Devoir libre de Sciences Physiques n 7 du 01-03

1 – DL7
Sciences Physiques MP 2016-2017
Devoir libre de Sciences Physiques n◦7 du 01-03-2017
Problème no 1 – Principe d’un moteur linéaire
CCP MP 2003
Ce problème analyse du point de vue de l’électromagnétisme fondamental le fonctionnement d’un moteur linéaire.
Dans certains types de moteurs linéaires, un système statique (inducteur) crée, dans le référentiel de repos, le
champ glissant auquel est soumis la partie mobile. C’est le cas que nous examinons ci-dessous. Le système
considéré est décrit sur la figure 1 dont on respectera les conventions. Il se déplace sur des rails horizontaux,
l’axe Oz est vertical ascendant et on néglige tout frottement.
z
y
Rc
yc
zc
R
P
O
b
N
b
xc
C
Q
M
ic (t)
x
~ = ~vc t
OC
Figure 1 – Moteur linéaire
Dans le référentiel galiléen R, un cadre M N P Q, composé de N spires identiques en série, se déplace avec la
vitesse constante ~vc = vc ~ux dans un champ électromagnétique glissant créé par des sources non représentées :
~
B(x,
t) = Bm cos ω(t − x/v0 )~uz
~
E(x,
t) = Bm v0 cos ω(t − x/v0 )~uy
où v0 est une vitesse donnée. On admettra que, dans les conditions de fonctionnement usuel, la valeur de Bm
est constante et que le cadre se comporte comme une résistance pure r. On suppose vc et v0 ≪ c de sorte
que s’appliquent les formules de changement de référentiel galiléen pour les champs. On posera gc = 1 − vc /v0 ,
M N = QP = a et QM = P N = b. A l’instant t = 0, le centre du cadre passe à l’origine du système
de coordonnées. Pour les applications numériques, on prendra : a = b = 0, 3 m, Bm = 0, 6 T, N = 100,
ω = 200π rad · s−1 , r = 0, 25 Ω et v0 = 60 m · s−1 .
A. Champ électromagnétique et changement de référentiel
~ et B
~ entre deux référentiels galiléens R et R′ en
On rappelle les formules de transformation pour les champs E
translation parallèlement à Ox :
~ ′ (x′ , t′ ) = E(x,
~
~
E
t) + ~v ∧ B(x,
t)
~ ′ (x′ , t′ ) = B(x,
~
B
t)
On a noté ~v = v~ux la vitesse relative de R′ par rapport à R, x′ , t′ et x, t les coordonnées d’un même événement
respectivement dans R′ et R. On a x′ = x − vt et t = t′ .
~ et E
~ dans R préciser quelle est la période spatiale (ou longueur
1. Étant donné les expressions ci-dessus de B
d’onde) λ des champs.
~ ′ (x′ , t′ ) et E
~ ′ (x′ , t′ ) dans R′ en fonction de Bm , ω, v0 , x′ , t et g = 1 − v/v0 .
2. Exprimer B
3. Quelles sont la pulsation ω ′ et la longueur d’onde λ′ des champs dans R′ ?
4. Quelle est la vitesse de glissement des champs dans R′ en fonction de g et v0 ?
~ 0 (x0 , t) et E
~ 0 (x0 , t) dans le référentiel R0 pour lequel v = v0 et
5. Donner les expressions des champs B
commenter ces résultats.
~ c (xc , t) et E
~ c (xc , t) dans le référentiel Rc dans lequel le cadre est
6. Donner les expressions des champs B
immobile.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
Sciences Physiques MP 2016-2017
DL7 – 2
B. Force électromotrice induite
7. On se place dans le référentiel R0 . Le cadre est alors mobile dans un champ stationnaire. La force électro~ se déplaçant avec la vitesse ~vc0 dans le champ B
~ 0 est
motrice induite dans un élément de circuit de longueur dl
~
~
alors (~vc0 ∧ B0 ) · dl = dǫ0 .
a) Quelles sont, dans R0 , les abscisses de M et de P en fonction du temps ?
b) Calculer la force électromotrice instantanée ǫ0 (t) induite dans le cadre en introduisant gc = 1 − vc /v0 dans
son expression.
c) Application numérique : vc = 58, 2 m · s−1 . Calculer gc et la valeur maximum de ǫ0 (t).
