2013/14 - Master 1 - M416 - Topologie —— TD3

2013/14 - Master 1 - M416 - Topologie
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TD3 - Topologie quotient
Exercice 1.
a. Les espaces O(n,R), SO(n,R), U(n,C), SU(n,C) sont-ils compacts ?
b. Les espaces GL(n,R), SL(n,R) sont-ils compacts ?
Exercice 2. (Actions de groupes)
On rappelle qu’un groupe Gqui agit sur un ensemble Xdéfinit sur Xune relation d’équivalence,
l’ensemble quotient (i.e., l’ensemble des orbites de l’action) étant noté X/G. En particulier, lorsque
Xest un espace topologique, on munit X/Gde la topologie quotient.
BLorsque G⊂X, on ne confondra pas l’espace X/Gainsi défini avec l’espace obtenu en identifiant G
à un point (également noté X/G, voir l’exercice 4).
a. Montrer que R/Qn’est pas séparé où Qagit sur Rpar translation.
b. Montrer que
R/ZS1,
où Zagit sur Rpar translation.
c. Montrer que Sn/Z2RPn,
où Z2={1,−1}agit sur Sn={(x1,...,xn+1)∈Rn+1
x2
1+···+x2 n+1=1}par multiplication.
d. Montrer que S2n+1/S1CPn,
où S1={z∈C| |z|=1}agit sur S2n+1={(z1,...,zn+1)∈Cn+1
|z1|2+···+|zn+1|2=1}par multiplica-
tion. Pour n=1, on obtient donc S3/S1S2(puisque CP1S2).
Exercice 3. (Recollement)
On rappelle que si X,Ysont des espaces topologiques, Aest une partie de Y, et f:A→Xest une
application continue, alors le recollement de Y à X le long de f, noté Y∪fX, désigne l’espace quotient
Y⊔X/Rmuni de la topologie quotient, où Rest la relation d’équivalence sur l’union disjointe Y⊔X
engendrée par a∼f(a) pour tout a∈A.
a. Décrire les classes d’équivalence de R.
b. Notons i:A→Yl’application d’inclusion, g:Y→Y∪fXet j:X→Y∪fXles applications
induites par les inclusions Y→Y⊔Xet X→Y⊔X. Vérifier que gi =jf et montrer que l’espace
topologique Y∪fXsatisfait la propriété suivante : tout diagramme commutatif de la forme
A
i
f//
(∗)
X
j
v
Yg//
u//
Y∪fX
w
""Z
possède un unique morphisme pointillé w:Y∪fX→Zqui le complète, c’est-à-dire, pour tout espace
topologique Zet toutes applications continues u:Y→Z,v:X→Ztelles que ui =vf, il existe une
unique application continue w:Y∪fX→Ztelle que u=wg et v=wj. On dit aussi que (*) est un
carré cocartésien.
c. Montrer que le fait que (*) soit un carré cocartésien caractérise Y∪fXà homéomorphisme (unique)
près. On dit que cette propriété est alors universelle.

Exercice 4. (Identification d’une partie à un point)
On rappelle que si Aest une partie d’un espace topologique Y, alors l’espace obtenu en indentifiant A
à un point, noté Y/A, désigne l’espace quotient Y/Rmuni de la topologie quotient, où Rest la relation
d’équivalence sur Ydont les classes d’équivalence sont : Aet {y}pour y∈Y\A.
a. Vérifier que l’espace obtenu en identifiant une partie à un point est un cas particulier de recollement.
b. Expliciter la propriété universelle de Y/A.
Exercice 5.
Reconnaître l’espace ] − ∞,0] ∪i[0,+∞[, où i:{0} → [0,+∞[ est l’application naturelle i(0) =0.
Exercice 6.
Montrer que [0,1]/{0,1}S1en construisant un carré cocartésien
{0,1}
//{pt}
[0,1] //S1.
Exercice 7. (Problème de séparation du quotient)
Soit Xun espace topologique, Rune relation d’équivalence sur Xet p:X→X/Rla surjection canon-
ique.
a. On suppose que pest ouverte. Montrer que X/Rest séparé si et seulement si le graphe de Rest un
fermé de X×X.
b. On suppose Xcompact. Montrer que X/Rest séparé si et seulement si pest fermée.
Exercice 8.
Soient Xun espace topologique compact et Aune partie de X. Montrer que X/Aest séparé si et seule-
ment si Aest un fermé de X.
Exercice 9.
Le cône d’un espace topologique Xest l’espace quotient C(X)=X×[0,1]/X× {0}.
Montrer que C(Sn−1)Bn.
Exercice 10.
Montrer que Bn/Sn−1Sn.
Exercice 11.
Utiliser les applications quotients p:Sn−1→RPn−1et q:S2n−1→CPn−1de l’exercice 2 pour construire
des carrés cocartésiens :
Sn−1
p//RPn−1
Dn//RPn
et S2n−1
q//CPn−1
D2n//CPn.