8. Ondes sonores dans un tuyau d`orgue * (a) A l

8. Ondes sonores dans un tuyau d’orgue *
(a) A l’extr´emit´e ouverte du tuyau, les variations de pression de la tranche d’air sont nulles (puisque
la pression totale dans le tuyau `a cette extr´emit´e est ´egale `a la pression `a l’ext´erieur du tuyau,
c’est-`a-dire `a la pression atmosph´erique), et donc le d´eplacement u(x, t) y est maximum : l’onde
stationnaire pr´esente donc un ventre de vibration pour l’onde de d´eplacement (et un noeud de
vibration pour l’onde de pression).
A l’extr´emit´e ferm´ee du tuyau, les particules d’air ne peuvent pas vibrer, `a cause de cet obstacle :
l’onde stationnaire pr´esente donc un noeud de vibration pour l’onde de d´eplacement (et un ventre
de vibration pour l’onde de pression).
(b) Pour la note fondamentale (premier harmonique) : la longueur L du tuyau correspond `a la
distance la plus courte s´eparant un noeud (extr´emit´e ferm´ee) d’un ventre (extr´emit´e ouverte) de
vibration, soit : L=λ
4. C’est la note de plus basse fr´equence que peut ´emettre le tuyau.
(c) A.N.: L=λ
4=c
4f∼0.19 m.
(d) Pour le deuxi`eme harmonique, la longueur du tuyau correspond `a la deuxi`eme distance la plus
courte s´eparant un noeud d’un ventre de vibration, soit : L=3λ0
4=3c
4f0. Donc, en comparant
avec l’expression pr´ec´edente : f0= 3f= 1320 Hz (mi de l’octave au-dessus)
9. Ondes dans une barre m´etallique *
Barre m´etallique : section S, axe Ox, masse volumique ρ, module d’Youg E
l−l0
l0
=1
E
F
S(1)
)
&
•l−l0
l0: allongement (dilatation ou compression) relatif de la barre
•F
S: contrainte (dimension d’une pression) : traction ou compression
•1
E: coefficient de proportionalit´e entre la d´eformation et la contrainte
Cette relation n’est valable que dans la limite d’´elasticit´e de la barre : elle ne concerne que de faibles
d´eformations.
(a) Equation de propagation des ondes longitudinales s(x, t) ?
On consid`ere une tranche “locale” mince, d’´epaisseur au repos dx, comprise entre xet x+dx.
Sous l’action de la force de traction F, on aura deux ph´enom`enes (voir figure ci-dessous) :
i- d´eplacement de la tranche d’une quantit´e s
ii- compression ou dilatation de la tranche d’une quantit´e ds
Le d´eplacement sd´epend de xet t.
•Pour d´ecrire la compression ou dilatation de la tranche (ii), on applique la relation (1) `a cette
tranche (l0↔dx,l−l0↔ds):
ds
dxt
=1
E
F
S
8

X
F(x) F(x+dx)
x+dxx
x+dx+s+ds
x+s
soit encore, puisque s(x, t) :
∂s
∂x =1 E
F(x, t)
S(2)
Remarque : cette expression est du 1er ordre, c’est-`a-dire qu’on ne tient pas compte de la
diff´erence entre F(x, t) et F(x+dx, t).
•Le d´eplacement global de la tranche [x, x +dx] (i) r´esulte quant `a lui de la force r´esultante
appliqu´ee `a la tranche, c’est-`a-dire qu’il correspond `a la diff´erence des pressions F/S exerc´ees
sur les faces xet x+dx de la tranche. La relation fondamentale de la dynamique s’´ecrit :
F(x+dx)−F(x) = dF =dm γ
avec la masse ´el´ementaire dm =ρS dx, l’acc´el´eration γ=∂2s
∂t2et l’´ecart entre les forces
exerc´ees sur chaque face : dF =∂F
∂x dx
⇒∂F
∂x dx =ρS dx ∂2s ∂t2
⇒∂F
∂x =ρS ∂2s ∂t2(3)
cete ´equation
•Equation aux d´eriv´ees partielles pour s(x, t) :
On combine les ´equations (2) et (3).
(2) ⇒F(x, t) = ES ∂s
∂x
⇒∂F
∂x =ES ∂2s ∂x2(4)
En reportant (4) dans (3), on obtient :
ES ∂2s
∂x2=ρS ∂2s ∂t2
soit
∂2s
∂x2−ρ E
∂2s
∂t2= 0 (5)
•Vitesse de propagation :
ρ= 8.103kg.m−3,E= 2.1011 N.m−2.
L’´equation (5) est `a rapprocher de l’´equation g´en´erale de propagation des ondes :
∂2Y
∂x2−1 c2
∂2Y
∂t2= 0
On en d´eduit l’expression de la vitesse de propagation de l’onde de surpression dans la barre :
1
c2=ρ E⇒c=sE ρ(6)
A.N.: c=r2.1011
8.103=104
2= 5.103m.s−1.
9

