TD1

Groupe fondamental et revêtements TD 1 20 Janvier 2015
TD 1 : Échauffement
Exercice 1.— Topologie Quotient
Soit Xun espace topologique. On se donne une relation d’équivalence Rsur X. Il y a
alors une application (ensembliste) canonique :
p:X→X/R,
qui envoie xsur sa classe d’équivalence.
On veut mettre sur X/Rla topologie "la moins bête possible" rendant pcontinue. Comme
la topologie grossière conviendrait, on cherche donc la topologie contenant le plus d’ouverts
possible et rendant pcontinue.
1. Montrer que considérer
O⊂X/Rp−1(O)ouvert de X
répond à la question. C’est la topologie quotient.
2. Montrer que cette topologie est l’unique topologie sur X/Rrendant pcontinue et
satisfaisant à la "propriété universelle" suivante :
"Pour tout Yespace topologique et f:X→Ycontinue se factorisant en f=¯ f◦p,
alors ¯ f:X/R → Yest continue".
3. Montrer que T1=R/Zcomme quotient de groupes muni de la topologie quotient
est homéomorphe à S1={z∈C| |z|= 1}.
4. Quelle est la topologie quotient de R/Q?
5. Montrer que T2=R2/Z2est homéomorphe à S1×S1et à un tore de révolution de
R3.
6. On appelle "graphe de la relation d’équivalence" la partie de X×Xégale à
Γ = {(x, y)∈X×X|xRy}.
Exprimer sur Γque Rest une relation d’équivalence.
7. Soit (X, R)tel que pour tout Oouvert de X,∪x∈Oclasse d’équivalence de x(on
parle de saturé de O) soit ouvert, et Γsoit un fermé de X×X, alors X/Rest un
espace topologique séparé (c’est-à-dire, si x6=y∈X/R, il existe Uet Vouverts
disjoints de X/Ravec x∈Uet y∈V).
8. Si Xest compact et le graphe de Rfermé, alors X/Rest séparé.
9. (Connexité) Montrer que si X/Rest connexe et chaque classe d’équivalence est
connexe, alors Xest connexe.
10. (Recollements) Soit Xun espace topologique, Aet Bdeux parties disjointes de X
et φ:A→Bun homéomorphisme. On appelle recollement l’espace quotient donné
par la relation d’équivalence xRy⇔x=you y=φ(x)ou x=φ(y).
L’espace obtenu pour X= [0,1] × {0,1} ⊂ R2et
φ:]0,1] × {0} → ]0,1] × {1}
(x, 0) 7→ (x, 1)
est-il séparé ? Combien de limites à la suite (classe de 1
n) ?
Prenons X= [0,1]2. Quel est l’espace Yobtenu pour
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φ:{0} × [0,1] → {1} × [0,1]
(0, y)7→ (1, y)
Quel est l’espace Zobtenu par recollement de Yselon l’application induite par :
ψ:[0,1] × {0} → [0,1] × {1}
(x, 0) 7→ (x, 1)
Réfléchir (en dessins) sur la même chose pour ψ: (x, 0) 7→ (1 −x, 1).
11. (Identifications) Si Xest un espace topologique et Aune partie de X, on considère
la relation d’équivalence dont les classes sont Aet tous les {x}si x6∈ A. Le quotient
est l’espace où l’on a identifié tous les points de Aà un seul.
Si X= [0,1] ×Sn−1et A={0} × Sn−1, quel est l’espace obtenu par identification
des points de A?
Exercice 2.— Graphes
Soit Gun graphe (orienté) abstrait, c’est-à-dire la donnée d’un ensemble S(sommets) et
d’un ensemble A(arêtes) muni de deux applications f−, f+:A→S(désignant l’origine
et l’extrémité de chaque arête). On construit un espace topologique associé b Gde la façon
suivante. On munit Sde la topologie discrète et on note pour a∈A,Ia= [0,1] (muni de
la topologie usuelle), ∂−[0,1] = 0,∂+[0,1] = 1. On pose
b
G= (StG
a∈A
Ia)/∼
où ∼est la relation d’équivalence engendrée par f−(a)∼∂−Iaet f+(a)∼∂+Iapour tout
a∈A. On note pla projection sur le quotient.
