2014/15 - Master 1 - M416 - Topologie —— TD3

2014/15 - Master 1 - M416 - Topologie
——
TD3 - Topologie quotient
Exercice 1.
Les sous-espaces GLn (R), On (R), SOn (R) de Mn (R) sont-ils compacts ?
Exercice 2. (Projection stéréographique)
Soit N = (0, . . . , 0, 1) le pole nord de la sphère S n = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 x21 + · · · + x2n+1 = 1}. La
projection stéréographique de pole N est l’application p : S n \{N} → Rn qui associe à tout x ∈ S n \{N}
l’unique point p(x) de Rn tel que les points N, x, et (p(x), 0) soient alignés dans Rn+1 .
a. Calculer p(x) pour tout x = (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ S n \{N}.
On fera un dessin illustrant la situation dans le cas n = 2.
b. Montrer que p est un homéomorphisme.
Exercice 3. (Quotient par identification)
Soient X un ensemble, A une partie non vide de X, et f : A → X une application telle que
∀ x ∈ A,
f (x) ∈ A ⇒ f 2(x) ∈ {x, f (x)}.
Pour x ∈ X, on définit la partie x de X par


{x}
si x < A ∪ f (A),



−1
{
f
(x)}
∪
f
({
f
(x)})
si x ∈ A,
x=


 {x} ∪ f −1 ({x})
si x ∈ f (A)\A.
Soit R la relation sur X définie par x R y si y ∈ x.
Montrer que R est une relation d’équivalence sur X telle que la classe d’équivalence de tout x ∈ X est x
et f (x) = x pour tout x ∈ A. L’ensemble quotient est X/R est noté X/ f .
[Indication : on pourra montrer que f (x) = x pour x ∈ A, puis que x R y si et seulement si x = y.]
Exercice 4. (Actions de groupes)
On rappelle qu’un groupe G qui agit sur un ensemble X définit sur X une relation d’équivalence,
l’ensemble quotient (i.e., l’ensemble des orbites de l’action) étant noté X/G. En particulier, lorsque
X est un espace topologique, on munit X/G de la topologie quotient.
B Lorsque G ⊂ X, on ne confondra pas l’espace X/G ainsi défini avec l’espace obtenu en identifiant G
à un point (également noté X/G).
a. Montrer que R/Q n’est pas séparé, où Q agit sur R par translation.
b. Montrer que R/Z S 1 = {z ∈ C | |z| = 1}, où Z agit sur R par translation.
Exercice 5. (Actions continues de groupes topologiques)
Soit G un groupe topologique (i.e., un groupe muni d’une topologie telle que la multiplication et la
fonction inverse soient continues) agissant continûment sur un espace topologique X.
a. Montrer que la surjection canonique p : X → X/G estouverte.
En déduire que X/G est séparé si et seulement si ∩g∈G (x, y) ∈ X × X | y , gx est un ouvert de X × X.
b. On suppose G fini. Montrer que la surjection canonique p : X → X/G est fermée.
En déduire que si X est compact, alors X/G l’est également.
Exercice 6.
Le cône d’un espace topologique X est l’espace quotient C(X) = X × [0, 1]/X × {0}.
Montrer que C(S n−1 ) Bn .
[Indication : on pourra utiliser l’application (x, t) ∈ S n−1 × [0, 1] 7→ tx ∈ Bn.]
Exercice 7. (Espaces projectifs)
Soient K un corps et n ≥ 1. L’espace projectif sur K dimension n est le quotient
KPn = Kn+1 \{0} /K∗
où K∗ agit par multiplication scalaire. La classe de (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Kn+1 \ {0} se note [x1 , . . . , xn+1 ].
Lorsque K = R ou C, on munit KPn de la topologie quotient.
a. Montrer que CPn et RPn sont séparés.
b. Montrer que
CPn S 2n+1 /S 1 ,
où S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} agit sur S 2n+1 = {(z1 , . . . , zn+1 ) ∈ Cn+1 |z1 |2 + · · · + |zn+1 |2 = 1} par
multiplication scalaire. En déduire que CPn est compact.
c. Montrer que CP1 S 2 . En déduire que S 3 /S 1 S 2.
d. Montrer que
RPn S n /Z
2,
n
n+1 2
où Z2 = {1, −1} agit sur S = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ R x1 + · · · + x2n+1 = 1} par multiplication scalaire.
En déduire que RPn est compact.
Exercice 8. (Carrés cocartésiens)
Un carré cocartésien d’espaces topologiques est un carré
f1
A
/
X
g1
f2
Y
/
g2
Z
où A, X, Y, Z sont des espcaces topologiques et f1 , f2 , g1 , g2 sont des applications continues, qui est
commutatif (g1 f1 = g2 f2 ) et tel que pour tout espace topologique W et toutes applications continues
h1 : X → W, h2 : Y → W vérifiant h1 f1 = h2 f2 , il existe une unique application continue φ : Z → W
telle que h1 = φg1 et h2 = φg2 .
a. Soient deux carrés cocartésiens
f1
A
/
A
X
et
g1
f2
/
g2
/
X
g′1
f2
Y
f1
Y
Z
/
g′2
Z′
Montrer qu’il existe un unique homéomorphisme ϕ : Z → Z ′ tel que g′1 = ϕg1 et g′2 = ϕg2 .
b. Soient X, Y des espaces topologiques, A est une partie de Y, et f : A → X est une application continue.
Notons X ∪ f Y le recollement de Y à X le long de f . Soient i : A → Y l’application d’inclusion,
j : X → X ∪ f Y et g : Y → X ∪ f Y les applications induites par les inclusions X → X ⊔ Y et
Y → X ⊔ Y. Montrer que le carré suivant est cocatésien :
f
A
/
X
j
i
Y
g
/
X ∪f Y
c. Utiliser les surjections canoniques p : S 2n−1 → CPn−1 et q : S n−1 → RPn−1 de l’exercice 7 pour
construire des carrés cocartésiens :
S 2n−1
_
p
/
CPn−1
S n−1
_
q
/
RPn−1
et
B2n
/
CPn
Bn
d. En déduire que CPn CPn−1 ∪ p B2n et RPn RPn−1 ∪q Bn.
/
RPn