Effet Faraday et isolateur optique

Préparation Effet Faraday & isolateur optique
→
−
−
→
On s'intéresse à la propagation d'une onde électrique de la forme E (z)eiωt = E0 e−ikz eiωt dans un milieu
→z . On considère que le milieu
diélectrique en présence d'un champ magnétique extérieur statique Bstat −
u
est dôté de n électrons par unité de volume.
1. On considérera chaque électron comme élastiquement lié à un noyau, avec une pulsation caratéristique ω0 . Donnez l'équation vériée par l'ampltiude du déplacement des électrons par rapport à
leurs positions d'équilibre en régime forcé.
→
−
2. En déduire une relation entre l'amplitude du vecteur densité de polarisation P (z) et celles des
champ électrique et du champ magnétique statique. Exprimez cette relation sous forme d'une
→
−
→
−
égalité matricielle entre les composantes de P (z) et celle de E (z) :

 χ0
Px (z)
1−u2
 Py (z)  = 0  i χ0 u2
1−u
Pz (z)
0

On posera ωp2 =
ne2
m0
, χ0 =
ωp2
ω02 −ω 2
, ωc =
eB0
m
χ0 u
−i 1−u
2


0
Ex (z)
0   Ey (z) .
Ez (z)
χ0
χ0
1−u2
et u =
0
ωωc
ω02 −ω 2
.
3. On admet que le champ dans un tel milieu est transverse et que la relation de propagation du
champ est donnée par
χ0
1 + 1−u
2
→
−
χ0 u

i 1−u2
∆ E (z, t) −
0

Suite
χ0 u
−i 1−u
2
χ0
1 + 1−u
2
0

0
−
 12 ∂2 →
0
c ∂t E (z, t) = 0.
1 + χ0
Déterminez la relation de dispersion reliant k à ω .
Isolateur Optique
• La relation précédente
montre qu'une onde polarisée
q
q circulaire droite (resp circulaire gauche) subit
χ0
χ0 u
χ0
χ0 u
un indice n− = 1 + 1−u2 − 1−u2 (resp n+ = 1 + 1−u
2 + 1−u2 ). Comment évolue une onde
initialement polarisée dans la direction −
u→
x après avoir parcouru une distance L dans le milieu ?
• Montrez qu'une onde contrapropageante subit le même eet qu'une onde propageante.
• On considère le montage ci contre, avec un
− ωL
= π4 et deux pomilieu tel que n+ −n
2
c
lariseurs. Montrez qu'une onde se propageant
vers les z croissants peut traverser le dipositif alors qu'une onde se propageant vers les z
décroissants est arrêtée.
Evaluation
Connaissance du cours (/10)
Modèle de l'électron élastiquement lié, régime forcé
Susceptibilité diélectrique
Relation de dispersion
Polarisation de la lumière
Calcul (erreurs, rapidité, homogénéïté, vérications) (/4)
Sens physique (contextualisation, analyse) (/4)
Comportement (/2)
• Prise en compte des indications
• Adaptation au contexte de l'exercice
• Mojo
•
•
•
•
1
Daniel Suchet - 2012
Correction
1. Le principe fondamental de la dynamique donne, en supposant le noyau au repos dans un référentiel
−
−
→
e →
→
−
−
−
E (z) − i eω
galiléen (approx de Born Oppenheimer) : −ω 2 →
r (z) = −ω02 →
r (z) − m
m r (z) ∧ B0
→
−
→
−
→
−
−
→
−
2. P (z)dτ = ndτ (−e)→
r (z) donc ω02 − ω 2 P (z) + i eω
m P (z) ∧ B0 =
−
ne2 →
m E (z)
ie
ω02 − ω 2 Px (z) + iωc ωPy (z) = 0 ωp2 Ex (z)
ω02 − ω 2 Py (z) − iωc ωPx (z) = 0 ωp2 Ey (z)
ω02 − ω 2 Pz (z) = 0 ωp2 Ez (z)
On
équations par un système de Cramers :
inverse les deux premières
ω02 − ω 2
−iωc ω
2
iωc ω = ω02 − ω 2 − ω 2 ωc2 donc
ω02 − ω 2 0 ωp2 Ex (z)
iωc ω 0 ωp2 Ey (z) ω02 − ω 2 Px (z) =
2
(ω02 − ω 2 ) − ω 2 ωc2
ωp2 ω02 − ω 2
ωc ωωp2
= 0
E
(z)
−
i
Ey (z)
x
0
2
2
(ω02 − ω 2 ) − ωωc
(ω02 − ω 2 ) − ω 2 ωc2
et
Py (z)
=
0 ωp2 Ex (z) 0 ωp2 Ey (z) ω02 − ω 2
−iωc ω
2
(ω02 − ω 2 ) − ω 2 ωc2
= i0
ω 2 ω 2 −ω 2
ωc ωωp2
2
(ω02 − ω 2 ) − ω 2 ωc2
ω 2 −ω 2
2
(
)
)
p( 0
Avec ω2 −ω
= χ0 2 02 2 2 2 =
2
( 0 2 ) −ω2 ωc2
(ω0 −ω ) −ω ωc
trouve la matrice demandée.
 3. La relation de propagation donne 
Ex (z) + i0
1+
χ0
1−u2
et
→
−
E0 jωt
2 e
2
(ω02 − ω 2 ) − ωωc
ωc ωωp2
2
2
ω0 −ω 2 −ω 2 ωc2
(
)
= χ0
Ey (z)
ωc ω (ω02 −ω 2 )
2
(ω02 −ω2 )
−ω 2 ωc2
=
χ0 u
1−u2
, on

