Table des mati`eres - Physiqueprepa.webnode.fr
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c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI Dynamique dans un référentiel non galiléen Table des matières 1 Généralité 2 2 Etude cinématique 2.1 Vecteur rotation d’entraı̂nement . . . . 2.2 Relation fondamentale de la dérivation 2.3 Composition des vitesses . . . . . . . . 2.4 Composition des accélérations . . . . . 3 3 4 5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Dynamique dans un référentiel non galiléen 3.1 Principe de la relativité galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lois de la dynamique dans un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . 3.2.1 Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen 3.3 Théorème du moment cinétique en référentiel non galiléen . . . . . . . 3.4 Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen . . . . 3.5 Energie mécanique d’un point matériel dans un référentiel non galiléen R’ 3.5.1 Energie potentielle d’entraı̂nement centrifuge . . . . . . . . . . . 3.5.2 Théorème de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 9 10 10 11 11 11 4 Application : Poids d’un point matériel 4.1 Référentiel géocentrique-Référentiel terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Champ gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Poids d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 13 13 1 / 14 c S.Boukaddid 1 Changement de référentiel sup TSI Généralité z z’ y’ • R(O, x, y, z, t) : référentiel galiléen fixe O’ • R0 (O0 , x0 , y 0 , z 0 , t0 ) : référentiel en mouvement par rapport à R y O x’ x • le repère R,fixe dit repère absolu • le mouvement d’un point matériel M par rapport à R est qualifié du mouvement absolu • le repère R0 , en mouvement dit repère relatif • le mouvement d’un point matériel M par rapport à R’ est qualifié du mouvement relatif I En mécanique classique non relativiste (v << C) le temps est absolu ,càd, ne dépend pas du référentiel donc t = t0 . I On distingue entre les mouvements relatifs suivants : • translation : les axes de R0 restent parallèle à ceux de R donc les vecteurs de base de R0 restent invariables au cours du temps → − − − − − − ex=→ e x0 ; → ey=→ e y0 ; → ez=→ e z0 On distingue entre deux types : • translation rectiligne : L’origine O0 de R0 décrit une courbe rectiligne O O’ O’ (C) • translation circulaire : l’origine O0 de R0 décrit un cercle R’ R’ O O’ R’ R’ I mouvement de rotation 2 / 14 c S.Boukaddid 2 2.1 Changement de référentiel sup TSI Etude cinématique Vecteur rotation d’entraı̂nement Considérons deux référentiels − − − • un référentiel R(O, → e x, → e y, → e z) − → − − 0 0 → • un référentiel R (O , e x0 , e y0 , → e z0 ) en mouvement par rapport à R • Définition 1 : On appelle mouvement d’entrainement, le mouvement du référentiel R0 par rapport à R • le mouvement général de R0 par rapport à R se décompose en : I un mouvement de translation par rapport à R caractérisé par le vecteur −−→0 ! dOO − vitesse → v (O0 /R) = dt R I mouvement de rotation par rapport à R caractérisé par le vecteur rotation − d’entrainement → ω (R0 /R) − • Définition 2 : le vecteur rotation d’entrainement → ω (R0 /R) d’un référentiel − − − − − − R0 (O0 , → e x0 , → e y0 , → e z0 ) par rapport au référentie R(O, → e x, → e y, → e z ) caractérise la ro0 tation de R par rapport à R tel que : → d− e x0 − − I =→ ω (R0 /R) ∧ → e x0 dt R → d− e y0 − − =→ ω (R0 /R) ∧ → e y0 I dt R → d− e z0 − − =→ ω (R0 /R) ∧ → e z0 I dt R • Exemple y − − − I R(O, → e x, → e y, → e z ) : repère absolu → − → − → − I R0 (O, e r , e θ , e z ) : repère relatif → − ey → − eθ − → ez → − er θ x → − ex − → − I → et e θ sont vecteurs liés à R’ donc sont fixes dans R’ donc e r→ des − → − der deθ → − = = 0 dt R0 dt R0 → − der − − − − I = θ̇→ e θ avec → eθ=→ ez ∧→ e r donc dt R → d− er − − = θ̇→ ez ∧→ er dt R 3 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI → d− eθ − − − − = −θ̇→ e r avec → e r = −→ ez ∧→ e θ donc I dt R → d− eθ − − = θ̇→ ez ∧→ eθ dt R I le vecteur rotation d’entraı̂nement est → − − ω (R0 /R) = θ̇→ e z → → d− er d− eθ → − → − − − 0 = ω (R /R) ∧ e r et =→ ω (R0 /R) ∧ → eθ dt R dt R • Propriétés − I → ω (R0 /R) est porté par l’axe de rotation − − I → ω (R0 /R) = −→ ω (R/R0 ) − − − ω (R1 /R3 ) = → ω (R1 /R2 ) + → ω (R2 /R3 ) : relation de Châles I → 2.2 Relation fondamentale de la dérivation z z’ → − U − − − • R(O, → e x, → e y, → e z ) repère absolu − → − − 0 0 → • R (O , e x0 , e y0 , → e z0 ) repère relatif − • → ω (R0 /R) : vecteur rotation d’en- y’ traı̂nement de R0 par rapport à R → − − − − • U = U x0 → e x0 + Uy0 → e y 0 + Uz 0 → e z0 : vec0 teur libre non liée à R O’ y O x I I I I x’ ! → − dUx0 → dU dUy0 → dUz0 → − − − = e x0 + e y0 + e z0 dt dt dt dt R0 → → → −! dU dUx0 → dUy0 → dUz0 → d− e x0 d− e y0 − − − = e x0 + e y0 + e z 0 + U x0 + Uy0 + dt dt dt dt dt R dt R R → d− e z0 Uz0 dt R → − d e x0 − − = → ω (R0 /R) ∧ → e x0 dt R d→ − e y0 − − = → ω (R0 /R) ∧ → e y0 dt R → d− e z0 − − = → ω (R0 /R) ∧ → e z0 dt R on obtient la relation fondamentale de la dérivation 4 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel → −! dU = dt R → −! dU dt sup TSI → − − +→ ω (R0 /R) ∧ U R0 I Cas particulier → − • si U est lié à R0 on retrouve :! → − → − dU − =→ ω (R0 /R) ∧ U dt R → − − • pour le mouvement de translation → ω (R0 /R) = 0 on trouve → −! → −! dU dU = dt dt 0 R R la dérivation ne dépend pas du référentiel 2.3 Composition des vitesses z − − − • R(O, → e x, → e y, → e z ) repère absolu − → − − 0 0 → • R (O , e 0 , e 0 , → e 0 ) repère relatif x y M z’ y’ z − • → ω (R0 /R) : vecteur rotation d’entraı̂nement de R0 par rapport à R • M un point mobile dans R0 −−→ − − − • OM = x→ e x + y→ e y + z→ ez −− → − − − • O 0 M = x0 → e 0 + y0→ e 0 + z0→ e x y O’ y O x z0 x’ − • vitesse relative → v r : C’est la vitesse du point M dans le référentiel relatif R0 : → − − − − − v r (M ) = → v (M/R0 ) = ẋ0 → e x0 + ẏ 0 → e y0 + z˙0 → e z0 − • vitesse absolue → v a : C’est la vitesse du point M dans le référentiel absolu R : → − − − − − v a (M ) = → v (M/R) = ẋ→ e x + ẏ → e y + ż → ez −−→ −−→ −−→ I OM = OO0 + O0 M ! −−→ ! −−→ ! −−→ → → − d −−→0 −− dOO0 dO 0 M dOM 0 = OO + O M = + I V (M/R) = dt dt dt dt R R R R ! −− → 0 −−→ → → − → − − → − dO M − I V (M/R) = V (O0 /R) + +→ ω (R0 /R) ∧ O0 M = V (M/R0 ) + V e (M/R) dt 0 R → − → − • vitesse relative V r = V (M/R0 ) = −−→ ! dO0 M dt R0 −−→ → − → − − • vitesse d’entrainement : V e = V (O0 /R) + → ω (R0 /R) ∧ O0 M 5 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI • loi de composition des vitesses → − → − → − → − V a = V (M/R) = V r + V e → − • V a : vitesse absolue du point M → − • V r : vitesse relative du point M → − • V e : vitesse d’entrainement du point M I Vitesse d’entainement-Notion de point coı̈ncident • Point coı̈ncident Mc : C’est un point fixe dans le référentiel R0 relatif coı̈ncidant avec le point M à l’instant t . → − → − I V (Mc /R0 ) = 0 donc −−→ → → − → − − − V (Mc /R) = V (O0 /R) + → ω (R0 /R) ∧ O0 M = V e (M/R) • conclusion : la vitesse d’entrainement d’un point matériel M représente la vitsse absolue d’un point Mc fixe dans R0 et qui coı̈ncide avec le point M à l’instant t . I Cas particuliers → − − • Dans le cas d’un mouvement de translation : → ω (R0 /R) = 0 → − → − → − V (M/R) = V (M/R0 ) + V (O0 /R) → − −−→ − • si O = O0 alors V (M ) = → ω (R0 /R) ∧ OM e → − → − −−→ − V (M/R) = V (M/R0 ) + → ω (R0 /R) ∧ OM • si O = O0 et si M est lié à R0 → − −−→ − V (M/R) = → ω (R0 /R) ∧ OM − c’est une rotation pure autour de → ω 2.4 Composition des accélérations − • Accélération absolue → a : accélération d’un point matériel M dans un référentiel absolue R ! → − −−→ ! d V (M/R) d2 OM → − → − − − − = = ẍ→ e x + ÿ → e y + z̈ → ez a = a (M/R) = 2 dt dt R R − • Accélération relative → a r : accélération d’un point matériel M dans un référentiel relative R0 ! −−→ ! → − 0 2 0 d V (M/R ) d OM → − − − − − ar =→ a (M/R0 ) = = = ẍ0 → e x0 + ÿ 0 → e y0 + z¨0 → e z0 2 dt dt 0 0 R R 6 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI −−→ → − → − → − − • V (M/R) = V (M/R0 ) + V (O0 /R) + → ω (R0 /R) ∧ O0 M ! ! → − → − 0 − 0 → d V (M/R ) d V (O /R) d→ ω (R0 /R) −− − • → a (M/R) = + + ∧ O0 M dt dt dt R R ! −− → dO 0 M → − +ω ∧ dt ! R ! → − → − → − d V (M/R0 ) d V (M/R0 ) − • = +→ ω (R0 /R) ∧ V (M/R0 ) dt dt R R0 ! ! − − → −− → −−→ dO 0 M dO 0 M − = +→ ω (R0 /R) ∧ O0 M • dt dt R R0 − → → − d→ ω (R0 /R) −− − − − − • → a (M/R) = → a (M/R0 )+ → ω (R0 /R)∧ V (M/R0 )+ → a (O0 /R)+ ∧ O0 M + dt # " −−→ ! 0 − − → dO M − → − +→ ω (R0 /R) ∧ O0 M ω (R0 /R) ∧ dt R0 − → − 0 d→ ω (R0 /R) −− − − − − • → a (M/R) = → a (M/R0 )+ → a (O0 /R)+ ∧ O0 M + → ω (R /R)∧(→ ω (R0 /R)∧ dt −− → → − − O 0 M ) + 2→ ω (R0 /R) ∧ V (M/R0 ) donc → − − − − − a =→ a (M/R) = → a (M/R0 ) + → a ent + → ac c’est la loi de composition des accélérations → • − a (M/R) : accélération absolue − − • → a (M/R0 ) = → a r : accélération relative → − • a : accélération d’entrainement ent − → − 0 −−→ d→ ω (R0 /R) −− → − − − a ent = → a (O0 /R) + ∧ O0 M + → ω (R /R) ∧ (→ ω (R0 /R) ∧ O0 M ) dt l’accélération d’entrainement d’un point matériel M est l’accélération absolue d’un point Mc fixe dans R0 et qui coincide avec le point M à l’instant t . − • → a c : accélération de Coriolis → − → − − a c = 2→ ω (R0 /R) ∧ V (M/R0 ) l’accélération de Coriolis disparait lorsque : → − − I → ω (R0 /R) = 