Feuille de T. D. B2 Arithmétique

Lycée Bellevue – Toulouse
PCSI 2 – Mathématiques
Année 2016-2017
Feuille de T. D. B2
Arithmétique
Exercices de cours
1
Soit a, b, c trois entiers naturels.
a. Démontrer que si a divise b et c alors a divise
b + c et b − c.
b. Si a et b divisent c, a + b divise-t-il c ?
2
Donner la liste des entiers premiers inférieurs à
100.
3
Décomposer 60, 375, 389, 899, 1 001, 2 016,
777 000 en produit de facteurs premiers.
4
Programmer en Python l’algorithme d’Euclide
de calcul de PGCD.
8
5
Démontrer que x = ln
ln 7 est irrationnel.
Travaux dirigés
1 Décomposer en produit de facteurs premiers les
entiers a = 2 613 600 et b = 4 306 500. Calculer ensuite leur PGCD, et la décomposition en facteurs
premier de leur PPCM.
2 Décomposer en produit de facteurs premiers
( )
( )
20
50
a = 10!
b = 20!
c=
d=
·
7
12
3 Calculer les PGCD et PPCM des couples et triplets d’entiers suivants :
a. 84 et 90
d. 202, 303 et 606
b. 77 et 91
e. 90, 99 et 110
c. 364 et 495
f. n! et (n + 1)!
(n ∈ N)
6 Soit a, b, n trois entiers naturels, avec 0 < b < a
et n ⩾ 2. Démontrer que si an −bn est premier alors
a. a = b + 1
b. n est premier.
7 Soit a un entier supérieur ou égal à 2.
a. Soit m et n des entiers naturels. Démontrer que
si m | n alors am − 1 | an − 1.
b. Soit n ⩾ 2. Démontrer que si an − 1 est premier,
alors a = 2 et n est premier.
c. Donner quatre nombres premiers de cette forme.
Ces nombres sont appelé nombre premiers de
Mersenne.
d. Un entier m est dit parfait si la somme de ses
diviseurs autres que lui-même est égale à m. Démonter que si m = 2p − 1 est premier, alors
2p−1 m est parfait.
8 Soit n un entier naturel, et ap . . . a0 son écriture
en base 10, c’est-à-dire que les ai sont des entiers
p
∑
tels que 0 ⩽ ai ⩽ 9 et n =
ai 10i .
i=0
Démontrer que :
a. n est multiple de 9 si et seulement si la somme
de ses chiffres est multiple de 9
p
∑
(−1)i ai
b. n est multiple de 11 si et seulement si
i=0
est multiple de 11.
9 Soit n un entier naturel, q et r le quotient et le
reste de la division euclidienne de n par 10.
a. Démontrer que n est multiple de 7 si et seulement
si q − 2r est multiple de 7.
b. En déduire un algorithme pour déterminer en
calcul mental si un entier est multiple de 7. Appliquer cet algorithme aux entiers 84, 173, 343,
526, 1 001, 4 345, 5 292, 12 915, 999 999 et 1 111
111.
4 Soit a et b deux entiers naturels.
a. Justifier qu’il existe un entier naturel n, une famille p1 , . . . , pn de nombres premiers, et deux
familles α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn d’entiers naturels
tels que
αn
1
a = pα
et b = pβ1 1 . . . pβnn
1 . . . pn
b. En déduire une démonstration du lemme d’Euclide : Soit a et b deux entiers naturels. Si p est 10 Exprimer les réels suivants comme fractions
un nombre premier divisant ab alors p divise a irréductibles :
a = 1,24
b = 0,7
c = 6,3366
ou p divise b.
5 Cet exercice utilise la lemme d’Euclide. Soit p
un nombre premier et k ∈ {1, . . . , p − 1}.
a. Démontrer que p ne divise pas k!.
( )
b. En déduire que p divise kp .
c. Démontrer par récurrence le petit théorème de
Fermat : Si p est premier alors pour tout n ∈ N,
p divise np − n.
d = 2,46
e = 2,72
f = 85,714285
g = 3,69
h = 0,370
i = 1,258741.
Le motif souligné se répète indéfiniment.
11 Démontrer que l’équation x3 + x = 1 admet
une et une seule solution dans R, puis que cette
solution est irrationnelle.