PROBA INFINI

1
Probabilité sur Ω infini
Modèle de Kolmogorov
I ) Modèle de Kolmogorov :
Utilité : Lorsque Ω est infini , il n'est plus possible de définir comme ensemble des événements : (Ω)
la règle
( )
∑
∈
∈
=
Ii i
Ii i
APAP
U
,si les A
i
sont disjoints , obligerait toutes les probabilités des événements
à être nulles ( Il y aurait trop d' événements ) . Il faut donc choisir ,comme ensemble des événements , un
sous ensemble de (Ω) ,mais ce sous ensemble doit vérifier certaines règles pour que la théorie soit
cohérente .
______________________________________
Définition 1 : Soit Ω un univers .
Tout sous ensemble T de (Ω) tel que :
_ Ω ∈ 
_ E ∈  ⇒
E
∈ 
_ ∀ ( E
1
, E
2 ,
......... , E
n
) ∈ 
n
,
U
n
1i i
E
=
∈ 
_ ∀ I ⊂  ,∀ (E
i
)
i ∈ I
d'éléments de T ,
U
Ii i
E
∈
∈ T
est appelé une tribu de Ω .
______________________________________
Remarque : l'union fini des algèbres est devenue une union dénombrable (infinie ⊂  )
______________________________________
Définition 2 : Tout univers Ω ,muni d'une tribu T est appelé espace probabilisable , notée ( Ω , T ) .
_____________________________________
Théorème 1 : Soit T une tribu .
_  ∈  .
_ ∀(E,F) ∈  , E∪F , E ∩F , E\F sont des éléments de 
_ ∀ ( E
1
, E
2 ,
......... , E
n
) ∈ 
n
,
I
n
1i i
E
=
∈ 
∀ I ⊂  , ∀ (E
i
)
i∈I
d'éléments de T ,
I
Ii i
E
∈
∈ T
______________________________________
Exemple et Th 1:
_ { , Ω } est une tribu appelé tribu triviale de Ω
_ ( Ω ) est une tribu appelé tribu grossière de Ω
_ ∀ A ∈ ( Ω ) ,{ ,A ,
A
, Ω } est une tribu de Ω
______________________________________
Démonstration : à faire

2
______________________________________
Définition 4 : Soit I ⊂ 
(A
i
)
i∈I
est un système complet d'évènements de ( Ω , T )
c
Ω=
∅=∩≠∀ ∈∈∀
∈
U
Ii
i
ji
i
A
AAji
AIi T
______________________________________
II ) Probabilité sur ( W , T ) :
Définition 1 : Soit ( Ω , T ) un espace probabilisable .
On appelle probabilité sur ( Ω , T ) toute application P : T → lR
+
.
vérifiant a ) P ( Ω ) = 1
b ) ∀ (A
i
)
i∈
’
1,n
÷
d'éléments de T , tels que ∀ i ≠ j , A
i
∩A
j
=  :
∑
=
=
=
n
1i i
n
1i i
)A(PAP
U
c ) ∀ (A
i
)
i∈lN
d'éléments de T , tels que ∀ i ≠ j , A
i
∩A
j
=  :
∑
+∞
=
+∞
=
=
0i i
0i i
)A(PAP
U
______________________________________
Définition 2 : Tout univers Ω ,muni d'une tribu T et d'une probabilité P est appelé espace probabilisé ,
notée ( Ω , T , P ) .
______________________________________
Remarque : R1 :
∑
+∞
=0i i
)A(P est la somme d'une série convergente .
Démonstration: S
n
=
∑
=
n
0i i
)A(P =
=
U
n
1i i
AP est une suite croissante majoré car 1)(PAP
n
1i i
=Ω≤
=
U
_____________________________________
R2 : Toutes les propriétés ,théorèmes et définitions des probabilités finis restent valide
_____________________________________
Théorème 1 : Propriétés de continuité croissante et décroissante
Soit ( Ω , T , P ) un espace probabilisé , (A
n
)
n∈lN
une suite d'évènements (∈T ) .
1 . Si (A
n
)
n∈lN
est croissante c'est à dire ∀n∈lN A
n
⊂ A
n+1
alors la suite (P(A
n
))
n∈lN
converge
et =
∈
+∞→
U
lNn nn
n
AP)A(Plim
2 . Si (A
n
)
n∈lN
est décroissante c'est à dire ∀n∈lN A
n+1
⊂ A
n
alors la suite (P(A
n
))
n∈lN
converge
et =
∈
+∞→
I
lNn nn
n
AP)A(Plim
_____________________________________

