PC - TD - Changements de référentiels

PC - T D - Changements de r´ef´erentiels - R´ef´erentiels non galil´eens 1
Exercice 1 Pendule dans un camion
Un v´ehicule a un mouvement rectiligne horizontal uniform´ement acc´el´er´e, d’acc´el´eration −→ a=a0
−→
ex. Un pendule
simple de longueur lest suspendu en O1dans le v´ehicule.
1. D´eterminer la position d’´equilibre relatif θ0.
2. On pose ǫ=θ−θ0. Calculer la p´eriode des petites oscillations autour de la position d’´equilibre relatif. Retrouver
le r´esultat habituel dans le cas limite o`u a0≪g.
Exercice 2 Pendule conique
Soit une masse mau bout d’un fil sans masse de longueur Ltournant `a la vitesse constante −→ ω=ω−→ ezautour d’un
axe vertical. On posera ω0=rg
L. On consid`ere le cas o`u le fil r´ealise un angle αconstant avec la verticale.
1. D´eterminer αpar une ´etude dans RTgalil´een.
2. Retrouver le r´esultat par une ´etude dans le r´ef´erentiel tournant du pendule
3. D´eterminer l’´energie potentielle du syst`eme dans ce r´ef´erentiel.
4. Retrouver la position d’´equilibre du pendule dans le r´ef´erentiel tournant par une m´ethode ´energ´etique puis
´etudier la stabilit´e de l’´equilibre.
Exercice 3 Tube en rotation
On consid`ere un tube creux tournant `a une vitesse angulaire ωautour d’une de ses extr´emit´es, dans le plan
horizontal. Une bille not´ee M de masse mest maintenue `a une distance r0de l’axe. A l’instant initiale on lib`ere la
bille libre de se d´eplacer sans frottement dans le tube.
1. Le r´ef´erentiel du tube peut - il ˆetre consid´er´e comme galil´een ?
2. Etablir l’´equation du mouvement dans le r´ef´erentiel du tube.
3. Exprimer la r´eaction normale du support.
Exercice 4 Mod´elisation des effets non galil´een lors d’une une chute libre : D´eviation
vers l’est
Soit un point mat´eriel M, de masse m, lˆach´e sans vitesse initiale d’une altitude hpar rapport au sol.
1. On suppose que le r´ef´erentiel terrestre local RTest galil´een. On choisit (Ox) vers l’Est, (Oy) vers le Nord, et
(Oz) verticale ascendante.
(a) Quel est le point d’impact sur le sol ?
(b) Exprimer la vitesse vdu point mat´eriel , ainsi que la dur´ee de la chute ∆t.
2. On constate exp´erimentalement qu’il existe une l´eg`ere d´eviation ∆x, toujours dirig´ee vers l’Est (∆x≪h). Cette
observation peut-elle s’expliquer par des sources d’incertitude d’ordre exp´erimentale ?
3. La d´eviation vers l’Est s’explique en tenant compte, par la m´ethode de perturbation, de l’influence de la pseudo-
force de Coriolis.
(a) Exprimer la pseudo-force de Coriolis `a l’ordre 1.
(b) Exprimer la d´eviation vers l’Est , toujours `a l’ordre 1.
4. Application num´erique : λ= 51 ◦;h= 158 m; g= 9,81 m s−2.
5. On souhaite comparer les r´esultats obtenus dans l’approximation galil´eenne puis par m´ethode perturbative avec
une simulation Python. On importe les modules n´ecessaires `a la simulation :
from math import *
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pl