8. On se place dans le référentiel Rc dans lequel le cadre est immobile.
a) Rappeler la loi de Faraday permettant dans ce cas de calculer la force électromotrice instantanée ǫ(t).
b) Quelles sont, dans Rc , les abscisses de M et de P ?
c) Calculer en fonction du temps, le flux Φc (t) du champ magnétique à travers le circuit fermé M N P Q.
d) Calculer la force électromotrice instantanée ǫc (t) induite dans le cadre.
e) La valeur de force électromotrice dépend-t-elle du référentiel dans lequel on la calcule ?
C. Courant et puissance dissipée dans le cadre.
9. Quelle est la valeur instantanée de l’intensité ic (t) du courant qui parcourt le cadre ?
10. Calculer la valeur moyenne PJ sur une période du courant de la puissance p(t) = ǫc (t)ic (t). Que devient
l’énergie correspondante ?
11. Application numérique : pour vc = 58, 2 m · s−1 , calculer la valeur maximum de ic (t) et PJ .
D. Force de Laplace.
12. On rappelle que la force de Laplace est invariante par changement de référentiel galiléen. Quelle est la
valeur de la résultante f~L (t) des forces de Laplace s’exerçant sur le cadre ? Quelle est sa valeur moyenne F~L ?
13. Calculer, dans R, la puissance instantanée pL (t) de f~L (t), sa valeur moyenne PL et tracer la courbe
représentant les variations de PL en fonction de gc pour −0, 1 ≤ gc ≤ 1, 1.
14. Application numérique : calculer les valeurs de F~L et de PL pour vc = 58, 2 m · s−1 .
E. Bilan électromécanique.
15. Comparer, dans R0 , PL0 et PJ .
16. En régime permanent dans R (c’est-à-dire à vitesse constante) le bilan de l’énergie totale reçue par le
cadre s’écrit Pem + PL + PJ = 0 en appelant Pem la puissance électromagnétique transférée par le champ glissant
au cadre mobile. Exprimer PL et Pem en fonction de PJ et gc .
17. Préciser les signes des puissances Pem et PL en fonction des valeurs de gc (gc ≤ 0 ; 0 ≤ gc ≤ 1 ; 1 ≤
gc ) et caractériser pour chacun de ces intervalles le mode de fonctionnement (moteur, générateur ou frein
électromagnétique).
18. Donner les valeurs numériques des puissances Pem , PL et PJ pour vc = 61, 8 m · s−1 .
F. Commande à vitesse variable.
Le système créant le champ est un système d’électroaimants dont le pas polaire b (distance entre deux pôles
successifs) est une constante fixée à la construction. La période spatiale du champ est alors égale à deux fois
cette distance.
19. Calculer v0 en fonction de b et ω.
20. On suppose constante la force F~r exercée par le système entraı̂né. Montrer qu’alors gc v0 est constant.
21. En déduire qu’il est possible de régler la vitesse vc à partir de la fréquence d’alimentation.
22. Application numérique : la force résistante est ||F~r || = 4666 N. Quelle est la fréquence avec laquelle on
doit alimenter le système pour que le moteur démarre ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
3 – DL7
Sciences Physiques MP 2016-2017
Problème no 2 – Principe du moteur asynchrone
Centrale TSI 2004
A. Dipôle magnétique : définitions et propriétés fondamentales
(~ex , ~ey , ~ez ) désignent les vecteurs unitaires d’un repère orthonormé direct Oxyz lié à un référentiel galiléen.
On considère une spire M N P Q de forme rectangulaire (M N = QP = a, M Q = N P = b) parcourue par un
~ = B~ex
courant continu d’intensité I. Cette spire est placé dans un champ magnétique constant et uniforme B
où B > 0. Voir la figure 2.
z
y
M
b
O
Q
b
b
b
b
I
P
N
~
B
x
Figure 2 – Dipôle magnétique
1. Determiner soigneusement les forces F~i exercées sur chacun des côtés de la spire. En déduire la force
magnétique résultante sur la boucle.
2. Vérifier que le système des forces exercées par le champ magnétique est un couple. Déterminer les moments
~ sur chaque côté de la spire. En
Γ~Ci par rapport au centre C du rectangle, des actions exercées par le champ B
~ Exprimer le moment magnétique µ
déduire que le moment résultant ~Γ peut se mettre sous la forme ~Γ = ~µ ∧ B.
~
de la boucle en fonction de la surface A de celle-ci, de l’intensité I et du vecteur unitaire ~n perpendiculaire au
plan de la boucle.
3. Application numérique : on donne a = b = 0, 1 m, I = 10 A, B = 0, 1 T. Calculer ~µ et ~Γ.
4. On suppose que la spire peut tourner librement autour de l’axe Oy, la position de la spire étant caractérisée
~ et le moment magnétique ~µ : θ = (B,
~ ~µ). Pour quelle valeur de θ la boucle est-elle
par l’angle θ entre le champ B
en équilibre stable ? en équilibre instable ? Justifier brièvement les réponses.
