PC - TD - Changements de référentiels

PC - T D - Changements de référentiels - Référentiels non galiléens
Exercice 1
1
Pendule dans un camion
→
−
ex . Un pendule
Un véhicule a un mouvement rectiligne horizontal uniformément accéléré, d’accélération →
a = a0 −
simple de longueur l est suspendu en O1 dans le véhicule.
1. Déterminer la position d’équilibre relatif θ0 .
2. On pose ǫ = θ − θ0 . Calculer la période des petites oscillations autour de la position d’équilibre relatif. Retrouver
le résultat habituel dans le cas limite où a0 ≪ g.
Exercice 2
Pendule conique
→
→
Soit une masse m au boutr
d’un fil sans masse de longueur L tournant à la vitesse constante −
ω = ω−
ez autour d’un
g
. On considère le cas où le fil réalise un angle α constant avec la verticale.
axe vertical. On posera ω0 =
L
1. Déterminer α par une étude dans RT galiléen.
2. Retrouver le résultat par une étude dans le référentiel tournant du pendule
3. Déterminer l’énergie potentielle du système dans ce référentiel.
4. Retrouver la position d’équilibre du pendule dans le référentiel tournant par une méthode énergétique puis
étudier la stabilité de l’équilibre.
Exercice 3
Tube en rotation
On considère un tube creux tournant à une vitesse angulaire ω autour d’une de ses extrémités, dans le plan
horizontal. Une bille notée M de masse m est maintenue à une distance r0 de l’axe. A l’instant initiale on libère la
bille libre de se déplacer sans frottement dans le tube.
1. Le référentiel du tube peut - il être considéré comme galiléen ?
2. Etablir l’équation du mouvement dans le référentiel du tube.
3. Exprimer la réaction normale du support.
Exercice 4
Modélisation des effets non galiléen lors d’une une chute libre : Déviation
vers l’est
Soit un point matériel M, de masse m, lâché sans vitesse initiale d’une altitude h par rapport au sol.
1. On suppose que le référentiel terrestre local RT est galiléen. On choisit (Ox) vers l’Est, (Oy) vers le Nord, et
(Oz) verticale ascendante.
(a) Quel est le point d’impact sur le sol ?
(b) Exprimer la vitesse v du point matériel , ainsi que la durée de la chute ∆t.
2. On constate expérimentalement qu’il existe une légère déviation ∆x, toujours dirigée vers l’Est (∆x ≪ h). Cette
observation peut-elle s’expliquer par des sources d’incertitude d’ordre expérimentale ?
3. La déviation vers l’Est s’explique en tenant compte, par la méthode de perturbation, de l’influence de la pseudoforce de Coriolis.
(a) Exprimer la pseudo-force de Coriolis à l’ordre 1.
(b) Exprimer la déviation vers l’Est , toujours à l’ordre 1.
4. Application numérique : λ = 51 ◦ ;
h = 158 m;
g = 9,81 m · s−2 .
5. On souhaite comparer les résultats obtenus dans l’approximation galiléenne puis par méthode perturbative avec
une simulation Python. On importe les modules nécessaires à la simulation :
from math import *
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pl
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2
On définit en paramètres (en dehors de toute fonction)
g,h,L,omega,pas=9.81,158,51,2*pi/(3600*24),0.01
où pas est le pas de la résolution numérique.
(a) Définir une fonction chute gal qui pour un instant t renvoie l’altitude z si on considère le référentiel galiléen.
(b) Après avoir défini les conditions initiales en z et en t, proposer une boucle qui permet de calculer une liste
(ou un array) de valeurs de z et une liste (ou un array) de valeurs de t tant que z > 0.
(c) Demander l’affichage du graphe représentant z en fonction du temps.