χ0 u 2
−i 1−u
ω
2
 E0,x
=
χ0
E0,y
1 + 1−u
ω 2 − c2 k 2
2
χ0 u 2
χ0
ω 2 − c2 k 2
−i 1−u
1 + 1−u
2
2ω
=
χ0 u 2
χ0
2
2 2 i 1−u2 ω
1 + 1−u2 ω − c k χ0
2
2 2
1−u2 ω − c k
χ0 u 2
i 1−u
2ω
0. Il ne peut exister une solution non triviale que si 2 2
2
χ0
χ0 u
− ωk2 c2 = 1−u
0 ie
1 + 1−u
2
2
−
→ −
→
4. Avec −
u→
± = ux ±j uy , on a E (0, t) =
ωp2 ω02 − ω 2
→
−
−
→
(−
u→
+ + u− ) donc E (L, t) =
E0 jωt
2 e
2π
2π
−j λ
n− L −
0
e−j λ0 n+ L −
u→
u→
++e
− =

− ωL
cos n+ −n
2
c
 sin n− −n+ ωL 
2
c
0

E0 e−j
n+ +n− ωL
2
c
−
→
0
−
→
5. Pour traiter une onde contrapropageante, on change le repère en tournant autour de −
u→
x : uz = −uz
−
→0
−
→
−
−
−
→
0
ωω
0
→y . Dans ce nouveau repère, Bstat = −Bstat u donc u = 2 c = −u ce qui revient à
et uy = −u−
z
ω −ω 2
−
→ −
→
0
échanger les n+ et n− . La rotation de θ0 dans le plan u0x , u0y correspond donc à une rotation de θ
−
→
dans le plan −
u→
x , uy .
6. Une onde vers le z croissants est polarsiée suivant −
u→
x . Le passage au travers du milieu la fait
θ
tourner de − 4 et elle traverse donc le deuxième polariseur sans modication. A l'inverse, elle est
→y et est stoppée par le second polariseur
d'abord polarisée dans la direction oblique, tourne jusqu'à −
u
lorsqu'elle parcourt le dispositif dans l'autre sens.
2
Daniel Suchet - 2012