QUESTIONS DE COURS D`ANALYSE (MPSI) I FONCTIONS

QUESTIONS DE COURS D’ANALYSE (MPSI)
I FONCTIONS USUELLES
1) Démontrer | |x| − |y| | ≤ |x+y| ≤ |x|+|y|dans R.
2) Donner et démontrer une expression de min (a, b)et max (a, b)à l’aide de la valeur absolue.
3) Montrer la formule cos(a−b) =..., et en déduire cos(a+b),sin(a±b),tan(a±b).
4) Comment calculer tan(x/2) connaissant cos xet sin x? Appliquer à tan π/8et tan π/12.
5) Exprimer cos x, sin x, tan xen fonction de t= tan x
2.
6) Formules de linéarisation ; application à cos
3
xet sin
3
x.
7) Formules cos p±cos q,sin p±sin q, a cos x+bsin x.
8) Calculer cos π/5.
9) Montrer |u| ≤ π
2⇒ |sin u| ≤ |u|et en déduire les continuités de sin et cos.
10) Montrer que lim
u→0
sin u
u= 1.
11) Sachant 8), déterminer la dérivée de la fonction cos puis en déduire celle de sin .
12) Réduire l’intervalle d’étude de la fonction sin, de la fonction tan.
13) Déterminer une transformation géométrique faisant passer de C
cos
àC
sin
et de C
tan
àC
cot
.
14) Calculer C=
n
k=0
cos(θ+kϕ)en multipliant cette expression par sin
ϕ
2
.
15) Calculer S=
n
k=0
sin(θ+kϕ)en multipliant cette expression par sin
ϕ
2
.
16) 17) 18) Définition et étude d’arcsin,arccos,arctan.
19) Montrer que arcsin x+arccos x=π/2.
20) Montrer que arctan x+ arctan 1
x=signe(x).π 2.
21) Montrer que xy < 1⇒arctan x+ arctan y= arctan x+y
1−xy .
22) Montrer ∀a, b > 0f(ab) = f(a) + f(b)
fdérivable sur ]0,+∞[⇒ ∃k∈Rf=kln,
où ln x=
x
1
dt
t.
23) Montrer ln ab = ln a+ ln b∀a, b > 0.
24) Montrer ln x
r
=rln x∀x > 0∀r∈Q.
25) Montrer lim
x→+∞
ln x= +∞.
26) Montrer que ln xx−1.
27) En déduire ln x2(√x−1) et lim
x→+∞
ln x
x= 0 ; interprétation géométrique ?
28) Montrer que exp(x+y) = exp xexp yet exp rx = (exp x)
r
∀x, y ∀r∈Q.
29) Donner les définitions du symbole a
b
, et montrer : a
b+c
=a
b
a
c
(a > 0)
a
bc
=a
b
c
(a > 0) .
30) Étudier et tracer les courbes des diverses fonctions puissances x−→ x
α
sur ]0,+∞[.
31) Sachant lim
x→+∞
ln x
x= 0 , déterminer lim
x→0
xln x,lim
x→+∞
e
x
x,lim
x→−∞
xe
x
.
32) Déterminer lim
x→0
ln(1 + x)
xet lim
x→0
e
x
−1
x.
33) Montrer ch
2
x−sh
2
x= 1 ,ch(a+b) = ch ach b+ sh ash b,
et sh(a+b) = sh ach b+ ch ash b.
34) 35) 36) Étudier les fonctions ch,sh,th.
37) Montrer : ∀x, y ∈Rx
2
+y
2
= 1 ⇔ ∃t∈Rx= cos t, y = sin tet
∀x, y ∈Rx
2
−y
2
= 1 ⇔ ∃t∈Rx=±ch t, y = sh t.
Application aux équations paramétriques de l’ellipse et de l’hyperbole.
38) Déterminer les dérivées des fonctions argsh,argch,argth.
39) Exprimer argsh(y)en fonction d’y.
40) Exprimer argch(y)en fonction d’y.
41) Exprimer argth(y)en fonction d’y.
1

II SUITES
1) Écrire : (u
n
)est croissante à partir d’un certain rang ; (u
n
)n’est croissante (resp. monotone) à partir d’aucun rang.
Donner des exemples.
2) Donner un exemple de suite a) ni majorée, ni minorée.
b) non majorée et croissante partir d’aucun rang. ,
en précisant bien les définitions utilisées.
3) Étudier les sens de variation de 
n
k=1
1
n+k
n1
et de n
100
(1,1)
n
n0
.