(d) On considère maintenant que le référentiel terrestre n’est pas galiléen et qu’il est nécessaire de tenir compte
de la Force de Coriolis lors de la chute.
i. Déterminer le système d’équations différentielles liant les composantes de l’accélération (ẍ, ÿ, z̈) aux
composantes la vitesse (ẋ, ẏ, ż).
ii. On définit en langage Python un array Y tel que Y (t) = (x(t), y(t), z(t), ẋ(t), ẏ(t), ż(t)). Montrer que
dY (t)
= f (Y (t), t). Expliciter la fonction f
dt
iii. On donne les premières lignes de l’aide de la fonction odeint de la bibliothèque scipy.integrate :
Help on function odeint in module scipy.integrate.odepack:
odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None,
rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0,
mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0)
Integrate a system of ordinary differential equations.
Solve a system of ordinary differential equations using lsoda from the
FORTRAN library odepack.
Solves the initial value problem for stiff or non-stiff systems
of first order ode-s::
dy/dt = func(y,t0,...)
where y can be a vector.
Parameters
---------func : callable(y, t0, ...)
Computes the derivative of y at t0.
y0 : array
Initial condition on y (can be a vector).
t : array
A sequence of time points for which to solve for y. The initial
value point should be the first element of this sequence.
args : tuple, optional
Extra arguments to pass to function.
Dfun : callable(y, t0, ...)
Gradient (Jacobian) of ‘func‘.
col_deriv : bool, optional
True if ‘Dfun‘ defines derivatives down columns (faster),
otherwise ‘Dfun‘ should define derivatives across rows.
full_output : bool, optional
True if to return a dictionary of optional outputs as the second output
printmessg : bool, optional
Whether to print the convergence message
Returns
------y : array, shape (len(t), len(y0))
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Array containing the value of y for each desired time in t,
with the initial value ‘y0‘ in the first row.
Proposer une série de commandes permettant de :
— résoudre numériquement le système d’équations différentielles en utilisant odeint ;
— Tracer les courbes représentant z(t) dans le cas galiléen et dans le cas non galiléen sur un même
graphe ;
— Tracer la courbe représentant y(t) dans le cas non galiléen ;
— Afficher la déviation obtenue au sol.
Exercice 5
Vents géostrophiques
1. En considérant le référentiel terrestre comme non galiléen
(référentiel géocentrique galiléen) justifier l’enroulement observé sur la photo satellite.
2. Tous les cyclones tournent-ils dans le même sens ?
3. Peut-on réaliser la même analyse avec le vortex observé
lorqu’on vide un évier ? Justifier qualitativement.
Figure 1 – Photo de l’ouragan Katrina (2005)
Exercice 6
A bord du St Pétersbourg
Visionner la vidéo disponible sur :
www.ephyz.pc_meca.php
1. Question préliminaire : Que se passe-t-il si le manège ne tourne pas assez vite ?
2. Question : A quelle vitesse angulaire minimale le Saint Pétersbourg doit-il tourner ? (Exprimer le résultat en
tour/min)
Exercice 7
Durée du Jour
Quelle devrait être la durée du jour pour que l’intensité de la pesanteur terrestre soit nulle à l’équateur ? Données :
MT = 5,98 × 1024 kg et RT = 6400 km
Exercice 8
Pendule de Foucault.⋆
On considère un pendule composé d’une masse m assimilée à un point matériel M suspendue au bout d’un fil
de masse négligeable, inextensible de longueur L. Ce fil est suspendu en A (altitude h), point fixe dans le référentiel
→
→
→
→
→
→
terrestre RT (O, −
ex , −
ey , −
ez ), −
ex est dirigé vers le Sud, horizontal, −
ey est dirigé vers le Est, horizontal, et −
ez est vertical
ascendant. On néglige tout frottement. On supposera que le mouvement de M est quasiment uniquement horizontal
pour les faibles amplitudes angulaires. La latitude du point A est λ.
1. Ecrire l’équation différentielle du mouvement.
−−→
2. A t = O on lâche le point M sans vitesse initiale depuis (x0 , 0, z0 ). Exprimer OM (t).