1. Montrer que les applications S→b Get ta∈A˚ Ia→b Gsont des homéomorphismes
sur leurs images. Dans b G, on appelle plutôt sommets les points p(s)pour s∈Set
arêtes les p(˚ Ia)pour a∈A; les sommets et arêtes forment alors une partition de b G.
2. Montrer que b Gest séparé.
3. Montrer que pour tout a∈A, l’adhérence d’une arête dans b Gest égale à p(Ia)et
que celle-ci est homéomorphe soit à [0,1], soit à un cercle.
4. Montrer qu’une partie Ode b Gest ouverte si et seulement si son intersection avec
chaque p(Ia)est ouverte dans p(Ia).
5. Montrer que b Gest localement connexe par arcs.
6. Montrer que Gest connexe (au sens où deux sommets sont joints par un chemin
composé d’un nombre fini d’arêtes) si et seulement si b Gest connexe (comme espace
topologique).
7. Montrer qu’une partie compacte de b Gne peut rencontrer qu’un nombre fini de
sommets et d’arêtes. En déduire que b Gest compact si et seulement si Aet Ssont
des ensembles finis.
8. Montrer que s’il existe un sommet stel que f−1
+(s)∪f−1 −(s)est infini, alors celui-ci
n’admet pas de base dénombrable de voisinages et en déduire que b Gest métrisable.
9. L’espace correspondant à la figure suivante est-il homéomorphe à un graphe ?
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Figure 1 – Une boucle d’oreille hawaienne
Exercice 3.— Recollement d’applications continues
Soit f:X→Yune application entre espaces topologiques. On suppose que X=∪i∈IFi
où les Fisont fermés.
1. On suppose que Iest fini. Montrer que si, pour tout i,f|Fiest continue alors fest
continue.
2. Est-ce vrai si Iest infini ?
3. Montrer que cela reste vrai si la famille (Fi)i∈Iest localement finie, c’est-à-dire pour
tout x∈X, il existe un voisinage Vde xtel que {i∈I|V∩Fi6=∅} est fini.
Exercice 4.— Une courbe de Peano
Soit γ0: [0,1] →Cdéfinie par γ0(t) = t+it. On construit par récurrence une suite
γk: [0,1] →Cd’applications comme suit.
06t61
9, γk+1(t) = 1 3γk(9t)
1
96t62 9, γk+1(t) = 1 + i 3−i 3γk(9t−1)
2
96t63 9, γk+1(t) = 2 3+1 3γk(9t−2)
3
96t64 9, γk+1(t) = 3 + i 3+i 3γk(9t−3)
4
96t65 9, γk+1(t) = 2+2i 3−1 3γk(9t−4)
5
96t66 9, γk+1(t) = 1 + i 3+i 3γk(9t−5)
6
96t67 9, γk+1(t) = 2i 3+1 3γk(9t−6)
7
96t68 9, γk+1(t) = 1+3i 3−i 3γk(9t−7)
8
96t61, γk+1(t) = 2+2i 3+1 3γk(9t−8)
1. Dessiner l’image de γ1et γ2.
2. Montrer que γk∈ C0([0,1],[0,1]2).
3. Montrer que C0([0,1],[0,1]2)est un espace complet pour la distance uniforme.
4. Montrer que γkest une suite de Cauchy. On note γ∞sa limite.
5. Montrer que a+ib
3pavec a, b ∈N,a+bpair, appartient à l’image de γkpour tout
k>p.
6. Déduire de ce qui précède que γ∞est une courbe de Peano : γ∞: [0,1] →[0,1]2est
continue et surjective.
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7. Soit E={γ∈ C0([0,1],[0,1]2)|γ(0) = 0, γ(1) = 1 + i}. Trouver une application
F:E→Econtractante dont γ∞est le point fixe. En déduire que, dans la construc-
tion ci-dessus, on peut remplacer γ0par n’importe quel autre chemin de [0,1]2
joignant 0à1 + i.
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