5. On suppose qu’à partir de l’angle θ, la spire subit une rotation infinitésimale dθ. Exprimer le travail δW
du couple magnétique durant ce déplacement ; déterminer le travail correspondant à une rotation finie entre θ1
~
et θ2 . En déduire l’existence d’une énergie potentielle U = −~µ · B.
6. Application numérique : la spire effectue une rotation depuis la position θ1 = π/2 jusqu’à la position θ2 = 0.
Quelle est la variation de son énergie potentielle ?
~ est valable pour la boucle parcourue par un courant d’intensité
L’expression du moment ~Γ = ~µ ∧ B
~ variable dans le temps.
i variable dans le temps et placée dans un champ magnétique B
B. Principe du moteur asynchrone
Une petite bobine plate de centre O, formée de N spires de section A, fermée sur elle-même, d’inductance propre
L et résistance r tourne à la vitesse constante ω autour de l’axe Oz. Sa position est repérée par l’angle entre ~ex
et le vecteur unitaire ~n normal au plan de la bobine : (~ex , ~n) = ωt − α0 où α0 désigne une constante positive.
~ de norme constante, ✭✭ tournant ✮✮ lui aussi autour de
Cette bobine est plongée dans un champ magnétique B,
~
l’axe Oz à la vitesse angulaire ω0 constante : (~ex , B) = ω0 t. Voir la figure 3.
y
z
O
~
B
~n
ω0 t
b
y
x
ωt − α0
ωt − α0 ~n
b
O
Bobine
x
Figure 3 – Bobine et champ tournant
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
Sciences Physiques MP 2016-2017
DL7 – 4
~ en fonction de ω, ω0 , α0 et t. En déduire le flux Φ
7. Déterminer la valeur, à l’instant t, de l’angle α = (~n, B)
~ à travers la bobine. Quelle est la force électromotrice induite e correspondante ?
du champ B
8. En régime établi, cette force électromotrice engendre dans le circuit (r, L) un courant sinusoı̈dal i(t) de
même pulsation que e que l’on exprimera sous la forme i = I sin(α − ϕ) Déterminer I et tan ϕ.
9. A quel couple ~Γ = Γ~ez le circuit est-il soumis ? Quelle est la valeur moyenne Γm de Γ ? A quelle condition
le couple est-il moteur ?
On se propose d’étudier la variation du couple moyen Γm en fonction de la vitesse angulaire.
10. Vérifier qu’il est possible d’écrire Γm sous la forme :
Γm =
Φ20
2β
avec
Φ0 = N BA
et
β=
r
L2
+
(ω0 − ω)
ω0 − ω
r
11. Pour quelle valeur de ω (dans le domaine moteur) la quantité β est-elle minimale ?
12. Soit ωM la valeur de la pulsation qui donne le maximum de Γm , soit Γmax (toujours dans le domaine
moteur). Exprimer Γmax et vérifier que ce couple moyen maximal est indépendant de la résistance r.
13. Donner l’allure de la courbe Γm (ω) pour tout le domaine de variation de ω (y compris les valeurs négatives).
On désignera les extrema par les points M et M ′ .
14. Interpréter les branches ω < 0, puis 0 < ω < ω0 et ω > ω0 . Justifier le terme de ✭✭ moteur asynchrone ✮✮
de ce dispositif.
On suppose que le moteur ait à vaincre un couple résistant de norme constante Γr , produit par les machines
qu’il doit entraı̂ner et par les frottements.
15. La cadre, primitivement au repos (ω = 0), est soumis au couple moyen Γ0 = Γm (0). Exprimer Γ0 .
16. Que se passe-t-il si Γ0 > Γr ?
17. A partir de la comparaison des graphes Γ = Γm (ω) et Γ = Γr (on appelle P le point d’intersection entre
les deux graphes), préciser qualitativement l’évolution du cadre. Caractériser le régime atteint par le moteur.
18. On ✭✭ charge ✮✮ davantage le moteur, en maintenant la condition Γ0 > Γr . Comment évolue le point figuratif
P?
19. Quelle est sur le graphique la zone de fonctionnement stable ? Justifier la réponse.
20. Pour la charge maximale acceptable, soit Γmax , calculer la différence relative (ω0 − ωM )/ω0 .
21. Quel est l’intérêt de la résistance r au démarrage ? Quel est son intérêt au maximum de charge Γmax ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes