Equations

Equations
Les équations sont des outils mathématiques très puissants qui permettent de résoudre des
problèmes. En 4e, on a appris à résoudre un type d’équations : celle du premier degré à une inconnue.
Nous allons en découvrir un nouveau type.
I)
Qu’est ce qu’une équation ?
Définitions :


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Une équation est une égalité dans laquelle un nombre est inconnu. Ce nombre est
souvent désigné par une lettre (x par exemple).
Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie.
Résoudre une équation c’est trouver toutes ses solutions.
Exemple :
2x+3 = 11 est une équation, d’inconnue x.
• x = 2 n’est pas une solution de cette équation. En effet : 2 × 2 + 3 = 4 + 3 = 7 et 7 ≠ 11.
• x = 4 est une solution de cette équation. En effet : 2 × 4 + 3 = 8 + 3 = 11.
On peut trouver les solutions d’une équation en testant des valeurs données. Mais souvent, cette
technique est longue et laborieuse. Il est donc souvent nécessaire d’utiliser une autre méthode de
résolution.
II)
Comment résoudre une équation ?
Pour résoudre une équation, le but est d’isoler l’inconnue dans l’un des membres de l’égalité.
Pour cela, on utilise le raisonnement logique suivant :
Propriété : On ne change pas une égalité lorsque l’on effectue la même opération (+, -, ×, ÷) dans
chacun de ses membres.
Exercice type 1 : Résoudre l’équation x + 7 = -2x – 2.
III) Application : résoudre des problèmes
La résolution d’un problème se déroule en 4 étapes :
1) Choix de l’inconnue.
2) Mise en équation du problème.
3) Résolution de l’équation.
4) Conclusion.
Savoir résoudre une équation n’est donc qu’un outil intermédiaire dans le raisonnement.
Exercice type 2 :
Pour les anciens abonnements téléphoniques, le consommateur payait un tarif fixe mensuel pour avoir
accès au service, puis payait pour chaque minute consommée.
Voici deux exemples d’abonnements d’il y a quelques années :
Abonnement A : Prix de l’abonnement : 19€ par mois.
Prix de la minute de consommation : 0,30€.
Abonnement B : Prix de l’abonnement : 29€ par mois.
Prix de la minute de consommation : 0,20€.
1) Pour combien de minutes consommées les deux abonnements sont équivalents ?
2) Pour 151 minutes consommées, quel était l’abonnement le plus avantageux ?
Solution :
1) Choix de l’inconnue : On note x le nombre de minutes consommées.
Mise en équation : Prix de l’abonnement A : PA = 19 + 0,30x.
Prix de l’abonnement B : PB = 29 + 0,20x.
Déterminer pour combien de minutes consommées les deux abonnements sont équivalents revient à
résoudre l’équation : 19 + 0,30x = 29 + 0,20x.
Résolution de l’équation :
19 + 0,30x = 29 + 0,20x
19 + 0,30x – 0,20 x = 29 + 0,20x – 0,20x
(on supprime 0,20x dans le membre de droite)
19 + 0,10x = 29
19 + 0,10x – 19 = 29 – 19
(on supprime 19 dans le membre de gauche)
0,10x = 10
=
(On supprime 0,10 dans le membre de gauche)
x = 100
Conclusion : les deux abonnements étaient équivalents pour 100 minutes consommées.
2) Ici, Il suffit juste de remplacer x par 151 dans les deux équations PA et PB, puis de comparer.
Pour x = 151, on a :
PA = 19 + 0,30 × 151
PB = 29 + 0,20 × 151
= 19 + 45,30
= 29 + 30,20
= 64,3
= 59,2
Puisque 64,30 > 59,20, on en déduit que pour 151 minutes consommées, l’abonnement B est le plus
avantageux.
IV) Equation produit nul
Définition :
a, b, c et d sont des nombres relatifs
Une équation de la forme
Exemple :
est une équation produit nul d’inconnue
est une équation produit nul d’inconnue
Propriété :
Si un produit est nul alors au moins un des facteurs est nul.
En langage mathématique :
a et b désignent des nombres relatifs : si
Remarque :
-
Les nombres a et b peuvent tous les deux être égaux à zéro.
Si dans un produit un facteur est nul, alors ce produit est nul.
Exemples :
Résoudre
Si un produit est nul alors au moins l’un des facteurs est nul.
ou
ou
Les solutions de l’équation sont 1 et