Notes de Cours PS 91 Dynamique I. Notion de force

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Notes de Cours PS 91
Dynamique
La dynamique est une discipline de la mécanique classique qui étudie les corps en mouvement sous
l’influence des actions mécaniques qui leur sont appliquées. Elle combine la statique qui étudie
l’équilibre des corps au repos, et la cinématique qui étudie le mouvement.
I. Notion de force
Action de l’extérieur sur le système conduisant à une modification de l’état de repos (ex : déformation
d’un solide) ou du mouvement d’un système. La force est une grandeur vectorielle caractérisée par :
1. la direction : orientation de la force,
2. le sens : vers où la force agit,
3. la norme : grandeur de la force [unité : N],
4. le point d’application : endroit où la force s’exerce.
On peut classer les forces selon la répartition de leur mode d’application (action sur un point, sur
une surface, sur un volume) et selon la portée de leur action :
1. force de contact (réaction, frottement,...)
2. force agissant à distance (gravitation, électromagnétique,...).
Illustration de différents types de forces
1. P~ : poids [à distance]
~ : réaction du sol [de contact]
2. R
~k : force de rappel du ressort [de contact]
3. F
4. T~ : tension du câble [de contact]
~a : force magnétique de l’aimant [à distance]
5. F
T~
~k
F
ressort
sol
aimant
cable
~
R
P~
~a
F
P~
P~
P~
Figure 1 – Illustration de différents types de forces. A l’équilibre, ces forces sont de même amplitude
~ = kF
~k k = kT~ k = kF
~a k = kP~ k.
car :kRk
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II. Principes de Newton
Les lois du mouvement de Newton sont des principes à la base de la théorie de Newton concernant
le mouvement des corps, théorie que l’on nomme mécanique classique.
Première loi de Newton ou principe d’inertie
L’énoncé original est le suivant :
Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite
dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne à
changer d’état.
En fait cette loi n’est valable que dans un référentiel galiléen (*). Dans un langage plus moderne :
Dans un référentiel galiléen, le vecteur vitesse du centre d’inertie ~vG d’un système est
constant si et seulement si la somme des vecteurs forces, notées F~i,ext qui s’exercent
sur le système est un vecteur nul.
Mathématiquement, cela se traduit par :
d~
p
= 0 si et seulement si
dt
X
~i,ext = 0
F
i
On peut noter que cela est vrai pour 1 corps isolé (ponctuel ou non) ou un système de N corps isolé,
c’est à dire soumis à aucun effort externe.
1 corps
N corps
~v1
~vG
G
~v2
G
~vG
~v3
Figure 2 – La quantité de mouvement d’un système isolé se conserve : ~
p = cte. Notons que le
centre d’inertie G d’un système n’est pas obligatoirement associé à un point matériel du corps.
(*) Référentiel galiléen
Un référentiel est galiléen si et seulement si il est en translation uniforme par rapport à un autre
référentiel galiléen. Mais alors comment choisir un référentiel galiléen de référence ? Le meilleur
exemple est le référentiel de Copernic défini à partir du centre d’inertie du système solaire.
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Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique en translation
~ exercée sur un système de masse m
Dans un référentiel galiléen, la force résultante F
(constante au cours du temps) est égale au produit de la masse par l’accélération du
centre d’inertie G du système.
Mathématiquement, cela se traduit par :
m~aG =
X
d~
p
~i,ext
= F~ =
F
dt
i
Troisième loi de Newton ou principe des actions mutuelles
Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d’intensité égale, de
même direction, mais de sens opposé, exercée par le corps B.
Mathématiquement, cela se traduit par :
~A/B = −F
~B/A
F
Ces forces ont la même droite d’action, des sens opposés et la même norme. Ces deux forces sont
toujours directement opposées, que A et B soient immobiles ou en mouvement.
III. Principe fondamental de la dynamique en rotation
Dans le cas d’un point matériel M , on rappelle que le moment cinétique par rapport à un point O
−→
~O = −
OM ∧ p~, ainsi en dérivant par rapport au temps, il vient :
fixe est L
−−→
~O
−−→ d~
dL
dOM
p −−→ ~
=
∧~
p + OM ∧
= OM ∧ F
dt
dt
| dt
{z }
=~
v
En fait, cette relation est équivalente à la deuxième loi de Newton dans le cas d’un point matériel.
Elle est néanmoins pratique pour étudier les mouvements associés aux forces centrales. Le principe
s’étend dans le cas d’un système (continu ou discret) mais dans ce cas, il faut bien identifier le
~i,ext s’exerçant sur le système :
point d’application Ai de chaque force F
X −−→
~O
dL
=
OAi ∧ F~i,ext
dt
i
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IV. Principe fondamental de la statique dans le cas d’un solide
C’est une conséquence directe des principes fondamentaux de la dynamique (en translation et rota~ O constant. Ainsi, la
tion). Le cas statique se traduit par une vitesse ~vG et un moment d’inertie L
somme des efforts externes est nécessairement nulle :
X
~i,ext = 0
F
i
de même pour la somme des moments en un point O fixe :
X −−→
OAi ∧ F~i,ext = 0
i
Illustration : Equilibre d’un drapeau
Un drapeau de masse m est maintenu par un câble horizontal. Le pied du drapeau étant en appui
~ du mur en fonction de la
sur un mur, on veut calculer la tension T~ du câble ainsi que la réaction R
position angulaire α. Le centre d’inertie G du drapeau est supposé au milieu de la tige de longueur
L. Par conséquent, le poids P~ = m~g du drapeau s’applique en G. Les autres points d’application
~ est quelconque.
sont A et O. Enfin, T~ est de même direction que le câble alors que la direction de R
La somme des moments calculés par rapport au point O donne :
−→ ~ −−→ ~
OA ∧ T + OG ∧ P = 0
Après calcul, on trouve que
mg
tan α
2
Enfin, pour obtenir la réaction, il suffit d’écrire que la somme des forces est nulle, ce qui donne
kT~ k =
~ = −T~ − P~
R
On peut noter que dans cet exercice, les forces ne dépendent pas de la longueur du drapeau !
T~
A
~
R
G
L
P~
O
Figure 3 – Equilibre d’un drapeau.
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