Révision écrit

R´evision ´ecrit
???
PC
Philippe Ribi`ere
Ann´ee Scolaire 2012-2013

Ph. Ribi`ere PC 2012/2013 2
Lyc´ee Marceau Chartres ϕhttp://ribiere.regit.org/

Chapitre 1
R´evision sur les r´ef´erentiel non galil´een.
1.1 M´ecanique du point : Anneau sur une barre tournante
inclin´ee.
Dans tout l’exercice, on suppose le r´ef´erentiel terrestre R galil´een.
Une barre m´etallique de longueur l, que l’on confondra avec l’axe ~uX, fait avec l’axe Oz verticale un
angle α. Cette barre est en rotation uniforme autour de l’axe Oz vertical, , `a la vitesse angulaire Ω~uz,
O d´esignant son extr´emit´e basse. Sur cette barre, un anneau glisse sans frottement, il est donc astreint
`a se d´eplacer suivant l’axe de la barre.
1. Justifier avec soin l’int´erˆet d’une ´etude ´energ´etique.
2. D´eterminer les positions d’´equilibre relatif ainsi que leur stabilit´e
3. Sans calcul, que dire des petits mouvements autour de la position d’´equilibre ?
4. Calculer la p´eriode T de ces petits mouvements
Commentaires :
1. Dans le cas d’un r´ef´erentiel R’ en rotation uniforme autour d’un axe fixe par rapport `a un
r´ef´erentiel R galil´een, il faut ˆetre en mesure d’´enoncer les forces d’inertie et se souvenir que
l’´etude ´energ´etique est facilit´ee par le fait que la force d’inertie d’entrainement d´erive d’une
´energie potentielle.
2. Cet exercice rappelle l’int´erˆet de l’´etude ´energ´etique pour l’´etude des positions d’´equilibre.
3. L’´equilibre de l’anneau est dit relatif car l’anneau reste un mouvement dans R. Il n’est immobile
que dans R’.
1.2 M´ecanique du solide : Cylindre sur le plateau d’un ca-
mion qui d´emarre.
Un camion d´emarre avec une acc´el´eration ~a0=aO~ux(Mouvement rectiligne uniform´ement acc´el´er´e).
Sur son plateau, se trouve un cylindre homog`ene de rayon R et de moment d’inertie J=1
2mR2qui
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n’est pas attach´e. Le coefficient de frottement solide entre le cylindre et le plateau est not´e f.
Figure 1.1 – Cylindre sur le plateau d’un camion qui d´emarre.
1. On souhaite ´etudier le mouvement du cylindre dans le r´ef´erentiel R’ du camion. Le r´ef´erentiel
R du sol est suppos´e galil´een.
2. On suppose que le camion acc´el`ere faiblement au d´epart et donc que le cylindre roule sans glisser.
En d´eduire alors les ´equations du mouvement du cylindre ( ˙x(t), ˙ θ(t))
3. Calculer alors ce que signifie ”le camion acc´el`ere faiblement”
4. Reprendre l’´etude dans le cas o`u le camion acc´el`ere fortement.
Commentaire :
Un exercice d’oral.
1.3 Statique des fluides : le vase tournant.
Un r´ecipient cylindrique de rayon R est rempli d’eau sur une hauteur h au repos et au contact de
l’atmosph`ere. Le r´ecipient est mis en rotation `a la vitesse Ω = cste autour de son axe de r´evolution
(l’axe du cylindre). Apr`es un tr`es bref r´egime transitoire, le syst`eme atteint un ´etat d’´equilibre relatif.
1. Dessiner l’allure de la surface plane `a l’´equilibre relatif. (Le niveau de l’eau `a la paroi est il plus
haut ou plus bas qu’au centre ?)
2. Faire un bilan des forces sur un ´el´ement de fluide dV. (Dans quel r´ef´erentiel ?)
3. Calculer la forme de la surface libre.
4. La hauteur moyenne du fluide a-t-elle chang´ee ? Dessiner l’interface plane au repos par rapport
`a l’interface courb´ee quand le r´ecipient est en rotation.
Commentaire : Cet exercice, qui est un grand classique, n´ecessite d’ajouter au bilan des forces dont
est issue la Relation Fondamentale de la Statique des Fluides, une force d’inertie car le r´ef´erentiel du
vase tournant est non galil´een. Il faut aussi pour r´esoudre compl`etement cet exercice d´emontrer que
cette force d´erive d’une ´energie potentielle.
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1.4 Dynamique des fluides : les ´ecoulements g´eostrophiques
On s’int´eresse au mouvement d’une particule de fluide de volume dV, de masse volumique µ, dans
le r´ef´erentiel terrestre `a la latitude λ. On suppose pour cet ´etude que le r´ef´erentiel g´eocentrique est
galil´een.
1. D´ecrire le mouvement du r´ef´erentiel terrestre par rapport au r´ef´erentiel g´eocentrique. En d´eduire
alors les forces d’inertie d’entraˆınement et de Coriolis sur la particule de fluide.
2. Justifier que l’on ne tienne pas compte des forces de mar´ees.
3. Red´emontrer l’´equation d’Euler dans le r´ef´erentiel ci dessus. (Attention `a la definition du poids !)
On s’int´eresse dans la suite au mouvement du fluide dans le plan Oxy donc `a une altitude donn´ee.
4. Comparer en ordre de grandeur le terme issu de l’acc´el´eration convective et le terme de Coriolis.
5. Comparer en ordre de grandeur le terme issu de l’acc´el´eration locale et le terme de Coriolis.
6. En d´eduire alors que les ´ecoulements g´eostrophiques horizontaux,
−
∂p
∂x + 2µΩ sin λvy= 0
−
∂p
∂y
−2µΩ cos λvx= 0
7. En d´eduire que les isobares sont les lignes de courant et que dans l’h´emisph`ere nord les anticy-
clones cr´eent des ´ecoulements dans le sens horaire.
Commentaire : Un exercice dont les conclusions sont importantes mais qui n´ecessite un peu de recul
pour l’interpr´etation de ces r´esultats sur les r´ef´erentiels non galil´een. La partie calcul en elle mˆeme
sinon se fait bien, sans difficult´e particuli`ere. Savoir que les forces de Coriolis sont responsables de la
rotatio, des masses d’air au dessus de nos tˆetes est interessant culturellement.
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