2013/14 - Master 1 - M416 - Topologie —— TD3

2013/14 - Master 1 - M416 - Topologie
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TD3 - Topologie quotient
Exercice 1.
a. Les espaces O(n, R), SO(n, R), U(n, C), SU(n, C) sont-ils compacts ?
b. Les espaces GL(n, R), SL(n, R) sont-ils compacts ?
Exercice 2. (Actions de groupes)
On rappelle qu’un groupe G qui agit sur un ensemble X définit sur X une relation d’équivalence,
l’ensemble quotient (i.e., l’ensemble des orbites de l’action) étant noté X/G. En particulier, lorsque
X est un espace topologique, on munit X/G de la topologie quotient.
B Lorsque G ⊂ X, on ne confondra pas l’espace X/G ainsi défini avec l’espace obtenu en identifiant G
à un point (également noté X/G, voir l’exercice 4).
a. Montrer que R/Q n’est pas séparé où Q agit sur R par translation.
b. Montrer que
R/Z S 1 ,
où Z agit sur R par translation.
c. Montrer que
n
S n /Z2 RP
,
n
n+1 2
où Z2 = {1, −1} agit sur S = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ R x1 + · · · + x2n+1 = 1} par multiplication.
d. Montrer que
S 2n+1 /S 1 CPn ,
où S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} agit sur S 2n+1 = {(z1 , . . . , zn+1 ) ∈ Cn+1 |z1 |2 + · · · + |zn+1 |2 = 1} par multiplication. Pour n = 1, on obtient donc S 3 /S 1 S 2 (puisque CP1 S 2 ).
Exercice 3. (Recollement)
On rappelle que si X, Y sont des espaces topologiques, A est une partie de Y, et f : A → X est une
application continue, alors le recollement de Y à X le long de f , noté Y ∪ f X, désigne l’espace quotient
Y ⊔ X/R muni de la topologie quotient, où R est la relation d’équivalence sur l’union disjointe Y ⊔ X
engendrée par a ∼ f (a) pour tout a ∈ A.
a. Décrire les classes d’équivalence de R.
b. Notons i : A → Y l’application d’inclusion, g : Y → Y ∪ f X et j : X → Y ∪ f X les applications
induites par les inclusions Y → Y ⊔ X et X → Y ⊔ X. Vérifier que gi = j f et montrer que l’espace
topologique Y ∪ f X satisfait la propriété suivante : tout diagramme commutatif de la forme
f
A
/
X
j
(∗)
i
Y
g
/
v
Y ∪f X
w
u
/
" Z
possède un unique morphisme pointillé w : Y ∪ f X → Z qui le complète, c’est-à-dire, pour tout espace
topologique Z et toutes applications continues u : Y → Z, v : X → Z telles que ui = v f , il existe une
unique application continue w : Y ∪ f X → Z telle que u = wg et v = w j. On dit aussi que (*) est un
carré cocartésien.
c. Montrer que le fait que (*) soit un carré cocartésien caractérise Y ∪ f X à homéomorphisme (unique)
près. On dit que cette propriété est alors universelle.
Exercice 4. (Identification d’une partie à un point)
On rappelle que si A est une partie d’un espace topologique Y, alors l’espace obtenu en indentifiant A
à un point, noté Y/A, désigne l’espace quotient Y/R muni de la topologie quotient, où R est la relation
d’équivalence sur Y dont les classes d’équivalence sont : A et {y} pour y ∈ Y \ A.
a. Vérifier que l’espace obtenu en identifiant une partie à un point est un cas particulier de recollement.
b. Expliciter la propriété universelle de Y/A.
Exercice 5.
Reconnaître l’espace ] − ∞, 0] ∪i [0, +∞[, où i : {0} → [0, +∞[ est l’application naturelle i(0) = 0.
Exercice 6.
Montrer que [0, 1]/{0, 1} S 1 en construisant un carré cocartésien
/
{0, 1}
{pt}
/
[0, 1]
S 1.
Exercice 7. (Problème de séparation du quotient)
Soit X un espace topologique, R une relation d’équivalence sur X et p : X → X/R la surjection canonique.
a. On suppose que p est ouverte. Montrer que X/R est séparé si et seulement si le graphe de R est un
fermé de X × X.
b. On suppose X compact. Montrer que X/R est séparé si et seulement si p est fermée.
Exercice 8.
Soient X un espace topologique compact et A une partie de X. Montrer que X/A est séparé si et seulement si A est un fermé de X.
Exercice 9.
Le cône d’un espace topologique X est l’espace quotient C(X) = X × [0, 1]/X × {0}.
Montrer que C(S n−1 ) Bn .
Exercice 10.
Montrer que Bn /S n−1 S n .
Exercice 11.
Utiliser les applications quotients p : S n−1 → RPn−1 et q : S 2n−1 → CPn−1 de l’exercice 2 pour construire
des carrés cocartésiens :
S n−1
p
/
RPn−1
Dn
/
RPn
et
S 2n−1
q
CPn−1
/
D2n
/
CPn .