TD1

Groupe fondamental et revêtements
TD 1
20 Janvier 2015
TD 1 : Échauffement
Exercice 1.— Topologie Quotient
Soit X un espace topologique. On se donne une relation d’équivalence R sur X. Il y a
alors une application (ensembliste) canonique :
p : X → X/R,
qui envoie x sur sa classe d’équivalence.
On veut mettre sur X/R la topologie "la moins bête possible" rendant p continue. Comme
la topologie grossière conviendrait, on cherche donc la topologie contenant le plus d’ouverts
possible et rendant p continue.
1. Montrer que considérer
O ⊂ X/R p−1 (O) ouvert de X
répond à la question. C’est la topologie quotient.
2. Montrer que cette topologie est l’unique topologie sur X/R rendant p continue et
satisfaisant à la "propriété universelle" suivante :
"Pour tout Y espace topologique et f : X → Y continue se factorisant en f = f¯ ◦ p,
alors f¯ : X/R → Y est continue".
3. Montrer que T1 = R/Z comme quotient de groupes muni de la topologie quotient
est homéomorphe à S 1 = {z ∈ C | |z| = 1}.
4. Quelle est la topologie quotient de R/Q ?
5. Montrer que T2 = R2 /Z2 est homéomorphe à S 1 × S 1 et à un tore de révolution de
R3 .
6. On appelle "graphe de la relation d’équivalence" la partie de X × X égale à
Γ = {(x, y) ∈ X × X | xRy} .
Exprimer sur Γ que R est une relation d’équivalence.
7. Soit (X, R) tel que pour tout O ouvert de X, ∪x∈O classe d’équivalence de x (on
parle de saturé de O) soit ouvert, et Γ soit un fermé de X × X, alors X/R est un
espace topologique séparé (c’est-à-dire, si x 6= y ∈ X/R, il existe U et V ouverts
disjoints de X/R avec x ∈ U et y ∈ V ).
8. Si X est compact et le graphe de R fermé, alors X/R est séparé.
9. (Connexité) Montrer que si X/R est connexe et chaque classe d’équivalence est
connexe, alors X est connexe.
10. (Recollements) Soit X un espace topologique, A et B deux parties disjointes de X
et φ : A → B un homéomorphisme. On appelle recollement l’espace quotient donné
par la relation d’équivalence xRy ⇔ x = y ou y = φ(x) ou x = φ(y).
L’espace obtenu pour X = [0, 1] × {0, 1} ⊂ R2 et
φ:
]0, 1] × {0} → ]0, 1] × {1}
(x, 0)
7→
(x, 1)
est-il séparé ? Combien de limites à la suite (classe de n1 ) ?
Prenons X = [0, 1]2 . Quel est l’espace Y obtenu pour
ENS Lyon
1
L3
Groupe fondamental et revêtements
φ:
TD 1
20 Janvier 2015
{0} × [0, 1] → {1} × [0, 1]
(0, y)
7→
(1, y)
Quel est l’espace Z obtenu par recollement de Y selon l’application induite par :
ψ:
[0, 1] × {0} → [0, 1] × {1}
(x, 0)
7→
(x, 1)
Réfléchir (en dessins) sur la même chose pour ψ : (x, 0) 7→ (1 − x, 1).
11. (Identifications) Si X est un espace topologique et A une partie de X, on considère
la relation d’équivalence dont les classes sont A et tous les {x} si x 6∈ A. Le quotient
est l’espace où l’on a identifié tous les points de A à un seul.
Si X = [0, 1] × S n−1 et A = {0} × S n−1 , quel est l’espace obtenu par identification
des points de A ?
Exercice 2.— Graphes
Soit G un graphe (orienté) abstrait, c’est-à-dire la donnée d’un ensemble S (sommets) et
d’un ensemble A (arêtes) muni de deux applications f− , f+ : A → S (désignant l’origine
b de la façon
et l’extrémité de chaque arête). On construit un espace topologique associé G
suivante. On munit S de la topologie discrète et on note pour a ∈ A, Ia = [0, 1] (muni de
la topologie usuelle), ∂− [0, 1] = 0, ∂+ [0, 1] = 1. On pose
G
b = (S t
G
Ia )/ ∼
a∈A
où ∼ est la relation d’équivalence engendrée par f− (a) ∼ ∂− Ia et f+ (a) ∼ ∂+ Ia pour tout
a ∈ A. On note p la projection sur le quotient.
b et ta∈A I˚a → G
b sont des homéomorphismes
1. Montrer que les applications S → G
b on appelle plutôt sommets les points p(s) pour s ∈ S et
sur leurs images. Dans G,
˚
b
arêtes les p(Ia ) pour a ∈ A ; les sommets et arêtes forment alors une partition de G.
b est séparé.
