TD 12 : Fonctions à valeurs vectorielles

TD 12 : Fonctions à valeurs vectorielles
Étude d’arcs paramétrés plans
Exercice 1 (Entraînement). On considère la fonction vectorielle f : t 7→ (x(t ), y(t )) avec
½
x(t ) = sin (t /2)
y(t ) = tan t
Représenter l’arc paramétré correspondant (indication : comparer les points de paramètres t et
t + 2π). Déterminer une équation des tangentes à l’origine puis déterminer l’angle entre les deux
tangentes à l’origine.
Exercice 2. On considère la fonction vectorielle f : t 7→ (x(t ), y(t )) avec
½
x(t ) = t 2 + t −1
y(t ) = t 2 + 1
Représenter l’arc paramétré correspondant. Indication : pour t 6= 0, déterminer la limite de y(t ) −
x(t ) − 1 lorsque t → ±∞ et donner une interprétation géométrique.
Exercice 3 (Courbe de Lissajous). On considère la fonction vectorielle f : t 7→ (x(t ), y(t )) avec
½
x(t ) = cos(3t )
y(t ) = sin(2t )
Représenter l’arc paramétré correspondant (indication : comparer les points de paramètres t et
t + π). Déterminer une équation des tangentes à l’origine puis déterminer l’angle entre les deux
tangentes à l’origine.
Exercice 4 (Astroïde). On considère la fonction vectorielle f : t 7→ (x(t ), y(t )) avec
½
x(t ) = cos3 t
y(t ) = sin3 t
Représenter l’arc paramétré correspondant. Indications : comparer les points de paramètres t et
t + π puis, pour t 6= 0, déterminer le coefficient directeur de la droite (M (0)M (t )) ainsi que sa limite
lorsque t → 0 et donner une interprétation géométrique.
Exercice 5 (Épicycloïde à deux points de rebroussement ou néphroïde). On considère la fonction
vectorielle f : t 7→ (x(t ), y(t )) avec
½
x(t ) = 3 cos t − cos(3t )
y(t ) = 3 sin t − sin(3t )
Représenter l’arc paramétré correspondant. Indication : comparer les points de paramètres t et t +
π puis, pour t 6= 0, déterminer le coefficient directeur de la droite (M (0)M (t )) ainsi que sa limite
lorsque t → 0 et donner une interprétation géométrique.
Construction d’arcs paramétrés plans
Exercice 6. On considère la courbe Γ de composantes x(t ) = t , y(t ) = t 2 . On note z(t ) l’affixe d’un
point M (t ) de cette courbe. Pour z(t ) 6= 0, on note P (t ) le point d’affixe 1/z(t ). Tracer la courbe
décrite par P (t ).
http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_fcnsvect.pdf
Exercice 7 (Oral Centrale,PSI,2005). Soit
f : z ∈ C \ {1} →
1
(1 − z)2
Déterminer l’image par f de la droite d’équation Re z = 2.
Arcs paramétrés dans R3
Exercice 8. Soient h, r ∈ R+∗ . On considère la fonction vectorielle f : t 7→ (x(t ), y(t ), z(t )) avec :

 x(t ) = r cos t

y(t ) = r sin t
z(t ) = ht
(a) Représenter graphiquement la projection orthogonale de l’arc paramétré associé à f sur les
plans (Ox y), (Oxz) et (O y z).
#–
(b) Déterminer un vecteur directeur u (t ) de la tangente en tout point de l’arc paramétré. Démon#–
#–
trer que l’angle (non orienté) entre u (t ) et k = (0, 0, 1) est constant.
Systèmes d’équations différentielles linéaires homogènes
Exercice 9.
(a) Résoudre le système d’équations différentielles :
 00
 x = −x

y 00 = −x + y − z
z 00 = −x + 2y − 2z
Avec les conditions initiales :
x(0) = 1
x 0 (0) = 1
y(0) = 0
y 0 (0) = 2
z(0) = −1
z 0 (0) = 2
(b) Représenter graphiquement la trajectoire obtenue dans le nouveau système d’axes.
Modélisation
Exercice de modélisation (Étude d’un mouvement). On étudie le déplacement d’un point matériel
#–
#–
M . On note M (t ) sa position à l’instant t , v (t ) sa vitesse et a (t ) son accélération. On suppose que
#–
# –
le mouvement se fait de sorte que a (t ) est toujours colinéaire à OM (t ). Montrer que le mouvement
#–
# –
#–
s’effectue dans un plan. Indication : on pourra considérer l’application f : t 7→ OM (t ) ∧ v (t ) et
ajouter éventuellement des conditions pertinentes sur le point M . Rappel : le produit vectoriel est
bilinéaire.