`ere relatif
x
y
−→
ex
−→
ey
−→
eθ
−→
erθ
−→ ez
I−→ eret −→ eθsont des vecteurs li´es `a R’ donc sont fixes dans R’ donc
d−→
er
dt R0
=d−→
eθ
dt R0
=−→ 0
Id−→
er
dt R
=˙ θ−→ eθavec −→ eθ=−→ ez∧−→ erdonc
d−→
er
dt R
=˙ θ−→ ez∧−→ er
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S.Boukaddid Changement de r´ef´erentiel sup TSI
Id−→
eθ
dt R
=−˙ θ−→ eravec −→ er=−−→ ez∧−→ eθdonc
d−→
eθ
dt R
=˙ θ−→ ez∧−→ eθ
Ile vecteur rotation d’entraˆınement est
−→
ω(R0/R) = ˙ θ−→ ez
d−→
er
dt R
=−→ ω(R0/R)∧−→ eret d−→
eθ
dt R
=−→ ω(R0/R)∧−→ eθ
•Propri´et´es
I−→ ω(R0/R) est port´e par l’axe de rotation
I−→ ω(R0/R) = −−→ ω(R/R0)
I−→ ω(R1/R3) = −→ ω(R1/R2) + −→ ω(R2/R3) : relation de Chˆales
2.2 Relation fondamentale de la d´erivation
•R(O, −→ ex,−→ ey,−→ ez) rep`ere absolu
•R0(O0,−→ ex0,−→ ey0,−→ ez0) rep`ere relatif
•−→ ω(R0/R) : vecteur rotation d’en-
traˆınement de R0par rapport `a R
•−→ U=Ux0−→ ex0+Uy0−→ ey0+Uz0−→ ez0: vec-
teur libre non li´ee `a R0
O
x
y
z
O’
x’
y’
z’ −→
U
I d−→
U
dt !R0
=dUx0
dt
−→
ex0+dUy0
dt
−→
ey0+dUz0
dt
−→
ez0
I d−→
U
dt !R
=dUx0
dt
−→
ex0+dUy0
dt
−→
ey0+dUz0
dt
−→
ez0+Ux0d−→
ex0
dt R
+Uy0d−→
ey0
dt R
+
Uz0d−→
ez0
dt R
I
d−→
ex0
dt R
=−→ ω(R0/R)∧−→ ex0
d−→
ey0
dt R
=−→ ω(R0/R)∧−→ ey0
d−→
ez0
dt R
=−→ ω(R0/R)∧−→ ez0
Ion obtient la relation fondamentale de la d´erivation
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S.Boukaddid Changement de r´ef´erentiel sup TSI
d−→
U
dt !R
= d−→
U
dt !R0
+−→ ω(R0/R)∧−→ U
ICas particulier
•si −→ Uest li´e `a R0on retrouve :
d−→
U
dt !R
=−→ ω(R0/R)∧−→ U
•pour le mouvement de translation −→ ω(R0/R) = −→ 0 on trouve
d−→
U
dt !R
= d−→
U
dt !R0
la d´erivation ne d´epend pas du r´ef´erentiel
2.3 Composition des vitesses
•R(O, −→ ex,−→ ey,−→ ez) rep`ere absolu
•R0(O0,−→ ex0,−→ ey0,−→ ez0) rep`ere relatif
•−→ ω(R0/R) : vecteur rotation d’en-
traˆınement de R0par rapport `a R
•Mun point mobile dans R0
•−−→ OM =x−→ ex+y−→ ey+z−→ ez
•−−→ O0M=x0−→ ex0+y0−→ ey0+z0−→ ez0
O
x
y
z
O’
x’
y’
z’ M
•vitesse relative −→ vr: C’est la vitesse du point Mdans le r´ef´erentiel relatif R0:
−→
vr(M) = −→ v(M/R0) = ˙ x0−→ ex0+˙ y0−→ ey0+˙ z0−→ ez0
•vitesse absolue −→ va: C’est la vitesse du point Mdans le r´ef´erentiel absolu R:
−→
va(M) = −→ v(M/R) = ˙x−→ ex+ ˙y−→ ey+ ˙z−→ ez
I−−→ OM =−−→ OO0+−−→ O0M
I−→ V(M/R) = d−−→
OM
dt !R
=d
dt −−→
OO0+−−→ O0MR= d−−→
OO0
dt !R
+ d−−→
O0M
dt !R
I−→ V(M/R) = −→ V(O0/R)+ d−−→
O0M
dt !R0
+−→ ω(R0/R)∧−−→ O0M=−→ V(M/R0)+−→ Ve(M/R)
•vitesse relative −→ Vr=−→ V(M/R0) = d−−→
O0M
dt !R0
•vitesse d’entrainement : −→ Ve=−→ V(O0/R) + −→ ω(R0/R)∧−−→ O0M
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