2. Montrer que G
b est égale à p(Ia ) et
3. Montrer que pour tout a ∈ A, l’adhérence d’une arête dans G
que celle-ci est homéomorphe soit à [0, 1], soit à un cercle.
b est ouverte si et seulement si son intersection avec
4. Montrer qu’une partie O de G
chaque p(Ia ) est ouverte dans p(Ia ).
b est localement connexe par arcs.
5. Montrer que G
6. Montrer que G est connexe (au sens où deux sommets sont joints par un chemin
b est connexe (comme espace
composé d’un nombre fini d’arêtes) si et seulement si G
topologique).
b ne peut rencontrer qu’un nombre fini de
7. Montrer qu’une partie compacte de G
b est compact si et seulement si A et S sont
sommets et d’arêtes. En déduire que G
des ensembles finis.
8. Montrer que s’il existe un sommet s tel que f+−1 (s) ∪ f−−1 (s) est infini, alors celui-ci
b est métrisable.
n’admet pas de base dénombrable de voisinages et en déduire que G
9. L’espace correspondant à la figure suivante est-il homéomorphe à un graphe ?
ENS Lyon
2
L3
Groupe fondamental et revêtements
TD 1
20 Janvier 2015
Figure 1 – Une boucle d’oreille hawaienne
Exercice 3.— Recollement d’applications continues
Soit f : X → Y une application entre espaces topologiques. On suppose que X = ∪i∈I Fi
où les Fi sont fermés.
1. On suppose que I est fini. Montrer que si, pour tout i, f |Fi est continue alors f est
continue.
2. Est-ce vrai si I est infini ?
3. Montrer que cela reste vrai si la famille (Fi )i∈I est localement finie, c’est-à-dire pour
tout x ∈ X, il existe un voisinage V de x tel que {i ∈ I | V ∩ Fi 6= ∅} est fini.
Exercice 4.— Une courbe de Peano
Soit γ0 : [0, 1] → C définie par γ0 (t) = t + it. On construit par récurrence une suite
γk : [0, 1] → C d’applications comme suit.
1
06t6 ,
9
2
1
6t6 ,
9
9
2
3
6t6 ,
9
9
3
4
6t6 ,
9
9
5
4
6t6 ,
9
9
5
6
6t6 ,
9
9
7
6
6t6 ,
9
9
7
8
6t6 ,
9
9
8
6 t 6 1,
9
1
γk+1 (t) = γk (9t)
3
1+i
i
γk+1 (t) =
− γk (9t − 1)
3
3
2 1
γk+1 (t) = + γk (9t − 2)
3 3
3+i i
γk+1 (t) =
+ γk (9t − 3)
3
3
2 + 2i 1
γk+1 (t) =
− γk (9t − 4)
3
3
1+i i
γk+1 (t) =
+ γk (9t − 5)
3
3
2i 1
γk+1 (t) =
+ γk (9t − 6)
3
3
1 + 3i
i
γk+1 (t) =
− γk (9t − 7)
3
3
2 + 2i 1
γk+1 (t) =
+ γk (9t − 8)
3
3
Dessiner l’image de γ1 et γ2 .
Montrer que γk ∈ C 0 ([0, 1], [0, 1]2 ).
Montrer que C 0 ([0, 1], [0, 1]2 ) est un espace complet pour la distance uniforme.
Montrer que γk est une suite de Cauchy. On note γ∞ sa limite.
Montrer que a+ib
avec a, b ∈ N, a + b pair, appartient à l’image de γk pour tout
3p
k > p.
6. Déduire de ce qui précède que γ∞ est une courbe de Peano : γ∞ : [0, 1] → [0, 1]2 est
continue et surjective.
1.
2.
3.
4.
5.
ENS Lyon
3
L3
Groupe fondamental et revêtements
TD 1
20 Janvier 2015
7. Soit E = {γ ∈ C 0 ([0, 1], [0, 1]2 ) | γ(0) = 0, γ(1) = 1 + i}. Trouver une application
F : E → E contractante dont γ∞ est le point fixe. En déduire que, dans la construction ci-dessus, on peut remplacer γ0 par n’importe quel autre chemin de [0, 1]2
joignant 0 à 1 + i.
ENS Lyon
4
L3