Devoir libre de Sciences Physiques n 7 du 01-03

1 – DL7 Sciences Physiques MP 2016-2017
Devoir libre de Sciences Physiques n◦7 du 01-03-2017
Probl`eme no1 – Principe d’un moteur lin´eaire CCP MP 2003
Ce probl`eme analyse du point de vue de l’´electromagn´etisme fondamental le fonctionnement d’un moteur lin´eaire.
Dans certains types de moteurs lin´eaires, un syst`eme statique (inducteur) cr´ee, dans le r´ef´erentiel de repos, le
champ glissant auquel est soumis la partie mobile. C’est le cas que nous examinons ci-dessous. Le syst`eme
consid´er´e est d´ecrit sur la figure 1 dont on respectera les conventions. Il se d´eplace sur des rails horizontaux,
l’axe Oz est vertical ascendant et on n´eglige tout frottement.
x
z
y
O
C
yc
zc
Rc
R
xc
~
OC =~vct
ic(t)
M
NP
Q
Figure 1 – Moteur lin´eaire
Dans le r´ef´erentiel galil´een R, un cadre M NP Q, compos´e de Nspires identiques en s´erie, se d´eplace avec la
vitesse constante ~vc=vc~uxdans un champ ´electromagn´etique glissant cr´e´e par des sources non repr´esent´ees :
~
B(x, t) = Bmcos ω(t−x/v0)~uz
~
E(x, t) = Bmv0cos ω(t−x/v0)~uy
o`u v0est une vitesse donn´ee. On admettra que, dans les conditions de fonctionnement usuel, la valeur de Bm
est constante et que le cadre se comporte comme une r´esistance pure r. On suppose vcet v0≪cde sorte
que s’appliquent les formules de changement de r´ef´erentiel galil´een pour les champs. On posera gc= 1 −vc/v0,
MN =QP =aet QM =P N =b. A l’instant t= 0, le centre du cadre passe `a l’origine du syst`eme
de coordonn´ees. Pour les applications num´eriques, on prendra : a=b= 0,3 m, Bm= 0,6 T, N= 100,
ω= 200πrad ·s−1,r= 0,25 Ω et v0= 60 m ·s−1.
A. Champ ´electromagn´etique et changement de r´ef´erentiel
On rappelle les formules de transformation pour les champs ~ Eet ~ Bentre deux r´ef´erentiels galil´eens Ret R′en
translation parall`element `a Ox :
~
E′(x′, t′) = ~ E(x, t) + ~v ∧~ B(x, t)~ B′(x′, t′) = ~ B(x, t)
On a not´e ~v =v~uxla vitesse relative de R′par rapport `a R,x′,t′et x,tles coordonn´ees d’un mˆeme ´ev´enement
respectivement dans R′et R. On a x′=x−vt et t=t′.
1. ´ Etant donn´e les expressions ci-dessus de ~ Bet ~ Edans Rpr´eciser quelle est la p´eriode spatiale (ou longueur
d’onde) λdes champs.
2. Exprimer ~ B′(x′, t′) et ~ E′(x′, t′) dans R′en fonction de Bm,ω,v0,x′,tet g= 1 −v/v0.
3. Quelles sont la pulsation ω′et la longueur d’onde λ′des champs dans R′?
4. Quelle est la vitesse de glissement des champs dans R′en fonction de get v0?
5. Donner les expressions des champs ~ B0(x0, t) et ~ E0(x0, t) dans le r´ef´erentiel R0pour lequel v=v0et
commenter ces r´esultats.
6. Donner les expressions des champs ~ Bc(xc, t) et ~ Ec(xc, t) dans le r´ef´erentiel Rcdans lequel le cadre est
immobile.
JR Seigne Clemenceau Nantes

Sciences Physiques MP 2016-2017 DL7 – 2
B. Force ´electromotrice induite
7. On se place dans le r´ef´erentiel R0. Le cadre est alors mobile dans un champ stationnaire. La force ´electro-
motrice induite dans un ´el´ement de circuit de longueur ~ dl se d´epla¸cant avec la vitesse ~vc0dans le champ ~ B0est
alors (~vc0∧~ B0)·~ dl = dǫ0.
a) Quelles sont, dans R0, les abscisses de Met de Pen fonction du temps ?
b) Calculer la force ´electromotrice instantan´ee ǫ0(t) induite dans le cadre en introduisant gc= 1 −vc/v0dans
son expression.
c) Application num´erique : vc= 58,2 m ·s−1. Calculer gcet la valeur maximum de ǫ0(t).
8. On se place dans le r´ef´erentiel Rcdans lequel le cadre est immobile.
a) Rappeler la loi de Faraday permettant dans ce cas de calculer la force ´electromotrice instantan´ee ǫ(t).
b) Quelles sont, dans Rc, les abscisses de Met de P?
c) Calculer en fonction du temps, le flux Φc(t) du champ magn´etique `a travers le circuit ferm´e M NP Q.
d) Calculer la force ´electromotrice instantan´ee ǫc(t) induite dans le cadre.
e) La valeur de force ´electromotrice d´epend-t-elle du r´ef´erentiel dans lequel on la calcule ?