0 : le référentil R0 est en translation par rapport à R → − → − → − I V r = V (M/R0 ) = 0 : le point M est à l’équilibre dans I Cas particuliers I mouvement de translation → − − • → ω (R0 /R) = 0 −−→ −−→ −−→ • OM = OO0 + O0 M → − → − → − • V (M/R) = V (O0 /R) + V (M/R0 ) − − − • → a (M/R) = → a (O0 /R) + → a (M/R0 ) 7 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI → − − − − − − • → ae =→ a (O0 /R); → ar =→ a (M/R0 ) et → ac = 0 I mouvement de rotation autour d’un axe fixe Oz Z=Z’ H la rotation se fait autour de l’axe commun Oz = O0 z 0 H : la projection orthogonale de M sur Oz −−→ −−→ −−→ OM = OH + HM M y’ → − ω O = O0 → − − ω = ω→ ez y x x’ − −−→ d→ ω −−→ → → − ae = ∧ HM − − ω 2 HM dt − → − si la rotation est uniforme → ω = cte −−→ → − − a e = −→ ω 2 HM → − dV e → − I Remarque : a e 6= dt 3 3.1 Dynamique dans un référentiel non galiléen Principe de la relativité galiléen • Un référentiel galiléen est-il unique ? • Considérons un point matériel M isolé dans deux référentiels galiléens R et R0 → − − • → a (M/R) = 0 : M est isolé dans R → − − • → a (M/R0 ) = 0 : M est isolé dans R0 − − − − • la loi de composition des accélérations → a (M/R) = → a (M/R0 ) + → a +→ a e c donc → − → − → − − a e + 2→ ω (R0 /R) ∧ V (M/R0 ) = 0 cette relation doit être réalisée pour toutes positions et toutes vitesses du point M,ceci impose : → − − I → ω (R0 /R) = 0 : R0 est en translation par rapport à R → − − I → a e = 0 : la translation est rectiligne uniforme • Conclusion : Toutes les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme par rapport à l’un d’autre eux . 8 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI • la loi de composition des accélération,si la particule M n’est pas isolée,donne pour les deux référentiels en translation rectiligne uniforme l’un par rapport à − − − − l’autre : → a (M/R) = → a (M/R0 ) donc m→ a (M/R) = m→ a (M/R0 ) − → → − F = F0 → − F : résultant des forces appliquées sur M dans R − →0 F : résultant des forces appliquées sur M dans R0 • Principe de relativité galiléenne : Les lois fondamentales de la mécanique sont invariantes par changement de référentiel galiléen . 3.2 Lois de la dynamique dans un référentiel non galiléen 3.2.1 Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen → − Considérons un point matérel M de masse m soumise à la résultante des forces F dans un référentiel galiléen R. Soit R0 un référentiel non galiléen en mouvement quelconque par rapport à R . → − − • P.F.D dans R : F = m→ a (M/R) − − − − • → a (M/R) = → a (M/R0 ) + → ae+→ ac → − − − − • F − m→ a − m→ a = m→ a (M/R0 ) e c • donc → − → − → − − F + F ie + F ic = m→ a (M/R0 ) → − − • F ie = −m→ a e : force d’inertie d’entrainement → − → − • F ic = −m a c : force d’inertie de Coriolis • Conclusion : la relation fondamentale de la dynamique dans référentiel non galiléen R0 s’écrit sous la forme : → − → − → − − F + F ie + F ic = m→ a (M/R0 ) I Cas particuliers I R0 en mouvement de translation par rapport à R → − → − → − − − − • → ω (R0 /R) = 0 donc → a c = 2→ ω (R0 /R) ∧ V (M/R0 ) = 0 → − → − • F ic = 0 → − − − • F = −m→ a = −m→ a (O0 /R) ie e − I R en Rotation uniforme autour d’un axe fixe Oz : O ≡ O0 et → ω (R0 /R) = − ω→ ez 0 • H la projection orthogonale de M sur Oz −−→ − • → a e = −ω 2 HM → − −−→ • F ie = mω 2 HM I Remarque 9 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI → − → − → − → − • si le point matériel est en équilibre dans R0 : V (M/R0 ) = 0 donc F ic = 0 → − → − → − F + F ie = 0 • les forces d’inertie sont des pseudo-forces car d’une part elles ne résultent pas d’une interaction et d’autre part elles ne sont pas invariantes par changement de référentiel,ce sont des forces de repère . 3.3 Théorème du moment cinétique en référentiel non galiléen → − Soit R0 un référentiel non galiléen. Le moment cinétique L O0 en O’ du point matériel M de masse m dans le référentiel non galiléén R0 est défini par • • • −−→ → − → − L O0 = O0 M ∧ m V (M/R0 ) −−→ ! −−→ → − dO0 M − ∧ m V (M/R0 ) + O0 M ∧ m→ a (M/R0 ) dt 0 → − ! d L O0 = dt 0 R !R −− → → − dO 0 M = V (M/R0 ) dt R0 → − ! −−→ → − → − → − d L O0 = O0 M ∧ ( F + F ie + F ic ) dt 0 R • le théorème du moment cinétique en O0 ,point fixe de R’,est applicable au point matériel M de masse m à condition de faire intervenir les forces d’inertie → − ! − → → − − → → − − → → − d L O0 = MO0 ( F ) + MO0 ( F ie ) + MO0 ( F ic ) dt 0 R → − F : résultante des forces appliquées sur M 3.4 Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel non galiléen → − → − − − • force de Coriolis : F ic = −m→ a c (M ) = −2m→ ω (R0 /R) ∧ V (M/R0 ) −−→ → → − → − − → − → − → − − • δW ( F ic ) = F ic .dO0 M = F ic . V (M/R0 )dt = −2m(→ ω (R0 /R)∧ V (M/R0 )). V (M/R0 )dt donc → − W ( F ic ) = 0 La force d’inertie de Coriolis ne travaille pas → − → − → − • la puissance de la force de Coriolis : P( F ic ) = F ic . V (M/R0 ) = 0 − 1 → • l’énergie cinétique de M dans R’ : Ec = m V 2 (M/R0 ) 2 → − → − → − → − → − dEc − = m V (M/R0 )→ a (M/R0 ) = V (M/R0 )( F + F ie + F ic ) • dt R0 → − → − → − = P( F ) + P( F ie ) + P( F ic ) 10 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI • Théorème de la puissance cinétique → − → − dEc = P( F ) + P( F ie ) dt R0 • la variation de l’énergie Z cinétique : Z t2 → − P( F )dt + ∆Ec = Ec (t2 ) − Ec (t1 ) = t2 → − P( F ie )dt t1 t1 • Théorème de l’énergie cinétique → − → − ∆Ec = W ( F ) + W ( F ie ) 3.5 Energie mécanique d’un point matériel dans un référentiel non galiléen R’ 3.5.1 Energie potentielle d’entraı̂nement centrifuge • la force d’inertie d’entraı̂nement travaille mais en général non conservative . • dans le cas ou le référentelle R0 est en rotation uniforme autour de l’axe (Oz) du référentiel galiléen R,on peut définir une énergie potentielle d’entraı̂nement centrifuge . z • R(Ox,y,z) repère absolu galilén • R’(O,x,y,z) repère relatif non galiléen − → − − • → ω (R0 /R) = ω → e z = cte −−→ − • → a e = −ω 2 HM → − −−→ − • F ie = −m→ a e = mω 2 HM → − −−→ −−→ −−→ • δW = F ie .dOM = mω 2 .HM .dOM −−→ −−→ −−→ = mω 2 HM (dOH + dHM ! ) −−→2 HM + cte = mω 2 d 2 −−→ − • HM = r→ er H y’ M → − ω O = O0 y x x’ 1 Ep = mω 2 r2 + cte 2 3.5.2 Théorème de l’énergie mécanique → − On note par F nc : la résultante des forces non conservative dans un référentiel non galiléen 11 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI • Théorème de puissance mécanique → − dEm (M/R0 ) = P( F nc ) dt R0 • Théorème de l’énergie mécanique → − ∆Em (M/R0 ) = W ( F nc (M/R0 )) → − • Remarque : si F ie ne dérive pas de l’énergie de l’énergie potentielle ,on la classe dans les forces non conservatives. 