2014/15 - Master 1 - M416 - Topologie —— TD3

2014/15 - Master 1 - M416 - Topologie
——
TD3 - Topologie quotient
Exercice 1.
Les sous-espaces GLn(R), On(R), SOn(R) de Mn(R) sont-ils compacts ?
Exercice 2. (Projection stéréographique)
Soit N=(0,...,0,1) le pole nord de la sphère Sn={(x1,...,xn+1)∈Rn+1
x2
1+···+x2 n+1=1}. La
projection stéréographique de pole N est l’application p:Sn\{N} → Rnqui associe à tout x∈Sn\{N}
l’unique point p(x) de Rntel que les points N,x, et (p(x),0) soient alignés dans Rn+1.
a. Calculer p(x) pour tout x=(x1,...,xn+1)∈Sn\{N}.
On fera un dessin illustrant la situation dans le cas n=2.
b. Montrer que pest un homéomorphisme.
Exercice 3. (Quotient par identification)
Soient Xun ensemble, Aune partie non vide de X, et f:A→Xune application telle que
∀x∈A,f(x)∈A⇒f2(x)∈ {x,f(x)}.
Pour x∈X, on définit la partie xde Xpar
x=
{x}si x<A∪f(A),
{f(x)} ∪ f−1({f(x)}) si x∈A,
{x} ∪ f−1({x}) si x∈f(A)\A.
Soit Rla relation sur Xdéfinie par xRysi y∈x.
Montrer que Rest une relation d’équivalence sur Xtelle que la classe d’équivalence de tout x∈Xest x
et f(x)=xpour tout x∈A. L’ensemble quotient est X/Rest noté X/f.
[Indication : on pourra montrer que f(x)=xpour x∈A, puis que xRysi et seulement si x=y.]
Exercice 4. (Actions de groupes)
On rappelle qu’un groupe Gqui agit sur un ensemble Xdéfinit sur Xune relation d’équivalence,
l’ensemble quotient (i.e., l’ensemble des orbites de l’action) étant noté X/G. En particulier, lorsque
Xest un espace topologique, on munit X/Gde la topologie quotient.
BLorsque G⊂X, on ne confondra pas l’espace X/Gainsi défini avec l’espace obtenu en identifiant G
à un point (également noté X/G).
a. Montrer que R/Qn’est pas séparé, où Qagit sur Rpar translation.
b. Montrer que R/ZS1={z∈C| |z|=1}, où Zagit sur Rpar translation.
Exercice 5. (Actions continues de groupes topologiques)
Soit Gun groupe topologique (i.e., un groupe muni d’une topologie telle que la multiplication et la
fonction inverse soient continues) agissant continûment sur un espace topologique X.
a. Montrer que la surjection canonique p:X→X/Gest ouverte.
En déduire que X/Gest séparé si et seulement si ∩g∈G(x,y)∈X×X|y,gxest un ouvert de X×X.
b. On suppose Gfini. Montrer que la surjection canonique p:X→X/Gest fermée.
En déduire que si Xest compact, alors X/Gl’est également.
Exercice 6.
Le cône d’un espace topologique Xest l’espace quotient C(X)=X×[0,1]/X× {0}.
Montrer que C(Sn−1)Bn.
[Indication : on pourra utiliser l’application (x,t)∈Sn−1×[0,1] 7→ tx ∈Bn.]

Exercice 7. (Espaces projectifs)
Soient Kun corps et n≥1. L’espace projectif sur Kdimension n est le quotient
KPn=Kn+1\{0}/K∗
où K∗agit par multiplication scalaire. La classe de (x1,...,xn+1)∈Kn+1\ {0}se note [x1,...,xn+1].
Lorsque K=Rou C, on munit KPnde la topologie quotient.
a. Montrer que CPnet RPnsont séparés.
b. Montrer que
CPnS2n+1/S1,
où S1={z∈C| |z|=1}agit sur S2n+1={(z1,...,zn+1)∈Cn+1
|z1|2+··· +|zn+1|2=1}par
multiplication scalaire. En déduire que CPnest compact.
c. Montrer que CP1S2. En déduire que S3/S1S2.
d. Montrer que
RPnSn/Z2,
où Z2={1,−1}agit sur Sn={(x1,...,xn+1)∈Rn+1
x2
1+···+x2 n+1=1}par multiplication scalaire.
En déduire que RPnest compact.
Exercice 8. (Carrés cocartésiens)
Un carré cocartésien d’espaces topologiques est un carré
A
f2
f1//X
g1
Yg2
//Z
où A,X,Y,Zsont des espcaces topologiques et f1,f2,g1,g2sont des applications continues, qui est
commutatif (g1f1=g2f2) et tel que pour tout espace topologique Wet toutes applications continues
h1:X→W,h2:Y→Wvérifiant h1f1=h2f2, il existe une unique application continue φ:Z→W
telle que h1=φg1et h2=φg2.
a. Soient deux carrés cocartésiens
A
f2
f1//X
g1
Yg2
//Z
et
A
f2
f1//X
g′
1
Yg′
2
//Z′
Montrer qu’il existe un unique homéomorphisme ϕ:Z→Z′tel que g′
1=ϕg1et g′ 2=ϕg2.
b. Soient X,Ydes espaces topologiques, Aest une partie de Y, et f:A→Xest une application continue.
Notons X∪fYle recollement de YàXle long de f. Soient i:A→Yl’application d’inclusion,
j:X→X∪fYet g:Y→X∪fYles applications induites par les inclusions X→X⊔Yet
Y→X⊔Y. Montrer que le carré suivant est cocatésien :
A
i
f//X
j
Yg//X∪fY
c. Utiliser les surjections canoniques p:S2n−1→CPn−1et q:Sn−1→RPn−1de l’exercice 7 pour
construire des carrés cocartésiens :
S2n−1
_
p//CPn−1
B2n//CPn
et Sn−1
_
q//RPn−1
Bn//RPn
d. En déduire que CPnCPn−1∪pB2net RPnRPn−1∪qBn.