C. Courant et puissance dissip´ee dans le cadre.
9. Quelle est la valeur instantan´ee de l’intensit´e ic(t) du courant qui parcourt le cadre ?
10. Calculer la valeur moyenne PJsur une p´eriode du courant de la puissance p(t) = ǫc(t)ic(t). Que devient
l’´energie correspondante ?
11. Application num´erique : pour vc= 58,2 m ·s−1, calculer la valeur maximum de ic(t) et PJ.
D. Force de Laplace.
12. On rappelle que la force de Laplace est invariante par changement de r´ef´erentiel galil´een. Quelle est la
valeur de la r´esultante ~ fL(t) des forces de Laplace s’exer¸cant sur le cadre ? Quelle est sa valeur moyenne ~ FL?
13. Calculer, dans R, la puissance instantan´ee pL(t) de ~ fL(t), sa valeur moyenne PLet tracer la courbe
repr´esentant les variations de PLen fonction de gcpour −0,1≤gc≤1,1.
14. Application num´erique : calculer les valeurs de ~ FLet de PLpour vc= 58,2 m ·s−1.
E. Bilan ´electrom´ecanique.
15. Comparer, dans R0,PL0et PJ.
16. En r´egime permanent dans R(c’est-`a-dire `a vitesse constante) le bilan de l’´energie totale re¸cue par le
cadre s’´ecrit Pem +PL+PJ= 0 en appelant Pem la puissance ´electromagn´etique transf´er´ee par le champ glissant
au cadre mobile. Exprimer PLet Pem en fonction de PJet gc.
17. Pr´eciser les signes des puissances Pem et PLen fonction des valeurs de gc(gc≤0 ; 0 ≤gc≤1 ; 1 ≤
gc) et caract´eriser pour chacun de ces intervalles le mode de fonctionnement (moteur, g´en´erateur ou frein
´electromagn´etique).
18. Donner les valeurs num´eriques des puissances Pem,PLet PJpour vc= 61,8 m ·s−1.
F. Commande `a vitesse variable.
Le syst`eme cr´eant le champ est un syst`eme d’´electroaimants dont le pas polaire b(distance entre deux pˆoles
successifs) est une constante fix´ee `a la construction. La p´eriode spatiale du champ est alors ´egale `a deux fois
cette distance.
19. Calculer v0en fonction de bet ω.
20. On suppose constante la force ~ Frexerc´ee par le syst`eme entraˆın´e. Montrer qu’alors gcv0est constant.
21. En d´eduire qu’il est possible de r´egler la vitesse vc`a partir de la fr´equence d’alimentation.
22. Application num´erique : la force r´esistante est || ~ Fr|| = 4666 N. Quelle est la fr´equence avec laquelle on
doit alimenter le syst`eme pour que le moteur d´emarre ?
JR Seigne Clemenceau Nantes

3 – DL7 Sciences Physiques MP 2016-2017
Probl`eme no2 – Principe du moteur asynchrone Centrale TSI 2004
A. Dipˆole magn´etique : d´efinitions et propri´et´es fondamentales
(~ex, ~ey, ~ez) d´esignent les vecteurs unitaires d’un rep`ere orthonorm´e direct Oxyz li´e `a un r´ef´erentiel galil´een.
On consid`ere une spire M NP Q de forme rectangulaire (M N =QP =a,M Q =N P =b) parcourue par un
courant continu d’intensit´e I. Cette spire est plac´e dans un champ magn´etique constant et uniforme ~ B=B~ex
o`u B > 0. Voir la figure 2.
Ox
z
y
N
P
Q
MI
~
B
Figure 2 – Dipˆole magn´etique
1. Determiner soigneusement les forces ~ Fiexerc´ees sur chacun des cˆot´es de la spire. En d´eduire la force
magn´etique r´esultante sur la boucle.
2. V´erifier que le syst`eme des forces exerc´ees par le champ magn´etique est un couple. D´eterminer les moments
~
ΓCi par rapport au centre Cdu rectangle, des actions exerc´ees par le champ ~ Bsur chaque cˆot´e de la spire. En
d´eduire que le moment r´esultant ~ Γ peut se mettre sous la forme ~ Γ = ~µ ∧~ B. Exprimer le moment magn´etique ~µ
de la boucle en fonction de la surface Ade celle-ci, de l’intensit´e Iet du vecteur unitaire ~n perpendiculaire au
plan de la boucle.