4 4.1 Application : Poids d’un point matériel Référentiel géocentrique-Référentiel terrestre • Référentiel géocentrique : c’est un référentiel de centre confondu avec le centre de la terre et les axes sont parallèle à ceux de Copernic. − − − • le référentiel géocentrique RG (G, → e xg , → e yg , → e zg ) est en mouvement de transla− − − tion circulaire par rapport au référentiel de Copernic RC (C, → e xc ; → e yc , → e zc ) avec → − une accélération a (G/Rc ) donc le référentiel géocentrique n’est pas galiléen. • Dans le cas où la durée de l’éxpérience est trés petite devant la période du mouvement de la terre (T = 365j) le référentiel géocentrique est considéré comme galiléen. • Référentiel terrestre : c’est un référentiel de centre lié à la surface de la terre et muni − − − d’une base orthonormée directe (→ e x, → e y, → e z ) telle que : → − • e est orienté vers l’est x − • → e y est orienté vers le nord − • → e z est orienté suivant la verticale du point M • le référentiel terrestre est en mouvement de rotation uniforme avec une vitesse − → − angulaire → ω = cte suivant l’axe des pôles sud-nord,donc le référentiel terrestre est non galiléen. • dans l’hypothèse précédente on peut considérer le référentiel terrestre comme galiléen . 12 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI nord z y x λ sud 4.2 Champ gravitationnel • tout corps A de masse mA crée en tout point M de l’éspace un champ de gravi→ − tationnel G A (M ) • la force exercée par le corps A sur un point matériel M de masse m est → − → − F A→M = m G A (M ) • si le corps A est de forme sphérique → − mA − G A (M ) = −G 2 → er r M(m) → − G A 4.3 Poids d’un corps → − • Définition expérimentale : le poids P d’un corps ou la force de pesanteur est défini expérimentalement comme l’opposé de la force qui le maintient en équilibre dans un référentiel terrestre. • Considérons un point matériel suspendu à un fil,le pods est la force qui compense → − la tension T du fil → − → − P = −T 13 / 14 c S.Boukaddid Changement de référentiel sup TSI zc z le point M est soumis aux forces suivantes → − → − • F grav = m G T (M ) : force gravitationnelle → − • T : tension du fil → − • F ie : force d’inertie d’entrainement → − • F ic : force d’inertie de Coriolis M(m) H θ → − ω λ xc O x − − • → ω = ω→ e zc : le mouvement de rotation est uniforme → − → − → − → − − +T +F +F • P.F.D dans R : m→ a (M/R ) = F T • • • • grav T ie ic → − → − → − → − V (M/RT ) = 0 ⇒ F ic = 0 → − −−→ −−→ − − F ie = −m→ ω ∧ (→ ω ∧ OM ) = mω 2 HM → − −−→ → − → − T + mω 2 HM + m G T (M ) = 0 → − → − −−→ → − − T = −m( G (M ) + ω 2 HM ) = −m→ g = −P T → − −−→ → − g = G T (M ) + ω 2 HM → − • G T : est centripète (dirrigé vers le centre de la terre) − • → g : n’est pas centripète zc −−→ ω 2 HM → − GT → − g yc xc 14 / 14
