Feuille de T. D. B2 Arithmétique

Lycée Bellevue – Toulouse Année 2016-2017
PCSI 2 – Mathématiques
Feuille de T. D. B2
Arithmétique
Exercices de cours
1Soit a,b,ctrois entiers naturels.
a. Démontrer que si adivise bet calors adivise
b+cet b−c.
b. Si aet bdivisent c,a+bdivise-t-il c?
2Donner la liste des entiers premiers inférieurs à
100.
3Décomposer 60, 375, 389, 899, 1 001, 2 016,
777 000 en produit de facteurs premiers.
4Programmer en Python l’algorithme d’Euclide
de calcul de PGCD.
5Démontrer que x=ln 8
ln 7 est irrationnel.
Travaux dirigés
1Décomposer en produit de facteurs premiers les
entiers a= 2 613 600 et b= 4 306 500. Calculer en-
suite leur PGCD, et la décomposition en facteurs
premier de leur PPCM.
2Décomposer en produit de facteurs premiers
a= 10! b= 20! c=20
7d=50 12·
3Calculer les PGCD et PPCM des couples et tri-
plets d’entiers suivants :
a. 84 et 90
b. 77 et 91
c. 364 et 495
d. 202, 303 et 606
e. 90, 99 et 110
f. n!et (n+ 1)! (n∈N)
4Soit aet bdeux entiers naturels.
a. Justifier qu’il existe un entier naturel n, une fa-
mille p1, . . . , pnde nombres premiers, et deux
familles α1, . . . , αn,β1, . . . , βnd’entiers naturels
tels que
a=pα1
1. . . pαn
net b=pβ1
1. . . pβn
n
b. En déduire une démonstration du lemme d’Eu-
clide : Soit aet bdeux entiers naturels. Si pest
un nombre premier divisant ab alors pdivise a
ou pdivise b.
5Cet exercice utilise la lemme d’Euclide. Soit p
un nombre premier et k∈ {1, . . . , p −1}.
a. Démontrer que pne divise pas k!.
b. En déduire que pdivise p
k.
c. Démontrer par récurrence le petit théorème de
Fermat : Si pest premier alors pour tout n∈N,
pdivise np−n.
6Soit a,b,ntrois entiers naturels, avec 0< b < a
et n⩾2. Démontrer que si an−bnest premier alors
a. a=b+ 1
b. nest premier.
7Soit aun entier supérieur ou égal à 2.
a. Soit met ndes entiers naturels. Démontrer que
si m|nalors am−1|an−1.
b. Soit n⩾2. Démontrer que si an−1est premier,
alors a= 2 et nest premier.
c. Donner quatre nombres premiers de cette forme.
Ces nombres sont appelé nombre premiers de
Mersenne.
d. Un entier mest dit parfait si la somme de ses
diviseurs autres que lui-même est égale à m. Dé-
monter que si m= 2p−1est premier, alors
2p−1mest parfait.
8Soit nun entier naturel, et ap. . . a0son écriture
en base 10, c’est-à-dire que les aisont des entiers
tels que 0⩽ai⩽9et n=
p
i=0
ai10i.
Démontrer que :
a. nest multiple de 9si et seulement si la somme
de ses chiffres est multiple de 9
b. nest multiple de 11 si et seulement si
p
i=0
(−1)iai
est multiple de 11.
9Soit nun entier naturel, qet rle quotient et le
reste de la division euclidienne de npar 10.
a. Démontrer que nest multiple de 7 si et seulement
si q−2rest multiple de 7.
b. En déduire un algorithme pour déterminer en
calcul mental si un entier est multiple de 7. Ap-
pliquer cet algorithme aux entiers 84, 173, 343,
526, 1 001, 4 345, 5 292, 12 915, 999 999 et 1 111
111.
10 Exprimer les réels suivants comme fractions
irréductibles :
a= 1,24 b= 0,7c= 6,3366
d= 2,46e= 2,72 f= 85,714285
g= 3,69h= 0,370 i= 1,258741.
Le motif souligné se répète indéfiniment.
11 Démontrer que l’équation x3+x= 1 admet
une et une seule solution dans R, puis que cette
solution est irrationnelle.