4) Étudier les sens de variation de n!
n
n
et (2n)!
n
n
.
5) Étudier le sens de variation d’une suite récurrente u
n
=f(u
n−1
)lorsque f:R−→ Rest croissante sur I, f(I)⊂Iet
u
0
∈I.
6) Comme 5) avec fdécroissante (5) peut être supposé connu).
7) Donner 3 définitions des suites arithmétiques et montrer leur équivalence.
∃r∈C∀n∈Nu
n+1
=u
n
+r,
∀n∈N
∗
u
n
=
1
2
(u
n−1
+u
n+1
),∃a, b ∈C∀n∈Nu
n
=an +b
8) Calcul de la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique, géométrique.
9) Calcul du terme général d’une suite arithmético-géométrique (u
n
=au
n−1
+b).
10) Récurrences linéaires doubles : (u
0
=α, u
1
=β, u
n
=au
n−1
+bu
n−2
).
Énoncer (sans preuve) les résultats, dans le cas complexe puis dans le cas réel (en expliquant d’où vient l’équation
caractéristique).
11) R.L.D. : montrer que
∆= 0 ⇒ ∃A, B ∈C∀n u
n
=Aλ
n
1
+Bλ
n
2
.
12) R.L.D. : montrer que
∆ = 0 ⇒ ∃A, B ∈C∀n u
n
=Anλ
n
+Bλ
n
.
13) R.L.D. (cas réel).
Montrer que
∆<0, λ =ρe
iθ
⇒ ∃C, D ∈R∀n u
n
=ρ
n
(Ccos nθ +Dsin nθ).
11 bis) R. L. D. : montrer que si λest solution de l’équation caractéristique (E) : λ
2
=aλ +b, la suite (u
n
−λu
n−1
)est
géométrique de raison a−λ.
12 bis) Dans le cas où (E) a deux solutions distinctes, calculer le terme général u
n
en utilisant les deux suites géométriques
(u
n
−λ
1
u
n−1
)et (u
n
−λ
2
u
n−1
).
13 bis) Dans le cas où (E) a une solution double λ= 0, montrer qu’u
n
λ
n
est arithmétique et en déduire u
n
.
14) (suites réelles)
Montrer ∀nn
0
u
n
v
n
w
n
lim u
n
= lim w
n
= 0 ⇒lim v
n
= 0 (gendarmes).
15) (suites complexes) Montrer : lim u
n
= lim v
n
= 0 ⇒lim (u
n
+v
n
) = 0 .
16) Montrer (u
n
)bornée
lim v
n
= 0 ⇒lim(u
n
v
n
) = 0 .
17) Prouver l’unicité de la limite finie d’une suite.
18) (suites réelles) : conservation des inégalités larges par passage à la limite.
19) Montrer qu’une suite convergente est bornée.
20) Montrer (en utilisant les propriétés ci-dessus) que la somme et le produit de suites convergentes est une suite conver-
gente.
21) Montrer que si lim u
n
=l= 0 (∈C), alors il existe n
1
tel que u
n
= 0 pour n≥n
1
et 1
u
n
nn
1
est bornée, puis que
lim 1
u
n
=1
l.
22) Montrer que toute sous-suite d’une suite convergente est convergente vers la même limite.
23) (suites réelles) Montrer que si lim u
n
= +∞et (v
n
)est minorée,
alors lim(u
n
+v
n
) = +∞.
24) (suites réelles) Montrer que si lim u
n
= +∞et v
n
λ > 0, alors lim(u
n
v
n
) = +∞.
Donner un contre-exemple avec v
n
>0.
2

25) Facultatif : montrer qu’une suite réelle est non majorée si et seulement si elle possède une sous-suite tendant vers
+∞.
25) On sait que ∀k∈Nlim
n→+∞
u
n,k
= 0 ; que dire des suites :
v
n
=
p
k=1
u
n,k
(pfixé) , et w
n
=
n
k=1
u
n,k
?
26) Montrer : (u
n
)croissante majorée =⇒(u
n
)convergente.
27) Montrer : (u
n
)croissante non majorée =⇒lim u
n
= +∞.
28) Donner un exemple de suite de limite +∞qui n’est croissante à partir d’aucun rang (avec preuve).
29) h
n
=
n
k=1
1
k; montrer que (h
n
)est divergente.
30) Montrer que ∀n1 ln n≤h
n
≤ln n+ 1 .
31) Donner trois exemples de suites divergentes vérifiant lim (u
n+1
−u
n
) = 0 (avec preuves).
32) q
n
=
n
k=1
1
k
2
. Montrer que (q
n
)est convergente.
33) Définir la notion de suites adjacentes, et montrer qu’elles convergent vers la même limite.
34) Facultatif : Application des suites adjacentes : montrer que si Aest une partie dénombrable de R, entre deux réels,
il existe toujours un réel qui n’appartient pas à A(autrement dit : une partie dénombrable est de complémentaire dense ; R
n’est donc pas dénombrable).
35) Facultatif : démontrer que toute suite bornée possède une sous-suite convergente (théorème de Bolzano-Weierstrass).
36) e
n
=
n
k=0
1
k!, e
n
=e
n
+1
nn!; montrer que (e
n
)et (e
n
)sont adjacentes.
37) En admettant 36) et lim e
n
=e, montrer que eest irrationnel.
38) Montrer la transitivité de << ; traduction en termes de “petits o” ?
39) Montrer que si lim(u
n
) = l, lim(u
n
+o(u
n
)) = l.
40) Montrer : o(u
n
v
n
) = u
n
o(v
n
), u
n
o(v
n
) = o(u
n
v
n
), o(λu
n
) = o(u
n
),
λo(u
n
) = o(u
n
), o(u
n
) + o(u
n
) = o(u
n
).
41) Montrer : α < β ⇒n
α
(ln n)
γ
<< n
β
(ln n)
δ
∀γ, δ .
41) bis Montrer : si (u
n
)est à termes >0et si lim u
n+1
u
n
=l > 1,alors lim u
n
= +∞.
42) Montrer n
α
<< a
n
∀α > 0∀a, |a|>1.
43) Montrer a
n
<< n!∀a > 1.
44) Montrer n!<< n
n
.
45) Montrer que ∼est une relation d’équivalence dans l’ensemble des suites complexes ; montrer la compatibilité de cette
relation avec la multiplication et les fonctions puissance.
46) Donner un exemple où u
n
∼u
n
v
n
∼v
n
et u
n
+v
n
u
n
+v
n
, un exemple où u
n
∼v
n
et f(u
n
)f(v
n
), un exemple
où u
n
∼v
n
et (u
n
)
α
n
(v
n
)
α
n
.
47) Montrer que s’il existe λ=0 tel que u
n
∼λv
n
alors u
n
=O(v
n
)et v
n
=O(u
n
), mais que la réciproque est fausse.
III FONCTIONS NUMÉRIQUES : continuité, limites.
2) Montrer qu’il y a identité entre les intervalles et les convexes de R.
3) Montrer que Qet R\Qsont denses dans R.
4) Structure de l’ensemble R
I
des fonctions réelles définies sur Imuni de l’addition et de la multiplication (anneau
commutatif non intègre).
5) Montrer que l’ensemble des périodes d’une fonction R→Rest un sous-groupe additif de R.
6) Donner les définitions des fonctions numériques (strictement) (dé)croissantes, constantes, injectives, lipschitziennes sur
un intervalle en utilisant le taux d’accroissement.
7) Montrer que x−→ 1
xet x−→ √xsont lipschitziennes sur [ε, +∞[(ε > 0), et que x−→ x
2
est lipschitzienne sur
[−A, A].
8) Démontrer à l’aide de la définition des limites que lim
x→0
√x= 0 , que lim
x→+∞
√x= +∞.
9) Donner un exemple de fonction définie au voisinage de 0 n’ayant de limite stricte ni à droite ni à gauche en 0.
10) Montrer que si lorsque xtend vers x
0
, f(x)∼g(x), alors o(f(x)) = o(g(x)) et que, lorsque xtend vers x
0
,
o(f(x)) + o(f(x)) = o(f(x)).
11) Montrer que λo(f(x)) + µo(f(x)) = o(f(x)) et que o(o(f(x)) = o(f(x)).
12) Montrer que si α < β ,x
α
(ln(x))
γ
<< x
β
(ln(x))
δ
quand xtend vers + ∞, et en déduire la relation similaire en 0.
13) Sachant que sin x∼xquand xtend vers 0, montrer que cos(x) = 1 −x
2
2+o(x
2
).
3

14) Connaissant les développements limités à l’ordre 1 quand xtend vers 0 de e
x
et de ln(1 + x), en déduire celui de
(1 + x)
a
.
15) Déterminer lim
x→0
√2x+ 4 −
3
√3x+ 8
√x+ 1 −1.
16) Montrer que si pour toute suite (u
n
)d’éléments de l’ensemble de définition de fconvergeant vers x
0
, la suite (f(u
n
))
a pour limite l, alors lim
x→x
0
f(x) = l.
(fait en cours uniquement pour x
0
et lfinis)
17) Montrer que fest uniformément continue sur Issi pour toutes suites (u
n
)et (v
n
)d’éléments de I, lim (u
n
−v
n
) =
0⇒lim (f(u
n
)−f(v
n
)) = 0.
18) Montrer qu’une fonction uniformément continue sur I est continue sur I et montrer que la réciproque est fausse.
19) Montrer qu’une fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I et montrer que la réciproque est fausse.
20) Facultatif : montrer que toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment.
21) Montrer le lemme de Bolzano (annulation d’une fonction continue qui change de signe).
22) En déduire le théorème des valeurs intermédiaires.
23) En déduire que si fest continue sur un intervalle I, f(I)est un intervalle et que donc si α= inf
x∈I
f(x)et β= sup
x∈I
f(x),
f(I) = [α, β],[α, β[,]α, β]ou ]α, β[.
24) Montrer que tout réel 0 possède une unique racine carrée 0, que tout réel possède une unique racine cubique et
que, plus généralement, toute fonction polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle.
25) Montrer que si Iest ouvert, les 4 possibilités du 23) peuvent arriver, mais énoncer ce qui se passe lorsque fest
strictement monotone sur I, ou lorsque Iest un segment (théorème de Weierstrass).
26) Facultatif : démontrer le théorème de Weierstrass.
27) Montrer qu’une fonction croissante sur ]x
0
−α
0
, x
0
]admet une limite stricte à gauche en x
0
. (Le théorème de la
limite monotone étant qu’une fonction monotone sur une partie de Radmet une limite stricte à gauche et à droite en tout
point adhérent à cette partie).
28) Montrer qu’une fonction continue, injective (i.e. x=y⇒f(x)=f(y)) sur un intervalle I, y est strictement
monotone.
29) Montrer qu’une fonction croissante sur un intervalle ouvert Itelle que f(I)soit un intervalle est continue sur I(le
théorème général étant qu’une fonction monotone sur une partie quelconque Itelle que f(I)soit un intervalle est continue
sur I).
30) En déduire que la fonction réciproque d’une fonction fcontinue strictement monotone sur un intervalle Iest continue
sur f(I).
IV FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION
1) Montrer la dérivabilité de la somme et du produit de deux fonctions dérivables.
2) Montrer la dérivabilité de l’inverse d’une fonction dérivable, de la composée de deux fonctions dérivables (uniquement
dans le cas de u◦v,v(x)=v(x
0
)si x=x
0
).
3) (Petite règle de L’Hospital). Montrer que si fet gsont dérivables et nulles en x
0
,gnon nulle au voisinage pointé de
x
0
,g (x
0
)= 0,alors lim
x→x
0
f(x)
g(x)=f
(x
0
)
g (x
0
).
4) Montrer que si fdérivable sur Rvérifie ∀x, y ∈Rf(x+y) = f(x) + f(y), alors ∃a∈R∀x∈Rf(x) = ax .
5) Idem en supposant seulement fcontinue. On énoncera les 4 étapes de la démonstration et en démontrera 2.
6) En utilisant 5) déterminer les fonctions continues sur Rvérifiant ∀x, y ∈Rf(x+y) = f(x)f(y)et les fonctions
continues sur R
∗
+
vérifiant ∀x, y ∈R
∗
+
f(xy) = f(x) + f(y).
7) Montrer que la fonction
x= 0 −→ 1−cos(x)
x
0−→ 0
est de classe C
1
sur R(sans avoir recours au théorème de la limite de la dérivée).
8) Montrer que la fonction
x= 0 −→ x
2
sin 
1
x
0−→ 0
est dérivable sur R, mais que sa dérivée n’est pas continue en 0 (autrement dit que cette fonction n’est pas de classe C
1
).
9) Somme, produit de deux fonctions C
k
.
10) Formule de Leibniz.
11) Inverse d’une fonction C
k
.
12) Composée de 2 fonctions C
k
.
13) Dérivabilité d’une fonction réciproque.
4

14) Fonction réciproque d’une fonction de classe C
k
.
15) Montrer que si fest définie au voisinage de x
0
, dérivable en x
0
et extrémale en x
0
alors f (x
0
) = 0.
16) Théorème de Rolle.
17) Montrer que si une fonction nfois dérivable sur un intervalle y possède n+ 1 racines, sa dérivée n-ième y possède au
moins une racine.
17) bis Montrer que L
n
=D
n
(X
2
−1)
n
possède nracines réelles distinctes comprises entre -1 et 1, et qu’il est donc
scindé sur R.
18) Soit fune fonction polynomiale de Rvers R,qla somme des ordres de ses racines réelles et q la somme des ordres
des racines réelles de f . Montrer que q q−1.
19) Théorème des accroissements finis.
20) Inégalités des accroissements finis.
21) Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle I, dérivable sur I\ {bornes de I}, est croissante (resp. constante)
sur I ssi sa dérivée y est 0(resp. = 0). Donner des ctre-exemples si I n’est pas un intervalle.
22) Donner et démontrer (sachant 19)) une CNS pour qu’une fonction continue sur un intervalle I, dérivable sur I\
{bornes de I}, soit strictement croissante sur I.
23) Montrer qu’une fonction à dérivée bornée sur Iest lipschitzienne sur I.
24) Théorème du passage à la limite dans la dérivée : montrer que si fest continue sur un intervalle Iet dérivable sur
I\{x
0
}, et si lim
x→x
0
f (x) = l, alors f (x
0
) = l.
24 bis) On admet que fest convexe sur Iintervalle ssi pour tout x
0
de I, la fonction x→ t
f
(x, x
0
)est croissante sur I;
montrer alors que si fest dérivable sur I,fest convexe sur Issi f est croissante sur I.
24 ter) Connaissant l’inégalité de convexité double, démontrer l’inégalité de convexité multiple.
25) Montrer qu’il existe un unique polynôme de degré nprenant la même valeur en x
0
qu’une fonction f, ainsi que ses
ndérivées successives (noté T
(n,f,x
0
)
).
26) Déterminer T
(n,f,0)
(x)pour f= exp,cos,sin,ch,sh,f(x) = (1 + x)
α
.
27) Montrer que T
(n,f,x
0
)
=T
(n−1,f ,x
0
)
.
28) Déterminer T
(n,f,0)
(x)pour f(x) = ln(1 + x)en utilisant 27).
29) Montrer que pour f(x) = 1/(1 + x),T
(n,f,0)
(x) =
n
k=0
(−1)
k
2k
k
2
2k
x
k
.
30) Démontrer le théorème de TAYLOR-YOUNG pour une fonction gvérifiant g
(k)
(0) = 0 pour k= 0, .., n.
31) Montrer que le cas général (pour une fonction nfois dérivable en x
0
) se ramène au cas précédent.
32) Énoncer les développements limités polynomiaux de e
x
,ch x,sh x,sin x, cos x,1
1 + x,1 1−x,ln(1 + x),ln(1 −x),
(1 + x)
α
,1
(1 −x)
α
à l’ordre nen 0.
33) Retrouver le D L P de 1
1−xen 0 par une méthode directe.
34) Preuve de l’unicité du développement limité polynomial à l’ordre nen x
0
.
35) Parité du DLP en rapport avec celle de la fonction.
36) Déterminer le développement limité à l’ordre 2p+ 1 en 0 de 1/(1 + x
2
)et en déduire celui d’arctan à l’ordre 2p+ 2.
37) Déterminer le développement limité à l’ordre 7 en 0 de 1/(1 −x
2
)et en déduire celui d’arcsin à l’ordre 8.
38) Déterminer les développements limités polynomiaux de tan et th en 0 à l’ordre 5.
39) Déterminer des développements généralisés limités à trois termes de cot xet coth xen 0.
40) Déterminer des développements généralisés limités à trois termes de √x+ 1 et ln(x+ 1) en l’infini.
41) Montrer que arccos(1 −x) = 2 arcsin √2x
2(x0) et en déduire un développement limité généralisé à trois termes de
arccos(1 −x)en 0 et que x−→ arccos(1 −x)
√2xadmet des DLP à tout ordre en 0.
42) Donner des exemples de fonction dont la courbe admet :
a) une direction asymptotique (horizontale, oblique, verticale) mais pas d’asymptote (en précisant bien les définitions
correspondantes).
b) une branche infinie sans direction asymptotique.
43) Donner les propriétés de fet dessiner l’allure de sa courbe que l’on peut déduire des développements limités :
a) au voisinage de 0 : f(x) = 1
x+o1 x, f(x) = 1 −x−x
2
+o(x
2
), f(x) = 1 −√x+o(√x).
b) au voisinage de + ∞:f(x) = −x−1−1
x+o1 x, f(x) = −x+√x+o(√x), f(x) = √x−2 + o(1).
5