3
Démonstration : 1. Soit (A
n
)
n∈lN
est croissante ,soit (B
n
)
n∈lN
définie par B
0
= A
0
et ∀n1 B
n
= A
n
\A
n-1
.
A
n
=
U
n
0i i
B
=
,et les B
i
sont disjoints deux à deux donc P(A
n
) =
∑
=
n
0i i
)B(P
donc = ==
∈∈
+∞
=
+∞→
∑UU
lNn n lNn n
0i in
n
APBP)B(P)A(Plim
2. Soit (A
n
)
n∈lN
est décroissante alors (
A
n
)
n∈lN
est croissante
donc = = −=−=
∈∈∈
+∞→+∞→
IUU
lNn n lNn
n
lNn
nn
n
n
n
APAPAP1)A(Plim1)A(Plim
_____________________________________
Corollaire : Soit ( Ω , T , P ) un espace probabilisé , (A
n
)
n∈lN
une suite d'évènements
=
∈=
+∞→
UU
lNn n
n
1i i
n
APAPlim
=
∈=
+∞→
II
lNn n
n
1i i
n
APAPlim
______________________________________
Définition 3 : Tout évènement E d'un espace probabilisé ( Ω , T , P ) tel que P(E) = 0 et E ≠  est dit
négligeable ou presque impossible ou quasi impossible.
Tout évènement de probabilité 1 et différent de Ω est dit presque certain ou quasi certain.
Toute propriété vérifiée sur un ensemble de probabilité 1 est dite presque sûrement vraie.
______________________________________
Exercice :
On effectue une suite de lancers à pile ou face avec une pièce équilibrée. Le jeu s’arrête lorsque on obtient pile.
1. ∀ n ∈ lN*. Calculez la probabilité p
n
qu’au cours des n premiers lancers, on n’ait obtenu que des "face".
2. Montrez que la probabilité que le jeu s’arrête après un nombre fini de lancers vaut 1 .
_____________________________________
Théorème 2 : Formule des probabilités totales 2.
Soit ( Ω , T , P ) un espace probabilisé , (A
n
)
n∈lN
un système complet d'évènements . tels que ∀n∈lN P(A
n
) ≠ 0
Alors ∀ B ∈ T , P( B ) =
∑
+∞
= 0n n
n
A
B
P)A(P = ( )
∑
+∞
=0n An
BP)A(P
n
_____________________________________
Remarque: R1: L' ancienne formule reste valide
R2:
∑
+∞
= 0n n
n
A
B
P)A(P est la somme d'une série convergente .
Démonstration: S
N
=
∑
=
N
0n n
n
A
B
P)A(P =
∑
=
∩
N
0n n
)BA(P =
( )
∩
=
U
N
0n n
BAP est une suite croissante
majoré car
( )
1)(PBAP
N
0n i
=Ω≤
∩
=
U

4
R3: La notion de système complet d'événements peut être remplacée par la notion de système
quasi complet d'événements :
(A
i
)
i∈I
est un système quasi complet d'évènements de ( Ω , T )
c
=
∅=∩≠∀ ∈∈∀
∑
∈
1)A(P
AAji
AIi
Ii
i
ji
i
T
_____________________________________
Exercice : Dans une urne on place 9 boules blanches et 1 noire .
On tire dans cette urne des boules une à une ,avec remise de la boule tirée ,jusqu'à obtenir la boule
noire pour la première fois ,soit p le nombre de fois nécessaire ,on jette alors p pièces .
Quelle est la probabilité d'obtenir 2 piles .
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III ) Indépendance :
Soit ( Ω , T , P ) un espace probabilisé
Définition 1 : Soient ( A , B ) ∈ T ²
A et B sont indépendants ⇔ P( A ∩ B ) = P (A ) P ( B )
_____________________________________
Définition 2 : Soient ( A
1
, A
2
, ... , A
n
) ∈ T
n
Les A
i
sont deux à deux indépendants ⇔ ∀ i ≠ j P( A
i
∩ A
j
) = P (A
i
) P ( A
j
)
_____________________________________
Remarque: Dans ce cas là A
1
∩ A
2
n'est peut être pas indépendant de A
3
, P( A
1
∩ A
2
∩ A
3
) n'est donc pas
calculable.
_____________________________________
Définition 3 : Soient ( A
1
, A
2
, ... , A
n
) ∈ T
n
Les A
i
sont mutuellement indépendants ⇔ ∀ I ⊂ ’1 , n ÷
∏
∈
∈
=
Ii i
Ii i
)A(PAP
I
_____________________________________
Remarque: Cette définition ,bien que compliqué , correspond à la notion intuitive d'indépendance pour plusieurs
évènements.
_____________________________________
IV ) Variables aléatoires :
Définition 1 : On appelle variable aléatoire réelle sur ( Ω , T , P ) toute application X : Ω → lR
telle que ∀x∈lR , X
-1
( ] - , x ] ) ∈ T
_____________________________________

5
Théorème 1 : Soit X une variable aléatoire réelle sur ( Ω , T , P ) alors ∀(a,b) ∈ lR²
X
-1
( [a,b] ), X
-1
(]a,b[), X
-1
( [a,b[), X
-1
(]a,b] ), X
-1
( [a,+[ ), X
-1
( {b}) sont tous des éléments de T
_____________________________________
Démonstration : exercice
a ) Démontrez que ∀ (A,B) ⊂ lR X
-1
( A∪B ) = X
-1
( A)∪ X
-1
( B ) ; X
-1
( A∩B ) = X
-1
( A)∩ X
-1
( B )
X
-1
(
A
) = A) ( X
1-
; X
-1
( A\B ) = X
-1
( A)\ X
-1
( B )
b ) Démontrez que ∀(A
i
)
i ∈ I
⊂ lR
( )
II
Ii i
1
Ii i
1
AXAX
∈
−
∈
−
= et
( )
UU
Ii i
1
Ii i
1
AXAX
∈
−
∈
−
=
c ) Démontrez que X
-1
(]a,b] ) ∈ T .
d ) Démontrez que X
-1
( {b}) ∈ T .
e ) Démontrez le Th .
_____________________________________
Théorème 2 : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles sur ( Ω , T , P ) , λ∈lR , f continue sur lR
X + Y , λX , XY , f ( X ) , max ( X , Y ) , min ( X , Y ) sont des variables aléatoires réelles .
____________________________________
Remarque: max(X,Y) est la var tel que ∀ω∈Ω max ( X , Y )(ω) = max ( X(ω) , Y(ω))
attention max(X,Y) n'est ni égale à X ni à Y
X(ω)1 5 2 8 7 -2 5 6 3
Y(ω)-1 5 3 6 6 6 8 1 3
max ( X , Y )(ω)1 53876 863
Variables aléatoires discrètes
I ) Définitions : Soit ( Ω , T , P ) un espace probabilisé.
Définition 1 : Une variable aléatoire X est discrète ⇔ X( Ω ) est dénombrable ou fini .
________________________________
Théorème 2 : Soit X une variable aléatoire discrète alors
X( Ω ) = { x
1
, x
2
, .........,x
n
} = { x
i
tel que i∈’1,n÷ }
ou X( Ω ) = { x
1
, x
2
, .........,x
n
, ...... } = { x
i
tel que i∈lN* }
Par convention on considérera que i<j ⇒ x
i
< x
j
.
_______________________________
Remarque : Soit X une variable aléatoire discrète alors X
-1
( {x
i
}) ∈ T .
_______________________________
Définition 3 : La loi d'une variable aléatoire discrète X est
a ) X (Ω )
b ) ∀x
i
∈ X ( Ω ) P( X = x
i
) = P( X
-1
( {x
i
})
________________________________