(b) Plaque d’acier : M= 10 kg, d´eplacement skOx
Force appliqu´ee : ˜ F=F0eiωt
i. Mouvement de la plaque : amplitude a0= 1 µm, pulsation ω= 103rad.s−1⇒F0=?
On applique la relation fondamentale de la dynamique `a la plaque (voir figure (i) ci-dessous) :
M∂2s
∂t2=F
En notation complexe, ss’´ecrit :
s(t) = s0ei(ωt +φ)⇒ −Mω2s0eiφ =F0
⇒φ=πet F0=Mω2s0
A.N.: F0= 10 ×106×10−6= 10 N.
)
&
0
x
L
s
0
)
&
(i) (ii)
M
M
ii. Imp´edance m´ecanique complexe Zpde la plaque :
Zp=F
vavec (F=F0eiωt
v=∂s
∂t =∂ ∂t s0ei(ωt+π)=∂ ∂t −s0eiωt=−iωs0eiωt (7)
⇒Zp=iF0
ωs0
A.N.: |Zp|=10
10310−6= 104kg.s−1
(c) Plaque soud´ee `a la barre en x=L
Mouvement de la barre en x=L: le mˆeme que celui de la plaque
Force ˜ Fen x= 0
Dans la barre : ˜s(x, t) = A ei(ωt−kx)+B ei(ωt+kx)avec A=a eiφ1,B=b eiφ2,a, b > 0
i. On fixe L=λ. Conditions aux limites :
•En x= 0 :
(2) s’´ecrit : ∂s
∂x x=0
=1
E
F(0, t)
S
−ikA eiωt +ikB eiωt =1
ES F0eiωt
ikES(B−A) = F0(8)
•En x=L:
(2) s’´ecrit : ∂s
∂x x=L
=1
E
F(L, t)
S
De plus, on a : M∂2s
∂t2x=L
=F(L, t)
10

⇒ − ikAe−ikL +ikBeikL =M
ES −Aω2e−ikL −Bω2eikL
or L=λ⇒eikL =e2iπ = 1 et e−ikL =e−2iπ = 1
d’o`u ikES(B−A) = −M ω2(B+A) (9)
•R´esolution du syst`eme d’´equations (8) et (9) :
(8) se r´e´ecrit : B−A=−iF0
kES
En injectant (8) dans (9) : B+A=−F0
Mω2
⇒
B=−F0
21
Mω2+i1
kES 
A=−F0
21
Mω2−i1
kES 
avec k=ω
c=ωrρ Esoit kE =ωpρE
⇒
B=−F0
2ω1
Mω +i1
SpρE =b eiφ2
A=−F0
2ω1
Mω −i1
SpρE =a eiφ1
⇒
a=b=F0
2ωr1
(Mω)2+1 ρES2
et
φ1=−φ2=−arctan Mω
SpρE 
ii. Coefficient de r´eflexion :
a=b⇒R=b
a2
= 1
L’onde se propageant dans la barre est compl`etement r´efl´echie conte la plaque en x=
L, r´esultat auquel on s’attendait puisque la plaque est ind´eformable (l’onde ne peut pas
s’y propager si bien que l’onde transmise est nulle, autrement dit, l’onde est enti`erement
r´efl´echie).
iii. Expression r´eelle de ˜s(x, t) :
˜s(x, t) = a eiφ1ei(ωt−kx)+b eiφ2ei(ωt+kx)
=a eiφ1ei(ωt−kx)+a e−iφ1ei(ωt+kx)
=a eiωt hei(φ1−kx)+e−i(φ1−kx)i
=a eiωt ×2 cos(φ1−kx)
⇒s(x, t) = Re[˜s(x, t)] = 2acos(φ1−kx) cos(ωt) (10)
On retrouve bien une fonction d’onde stationnaire (produit d’une fonction sinuso¨ıdale de x
par une fonction sinuso¨ıdale de t).
11

10. Intensit´e acoustique *
(a) La puissance totale d’une onde se conserve, donc si la surface d’onde augmente au fur et `a mesure
qu’on s’´eloigne de la source, la puissance par unit´e de surface va diminuer.
Soit une onde cylindrique de puissance totale P0. La puissance de cette onde par unit´e de surface,
`a une distance ret pour un cylindre de hauteur L(voir figure (a) ci-dessous), s’exprime :
dP (r)
dS =P0 2πrL
La puissance est proportionnelle `a l’amplitude de l’onde au carr´e et `a son intensit´e. On a donc :
- pour l’amplitude de l’onde : P∝a2⇒a(r) = a0
√r
- pour l’intensit´e de l’onde : P∝I⇒I(r) = I0
r
Rappel : pour une onde cylindrique (voir figure (b) ci-dessous), on a vu en cours que :
dP (r)
dS =P0 4πr2
Donc :
- pour l’amplitude de l’onde : P∝a2⇒a(r) = a0
r
- pour l’intensit´e de l’onde : P∝I⇒I(r) = I0
r2
r
LR
(a) (b)
(b) Haut parleur : R= 3 cm, u0= 0.1 mm, ρ0= 1.3 kg.m−3,f= 1000 Hz, c= 340 m.s−1,
δV olume ∝signal ´electrique.
i. en R: ˜u=u0eiωt et ˜v=iω˜u(point d’´emission de l’onde)
•Intensit´e acoustique : I(R) = ρ0cv2=ρ0cω2u2
0
2
A.N.: I(R) = 1.3×340 ×4π2×106×10−8
2'87 W.m−2
•Puissance sonore efficace : Pac =I(R)×4πR2
A.N.: Pac '87 ×4π×9.10−4'1 W
ii. en r= 3 m :
•Intensit´e : I(r) = Pac
4πr2ou encore I(r) = I(R)R2 r2=I(R)R
r2
A.N.: I(r) = 87 ×10−4W.m−2soit 8.7 mW.m−2
•Niveau sonore : LdB = 10 log I(r)
I0avec I0= 10−12 W.m−2
A.N.: LdB = 10 log(8.7 10−9)'99.4 dB.
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