Notes de Cours PS 91 Dynamique I. Notion de force

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Notes de Cours PS 91
Dynamique
La dynamique est une discipline de la m´ecanique classique qui ´etudie les corps en mouvement sous
l’influence des actions m´ecaniques qui leur sont appliqu´ees. Elle combine la statique qui ´etudie
l’´equilibre des corps au repos, et la cin´ematique qui ´etudie le mouvement.
I. Notion de force
Action de l’ext´erieur sur le syst`eme conduisant `a une modification de l’´etat de repos (ex : d´eformation
d’un solide) ou du mouvement d’un syst`eme. La force est une grandeur vectorielle caract´eris´ee par :
1. la direction : orientation de la force,
2. le sens : vers o`u la force agit,
3. la norme : grandeur de la force [unit´e : N],
4. le point d’application : endroit o`u la force s’exerce.
On peut classer les forces selon la r´epartition de leur mode d’application (action sur un point, sur
une surface, sur un volume) et selon la port´ee de leur action :
1. force de contact (r´eaction, frottement,...)
2. force agissant `a distance (gravitation, ´electromagn´etique,...).
Illustration de diff´erents types de forces
1. ~ P:poids [`a distance]
2. ~ R:r´eaction du sol [de contact]
3. ~ Fk:force de rappel du ressort [de contact]
4. ~ T:tension du cˆable [de contact]
5. ~ Fa:force magn´etique de l’aimant [`a distance]
ressort
cable aimant
sol
~
T
~
Fa
~
P
~
P
~
P
~
P
~
Fk
~
R
Figure 1 – Illustration de diff´erents types de forces. A l’´equilibre, ces forces sont de mˆeme amplitude
car :k~ Rk=k~ Fkk=k~ Tk=k~ Fak=k~ Pk.
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II. Principes de Newton
Les lois du mouvement de Newton sont des principes `a la base de la th´eorie de Newton concernant
le mouvement des corps, th´eorie que l’on nomme m´ecanique classique.
Premi`ere loi de Newton ou principe d’inertie
L’´enonc´e original est le suivant :
Tout corps pers´ev`ere dans l’´etat de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite
dans lequel il se trouve, `a moins que quelque force n’agisse sur lui, et ne le contraigne `a
changer d’´etat.
En fait cette loi n’est valable que dans un r´ef´erentiel galil´een (*). Dans un langage plus moderne :
Dans un r´ef´erentiel galil´een, le vecteur vitesse du centre d’inertie ~vGd’un syst`eme est
constant si et seulement si la somme des vecteurs forces, not´ees ~ Fi,ext qui s’exercent
sur le syst`eme est un vecteur nul.
Math´ematiquement, cela se traduit par :
d~p
dt= 0 si et seulement si X
i
~
Fi,ext = 0
On peut noter que cela est vrai pour 1 corps isol´e (ponctuel ou non) ou un syst`eme de Ncorps isol´e,
c’est `a dire soumis `a aucun effort externe.
1 corps N corps
G
G
~vG
~vG
~v1
~v2
~v3
Figure 2 – La quantit´e de mouvement d’un syst`eme isol´e se conserve : ~p =cte. Notons que le
centre d’inertie Gd’un syst`eme n’est pas obligatoirement associ´e `a un point mat´eriel du corps.
(*) R´ef´erentiel galil´een
Un r´ef´erentiel est galil´een si et seulement si il est en translation uniforme par rapport `a un autre
r´ef´erentiel galil´een. Mais alors comment choisir un r´ef´erentiel galil´een de r´ef´erence ? Le meilleur
exemple est le r´ef´erentiel de Copernic d´efini `a partir du centre d’inertie du syst`eme solaire.
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Deuxi`eme loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique en translation
Dans un r´ef´erentiel galil´een, la force r´esultante ~ Fexerc´ee sur un syst`eme de masse m
(constante au cours du temps) est ´egale au produit de la masse par l’acc´el´eration du
centre d’inertie Gdu syst`eme.
Math´ematiquement, cela se traduit par :
m~aG=d~p
dt=~
F=X
i
~
Fi,ext
Troisi`eme loi de Newton ou principe des actions mutuelles
Tout corps A exer¸cant une force sur un corps B subit une force d’intensit´e ´egale, de
mˆeme direction, mais de sens oppos´e, exerc´ee par le corps B.
Math´ematiquement, cela se traduit par :
~
FA/B =−~ FB/A
Ces forces ont la mˆeme droite d’action, des sens oppos´es et la mˆeme norme. Ces deux forces sont
toujours directement oppos´ees, que A et B soient immobiles ou en mouvement.
III. Principe fondamental de la dynamique en rotation
Dans le cas d’un point mat´eriel M, on rappelle que le moment cin´etique par rapport `a un point O
fixe est ~ LO=−−→ OM ∧~p, ainsi en d´erivant par rapport au temps, il vient :
d~ LO
dt=d−−→
OM
dt
| {z }
=~v
∧~p +−−→ OM ∧d~p
dt=−−→
OM ∧~ F
En fait, cette relation est ´equivalente `a la deuxi`eme loi de Newton dans le cas d’un point mat´eriel.
Elle est n´eanmoins pratique pour ´etudier les mouvements associ´es aux forces centrales. Le principe
s’´etend dans le cas d’un syst`eme (continu ou discret) mais dans ce cas, il faut bien identifier le
point d’application Aide chaque force ~ Fi,ext s’exer¸cant sur le syst`eme :
d~ LO
dt=X
i
−−→
OAi∧~ Fi,ext
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IV. Principe fondamental de la statique dans le cas d’un solide
C’est une cons´equence directe des principes fondamentaux de la dynamique (en translation et rota-
tion). Le cas statique se traduit par une vitesse ~vGet un moment d’inertie ~ LOconstant. Ainsi, la
somme des efforts externes est n´ecessairement nulle :
X
i
~
Fi,ext = 0
de mˆeme pour la somme des moments en un point Ofixe :
X
i
−−→
OAi∧~ Fi,ext = 0
Illustration : Equilibre d’un drapeau
Un drapeau de masse mest maintenu par un cˆable horizontal. Le pied du drapeau ´etant en appui
sur un mur, on veut calculer la tension ~ Tdu cˆable ainsi que la r´eaction ~ Rdu mur en fonction de la
position angulaire α. Le centre d’inertie Gdu drapeau est suppos´e au milieu de la tige de longueur
L. Par cons´equent, le poids ~ P=m~g du drapeau s’applique en G. Les autres points d’application
sont Aet O. Enfin, ~ Test de mˆeme direction que le cˆable alors que la direction de ~ Rest quelconque.
La somme des moments calcul´es par rapport au point Odonne :
−→
OA ∧~ T+−−→ OG ∧~ P= 0
Apr`es calcul, on trouve que
k~ Tk=mg
2tan α
Enfin, pour obtenir la r´eaction, il suffit d’´ecrire que la somme des forces est nulle, ce qui donne
~
R=−~ T−~ P
On peut noter que dans cet exercice, les forces ne d´ependent pas de la longueur du drapeau !
G
~
T
~
P
~
R
L
O
A
Figure 3 – Equilibre d’un drapeau.
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