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On d´efinit en param`etres (en dehors de toute fonction)
g,h,L,omega,pas=9.81,158,51,2*pi/(3600*24),0.01
o`u pas est le pas de la r´esolution num´erique.
(a) D´efinir une fonction chute gal qui pour un instant trenvoie l’altitude zsi on consid`ere le r´ef´erentiel galil´een.
(b) Apr`es avoir d´efini les conditions initiales en zet en t, proposer une boucle qui permet de calculer une liste
(ou un array) de valeurs de zet une liste (ou un array) de valeurs de ttant que z > 0.
(c) Demander l’affichage du graphe repr´esentant zen fonction du temps.
(d) On consid`ere maintenant que le r´ef´erentiel terrestre n’est pas galil´een et qu’il est n´ecessaire de tenir compte
de la Force de Coriolis lors de la chute.
i. D´eterminer le syst`eme d’´equations diff´erentielles liant les composantes de l’acc´el´eration (¨x, ¨y, ¨z) aux
composantes la vitesse ( ˙x, ˙y, ˙z).
ii. On d´efinit en langage Python un array Y tel que Y(t) = (x(t), y(t), z(t),˙x(t),˙y(t),˙z(t)). Montrer que
dY(t)
dt=f(Y(t), t). Expliciter la fonction f
iii. On donne les premi`eres lignes de l’aide de la fonction odeint de la biblioth`eque scipy.integrate :
Help on function odeint in module scipy.integrate.odepack:
odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None,
rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0,
mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0)
Integrate a system of ordinary differential equations.
Solve a system of ordinary differential equations using lsoda from the
FORTRAN library odepack.
Solves the initial value problem for stiff or non-stiff systems
of first order ode-s::
dy/dt = func(y,t0,...)
where y can be a vector.
Parameters
----------
func : callable(y, t0, ...)
Computes the derivative of y at t0.
y0 : array
Initial condition on y (can be a vector).
t : array
A sequence of time points for which to solve for y. The initial
value point should be the first element of this sequence.
args : tuple, optional
Extra arguments to pass to function.
Dfun : callable(y, t0, ...)
Gradient (Jacobian) of ‘func‘.
col_deriv : bool, optional
True if ‘Dfun‘ defines derivatives down columns (faster),
otherwise ‘Dfun‘ should define derivatives across rows.
full_output : bool, optional
True if to return a dictionary of optional outputs as the second output
printmessg : bool, optional
Whether to print the convergence message
Returns
-------
y : array, shape (len(t), len(y0))

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Array containing the value of y for each desired time in t,
with the initial value ‘y0‘ in the first row.
Proposer une s´erie de commandes permettant de :
— r´esoudre num´eriquement le syst`eme d’´equations diff´erentielles en utilisant odeint ;
— Tracer les courbes repr´esentant z(t) dans le cas galil´een et dans le cas non galil´een sur un mˆeme
graphe ;
— Tracer la courbe repr´esentant y(t) dans le cas non galil´een ;
— Afficher la d´eviation obtenue au sol.
Exercice 5 Vents g´eostrophiques
Figure 1 – Photo de l’ouragan Katrina (2005)
1. En consid´erant le r´ef´erentiel terrestre comme non galil´een
(r´ef´erentiel g´eocentrique galil´een) justifier l’enroulement ob-
serv´e sur la photo satellite.
2. Tous les cyclones tournent-ils dans le mˆeme sens ?
3. Peut-on r´ealiser la mˆeme analyse avec le vortex observ´e
lorqu’on vide un ´evier ? Justifier qualitativement.
Exercice 6 A bord du St P´etersbourg
Visionner la vid´eo disponible sur :
www.ephyz.pc_meca.php
1. Question pr´eliminaire : Que se passe-t-il si le man`ege ne tourne pas assez vite ?
2. Question : A quelle vitesse angulaire minimale le Saint P´etersbourg doit-il tourner ? (Exprimer le r´esultat en
tour/min)
Exercice 7 Dur´ee du Jour
Quelle devrait ˆetre la dur´ee du jour pour que l’intensit´e de la pesanteur terrestre soit nulle `a l’´equateur ? Donn´ees :
MT= 5,98 ×1024 kg et RT= 6400 km
Exercice 8 Pendule de Foucault.⋆
On consid`ere un pendule compos´e d’une masse massimil´ee `a un point mat´eriel M suspendue au bout d’un fil
de masse n´egligeable, inextensible de longueur L. Ce fil est suspendu en A (altitude h), point fixe dans le r´ef´erentiel
terrestre RT(O, −→ ex,−→ ey,−→ ez), −→ exest dirig´e vers le Sud, horizontal, −→ eyest dirig´e vers le Est, horizontal, et −→ ezest vertical
ascendant. On n´eglige tout frottement. On supposera que le mouvement de M est quasiment uniquement horizontal
pour les faibles amplitudes angulaires. La latitude du point A est λ.
1. Ecrire l’´equation diff´erentielle du mouvement.
2. A t=Oon lˆache le point M sans vitesse initiale depuis (x0,0, z0). Exprimer −−→ OM (t).