3. Application num´erique : on donne a=b= 0,1 m, I= 10 A, B= 0,1 T. Calculer ~µ et ~ Γ.
4. On suppose que la spire peut tourner librement autour de l’axe Oy, la position de la spire ´etant caract´eris´ee
par l’angle θentre le champ ~ Bet le moment magn´etique ~µ :θ= ( ~ B, ~µ). Pour quelle valeur de θla boucle est-elle
en ´equilibre stable ? en ´equilibre instable ? Justifier bri`evement les r´eponses.
5. On suppose qu’`a partir de l’angle θ, la spire subit une rotation infinit´esimale dθ. Exprimer le travail δW
du couple magn´etique durant ce d´eplacement ; d´eterminer le travail correspondant `a une rotation finie entre θ1
et θ2. En d´eduire l’existence d’une ´energie potentielle U=−~µ ·~ B.
6. Application num´erique : la spire effectue une rotation depuis la position θ1=π/2 jusqu’`a la position θ2= 0.
Quelle est la variation de son ´energie potentielle ?
L’expression du moment ~ Γ = ~µ ∧~ Best valable pour la boucle parcourue par un courant d’intensit´e
ivariable dans le temps et plac´ee dans un champ magn´etique ~ Bvariable dans le temps.
B. Principe du moteur asynchrone
Une petite bobine plate de centre O, form´ee de Nspires de section A, ferm´ee sur elle-mˆeme, d’inductance propre
Let r´esistance rtourne `a la vitesse constante ωautour de l’axe Oz. Sa position est rep´er´ee par l’angle entre ~ex
et le vecteur unitaire ~n normal au plan de la bobine : (~ex, ~n) = ωt −α0o`u α0d´esigne une constante positive.
Cette bobine est plong´ee dans un champ magn´etique ~ B, de norme constante, ✭✭ tournant ✮✮ lui aussi autour de
l’axe Oz `a la vitesse angulaire ω0constante : (~ex,~ B) = ω0t. Voir la figure 3.
O
y
z
x~n
ωt −α0Ox
y
Bobine
~
B
~n
ωt −α0
ω0t
Figure 3 – Bobine et champ tournant
JR Seigne Clemenceau Nantes

Sciences Physiques MP 2016-2017 DL7 – 4
7. D´eterminer la valeur, `a l’instant t, de l’angle α= (~n, ~ B) en fonction de ω,ω0,α0et t. En d´eduire le flux Φ
du champ ~ B`a travers la bobine. Quelle est la force ´electromotrice induite ecorrespondante ?
8. En r´egime ´etabli, cette force ´electromotrice engendre dans le circuit (r, L) un courant sinuso¨ ıdal i(t) de
mˆeme pulsation que eque l’on exprimera sous la forme i=Isin(α−ϕ) D´eterminer Iet tan ϕ.
9. A quel couple ~ Γ = Γ~ezle circuit est-il soumis ? Quelle est la valeur moyenne Γmde Γ ? A quelle condition
le couple est-il moteur ?
On se propose d’´etudier la variation du couple moyen Γmen fonction de la vitesse angulaire.
10. V´erifier qu’il est possible d’´ecrire Γmsous la forme :
Γm=Φ2
0
2βavec Φ0=N BA et β =r ω0−ω+L2 r(ω0−ω)
11. Pour quelle valeur de ω(dans le domaine moteur) la quantit´e βest-elle minimale ?
12. Soit ωMla valeur de la pulsation qui donne le maximum de Γm, soit Γmax (toujours dans le domaine
moteur). Exprimer Γmax et v´erifier que ce couple moyen maximal est ind´ependant de la r´esistance r.
13. Donner l’allure de la courbe Γm(ω) pour tout le domaine de variation de ω(y compris les valeurs n´egatives).
On d´esignera les extrema par les points Met M′.
14. Interpr´eter les branches ω < 0, puis 0 < ω < ω0et ω > ω0. Justifier le terme de ✭✭ moteur asynchrone ✮✮
de ce dispositif.
On suppose que le moteur ait `a vaincre un couple r´esistant de norme constante Γr, produit par les machines
qu’il doit entraˆıner et par les frottements.
15. La cadre, primitivement au repos (ω= 0), est soumis au couple moyen Γ0= Γm(0). Exprimer Γ0.
16. Que se passe-t-il si Γ0>Γr?
17. A partir de la comparaison des graphes Γ = Γm(ω) et Γ = Γr(on appelle Ple point d’intersection entre
les deux graphes), pr´eciser qualitativement l’´evolution du cadre. Caract´eriser le r´egime atteint par le moteur.
18. On ✭✭ charge ✮✮ davantage le moteur, en maintenant la condition Γ0>Γr. Comment ´evolue le point figuratif
P?
19. Quelle est sur le graphique la zone de fonctionnement stable ? Justifier la r´eponse.
20. Pour la charge maximale acceptable, soit Γmax, calculer la diff´erence relative (ω0−ωM)/ω0.
21. Quel est l’int´erˆet de la r´esistance rau d´emarrage ? Quel est son int´erˆet au maximum de charge Γmax ?
JR Seigne Clemenceau Nantes