TD 12 : Fonctions à valeurs vectorielles

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_fcnsvect.pdf
TD 12 : Fonctions à valeurs vectorielles
Étude d’arcs paramétrés plans
Exercice 1 (Entraînement).On considère la fonction vectorielle f:t7→(x(t), y(t)) avec
½x(t)=sin(t/2)
y(t)=tant
Représenter l’arc paramétré correspondant (indication : comparer les points de paramètres tet
t+2π). Déterminer une équation des tangentes à l’origine puis déterminer l’angle entre les deux
tangentes à l’origine.
Exercice 2.On considère la fonction vectorielle f:t7→(x(t), y(t)) avec
½x(t)=t2+t−1
y(t)=t2+1
Représenter l’arc paramétré correspondant. Indication : pour t6= 0, déterminer la limite de y(t)−
x(t)−1 lorsque t→ ±∞ et donner une interprétation géométrique.
Exercice 3 (Courbe de Lissajous).On considère la fonction vectorielle f:t7→(x(t), y(t)) avec
½x(t)=cos(3t)
y(t)=sin(2t)
Représenter l’arc paramétré correspondant (indication : comparer les points de paramètres tet
t+π). Déterminer une équation des tangentes à l’origine puis déterminer l’angle entre les deux
tangentes à l’origine.
Exercice 4 (Astroïde).On considère la fonction vectorielle f:t7→(x(t), y(t)) avec
½x(t)=cos3t
y(t)=sin3t
Représenter l’arc paramétré correspondant. Indications : comparer les points de paramètres tet
t+πpuis, pour t6= 0, déterminer le coefficient directeur de la droite (M(0)M(t)) ainsi que sa limite
lorsque t→0 et donner une interprétation géométrique.
Exercice 5 (Épicycloïde à deux points de rebroussement ou néphroïde).On considère la fonction
vectorielle f:t7→(x(t), y(t)) avec
½x(t)=3cost−cos(3t)
y(t)=3sint−sin(3t)
Représenter l’arc paramétré correspondant. Indication : comparer les points de paramètres tet t+
πpuis, pour t6= 0, déterminer le coefficient directeur de la droite (M(0)M(t)) ainsi que sa limite
lorsque t→0 et donner une interprétation géométrique.
Construction d’arcs paramétrés plans
Exercice 6.On considère la courbe Γde composantes x(t)=t,y(t)=t2. On note z(t) l’affixe d’un
point M(t) de cette courbe. Pour z(t)6= 0, on note P(t) le point d’affixe 1/z(t). Tracer la courbe
décrite par P(t).

Exercice 7 (Oral Centrale,PSI,2005).Soit
f:z∈C\{1} →1
(1−z)2
Déterminer l’image par fde la droite d’équation Rez=2.
Arcs paramétrés dans R3
Exercice 8.Soient h,r∈R+∗. On considère la fonction vectorielle f:t7→(x(t), y(t), z(t)) avec :
x(t)=rcost
y(t)=rsint
z(t)=ht
(a) Représenter graphiquement la projection orthogonale de l’arc paramétré associé à fsur les
plans (Oxy), (Oxz) et (Oyz).
(b) Déterminer un vecteur directeur #– u(t) de la tangente en tout point de l’arc paramétré. Démon-
trer que l’angle (non orienté) entre #– u(t) et #– k=(0,0,1) est constant.
Systèmes d’équations différentielles linéaires homogènes
Exercice 9.
(a) Résoudre le système d’équations différentielles :
x00 =−x
y00 =−x+y−z
z00 =−x+2y−2z
Avec les conditions initiales :
x(0) =1x0(0) =1
y(0) =0y0(0) =2
z(0) =−1z0(0) =2
(b) Représenter graphiquement la trajectoire obtenue dans le nouveau système d’axes.
Modélisation
Exercice de modélisation (Étude d’un mouvement).On étudie le déplacement d’un point matériel
M. On note M(t) sa position à l’instant t,#– v(t) sa vitesse et #– a(t) son accélération. On suppose que
le mouvement se fait de sorte que #– a(t) est toujours colinéaire à # – OM(t). Montrer que le mouvement
s’effectue dans un plan. Indication : on pourra considérer l’application #– f:t7→
# –
OM(t)∧
#–
v(t) et
ajouter éventuellement des conditions pertinentes sur le point M. Rappel : le produit vectoriel est
bilinéaire.