2016/17 - Master 1 - M414 —— TD2

2016/17 - Master 1 - M414
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TD2 - Topologie quotient
Exercice 1.
Les groupes topologiques GLn(R), On(R), SOn(R) sont-ils compacts ? connexes ?
Même question pour GLn(C), Un(C), SUn(C).
Exercice 2. (Projection stéréographique)
Soit N=(0,...,0,1) le pôle nord de la sphère Sn={(x1,...,xn+1)∈Rn+1
x2
1+···+x2 n+1=1}.
La projection stéréographique de pôle N est l’application
p:Sn\{N} → Rn
qui associe à tout x∈Sn\{N}l’unique point p(x) de Rntel que les points N,x, et (p(x),0) soient alignés
dans Rn+1.
a. Calculer p(x) pour tout x=(x1,...,xn+1)∈Sn\{N}.
On fera un dessin illustrant la situation dans le cas n=2.
b. Montrer que pest un homéomorphisme.
Exercice 3. (Cônes d’espaces topologiques)
Le cône d’un espace topologique Xest l’espace quotient C(X)=X×[0,1]/X× {0}.
Montrer que C(Sn−1)Bn.
[Indication : on pourra utiliser l’application (x,t)∈Sn−1×[0,1] 7→ tx ∈Bn.]
Exercice 4.
Montrer que la sphère S3est obtenue en recollant les tores pleins S1×B2et B2×S1le long de leur bord
commun S1×S1.
[Indication : montrer que A={(x,y,z,t)∈S3
x2+y2≥1/2}et B={(x,y,z,t)∈S3
x2+y2≤1/2}
sont homéomorphes à des tores pleins.]
Exercice 5. (Espaces projectifs)
Soient Kun corps et n≥1. L’espace projectif sur Kdimension n est le quotient
KPn=Kn+1\{0}/K∗
où K∗agit par multiplication scalaire. La classe de (x1,...,xn+1)∈Kn+1\ {0}se note [x1,...,xn+1].
Lorsque K=Rou C, on munit KPnde la topologie quotient.
a. Montrer que
RPnSn/Z2Bn/R,
où Z2={1,−1}agit sur Sn={(x1,...,xn+1)∈Rn+1
x2
1+···+x2 n+1=1}par multiplication scalaire et
Rest la relation d’équivalence sur Bn={(x1,...,xn)∈Rn
x2
1+···+x2
n≤1}définie par yRxsi y=x
ou (x∈Sn−1et y=−x).
b. Montrer que
CPnS2n+1/S1B2n/R,
où S1={z∈C| |z|=1}agit sur S2n+1={(z1,...,zn+1)∈Cn+1
|z1|2+···+|zn+1|2=1}par multipli-
cation scalaire et Rest la relation d’équivalence sur B2n={(z1,...,zn)∈Cn
|z1|2+···+|zn|2≤1}
définie par yRxsi y=xou (x∈S2n−1et il existe λ∈S1tel que y=λx).
c. Montrer que CPnet RPnsont compacts.
d. Montrer que CP1S2. En déduire que S3/S1S2.

Exercice 6. (Propriété universelle du recollement)
Soient X,Ydes espaces topologiques, Aune partie de Yet f:A→Xune application continue. On
rappelle que le recollement de Y à X le long de f est l’espace topologique quotient
X∪fY=(X∐Y)/R
où Rest la relation d’équivalence sur X∐Yengendrée par f(a)Rapour a∈A.
Un carré
Aj//
f
Y
β
Xα
//Z
où Zest un espace topologique, α, β sont des applications continues et j:A֒→Yest l’inclusion,
est dit cocartésien s’il est commutatif (c’est-à-dire, αf=βj) et si pour toutes applications continues
h:X→Wet l:Y→W, où West une espace topologique, vérifiant hf =lj, il existe une unique
application continue ψ:Z→Wtelle que h=ψα et l=ψβ.
a. Notons par γ(respectivement, δ) la composition de l’inclusion canonique X֒→X∐Y(respective-
ment, Y֒→X∐Y) avec la projection canonique X∐Y։X∪fY. Montrer que le carré
Aj//
f
Y
δ
Xγ
//X∪fY
est cocartésien.
b. Montrer que si
Aj//
f
Y
β
Xα
//Z
est un carré cocartésien, alors ZX∪fY.
Exercice 7. (Décomposition celllulaire des espaces projectifs)
a. Utiliser les projections canoniques pn−1:Sn−1→RPn−1et qn−1:S2n−1→CPn−1de l’exercice 5 et les
inclusions Sn−1֒→Bnpour construire des carrés cocartésiens :
Sn−1//
pn−1
Bn
RPn−1//RPn
et
S2n−1//
qn−1
B2n
CPn−1//CPn
b. En déduire que RPnRPn−1∪pn−1Bnet CPnCPn−1∪qn−1B2n.
c. Déterminer une décomposition cellulaire de RPnet CPn.
Exercice 8.
Montrer que R/Qn’est pas séparé, où Qagit sur Rpar translation.
Exercice 9.
Montrer qu’un sous-groupe Γde Rnest discret si et seulement s’il existe des vecteurs v1,...,vm∈Rn
linéairement indépendants tels que Γ = Zv1+···+Zvm.
Exercice 10.
Soient Gun groupe topologique séparé et Hun sous-groupe de G.
Montrer que l’espace des orbites G/H={gH |g∈G}est séparé si et seulement si Hest fermé.

Exercice 11.
Soient Gun groupe topologique et Hun sous-groupe distingué de G.
Montrer que le groupe G/H, muni de la topologie quotient, est un groupe topologique.
Exercice 12. (Exponentielle d’espaces topologiques)
Etant donnés des espaces topologiques Xet Y, on note par C(X,Y) l’ensemble des applications contin-
ues de Xvers Y, et par YXl’espace topologique d’ensemble sous-jacent C(X,Y) et muni de la topologie
dite compacte-ouverte, c’est-à-dire engendrée par les ensembles
W(K,U)={f∈ C(X,Y)
f(K)⊂U}
où Kest un compact de Xet Uun ouvert de Y.
Soient X,Y,Zdes espaces topologiques. On considère l’application
Φ:C(Z×X,Y)→ C(Z,YX)
définie par Φ(f)(z)=fz∈YXpour tous f∈ C(Z×X,Y) et z∈Z, où fz(x)=f(z,x) pour tout x∈X.
a. Montrer que l’application Φest bien définie et injective.
b. Montrer que si Xest localement compact (i.e., Xest séparé et tout point de Xadmet un voisinage
compact) alors l’application Φest bijective.
[Indication : montrer que dans un espace topologique localement compact, tout voisinage d’un point
contient un voisinage compact du point.]
Exercice 13. (Actions de groupes topologiques)
Soient Gun groupe topologique et Xun espace topologique. Soit Homeo(X) l’ensemble des homéo-
morphismes de Xvers Xmuni de la topologie compacte-ouverte (voir l’exercice précédent).
a. Montrer que toute action continue de Gsur Xinduit un morphisme de groupes continu de Gvers
Homeo(X).
b. Montrer que si Xest localement compact, alors tout morphisme de groupes continu ϕ:G→Homeo(X)
définit une unique action continue de Gsur Xtelle que ϕsoit le morphisme de groupes induit.