8. Ondes sonores dans un tuyau d`orgue * (a) A l

8. Ondes sonores dans un tuyau d’orgue *
(a) A l’extrémité ouverte du tuyau, les variations de pression de la tranche d’air sont nulles (puisque
la pression totale dans le tuyau à cette extrémité est égale à la pression à l’extérieur du tuyau,
c’est-à-dire à la pression atmosphérique), et donc le déplacement u(x, t) y est maximum : l’onde
stationnaire présente donc un ventre de vibration pour l’onde de déplacement (et un noeud de
vibration pour l’onde de pression).
A l’extrémité fermée du tuyau, les particules d’air ne peuvent pas vibrer, à cause de cet obstacle :
l’onde stationnaire présente donc un noeud de vibration pour l’onde de déplacement (et un ventre
de vibration pour l’onde de pression).
(b) Pour la note fondamentale (premier harmonique) : la longueur L du tuyau correspond à la
distance la plus courte séparant un noeud (extrémité fermée) d’un ventre (extrémité ouverte) de
vibration, soit : L = λ
4 . C’est la note de plus basse fréquence que peut émettre le tuyau.
c
(c) A.N.: L = λ
4 = 4f ∼ 0.19 m.
(d) Pour le deuxième harmonique, la longueur du tuyau correspond à la deuxième distance la plus
0
courte séparant un noeud d’un ventre de vibration, soit : L = 34λ = 3 c0 . Donc, en comparant
4f
avec l’expression précédente : f 0 = 3f = 1320 Hz (mi de l’octave au-dessus)
9. Ondes dans une barre métallique *
Barre métallique : section S, axe Ox, masse volumique ρ, module d’Youg E
1 F
l − l0
=
l0
E S
(1)
&
)
• l − l0 : allongement (dilatation ou compression) relatif de la barre
l0
• F
S : contrainte (dimension d’une pression) : traction ou compression
1 : coefficient de proportionalité entre la déformation et la contrainte
• E
Cette relation n’est valable que dans la limite d’élasticité de la barre : elle ne concerne que de faibles
déformations.
(a) Equation de propagation des ondes longitudinales s(x, t) ?
On considère une tranche “locale” mince, d’épaisseur au repos dx, comprise entre x et x + dx.
Sous l’action de la force de traction F , on aura deux phénomènes (voir figure ci-dessous) :
i- déplacement de la tranche d’une quantité s
ii- compression ou dilatation de la tranche d’une quantité ds
Le déplacement s dépend de x et t.
• Pour décrire la compression ou dilatation de la tranche (ii), on applique la relation (1) à cette
tranche (l0 ↔ dx, l − l0 ↔ ds):
ds
1 F
=
dx t E S
8
F(x)
F(x+dx)
x
X
x+dx
x+s
x+dx+s+ds
soit encore, puisque s(x, t) :
1 F (x, t)
∂s
=
(2)
∂x
E
S
Remarque : cette expression est du 1er ordre, c’est-à-dire qu’on ne tient pas compte de la
différence entre F (x, t) et F (x + dx, t).
• Le déplacement global de la tranche [x, x + dx] (i) résulte quant à lui de la force résultante
appliquée à la tranche, c’est-à-dire qu’il correspond à la différence des pressions F/S exercées
sur les faces x et x + dx de la tranche. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :
F (x + dx) − F (x) = dF = dm γ
2
avec la masse élémentaire dm = ρS dx, l’accélération γ = ∂ 2s et l’écart entre les forces
∂t
exercées sur chaque face : dF = ∂F dx
∂x
⇒
∂F
∂2s
dx = ρS dx 2
∂x
∂t
∂2s
∂F
= ρS 2
⇒
∂x
∂t
(3)
cete équation
• Equation aux dérivées partielles pour s(x, t) :
On combine les équations (2) et (3).
∂s
∂x
∂2s
∂F
= ES 2
∂x
∂x
(2) ⇒ F (x, t) = ES
⇒
(4)
En reportant (4) dans (3), on obtient :
ES
∂2s
∂2s
=
ρS
∂x2
∂t2
soit
∂2s
ρ ∂2s
−
=0
∂x2 E ∂t2
(5)
• Vitesse de propagation :
ρ = 8.103 kg.m−3 , E = 2.1011 N.m−2 .
L’équation (5) est à rapprocher de l’équation générale de propagation des ondes :
1 ∂2Y
∂2Y
−
=0
∂x2
c2 ∂t2
On en déduit l’expression de la vitesse de propagation de l’onde de surpression dans la barre :
s
1
ρ
E
⇒ c=
=
(6)
2
c
E
ρ
A.N.: c =
r
2.1011 = 104 = 5.103 m.s−1 .
2
8.103
9
(b) Plaque d’acier : M = 10 kg, déplacement s k Ox
Force appliquée : F̃ = F0 eiωt
i. Mouvement de la plaque : amplitude a0 = 1 µm, pulsation ω = 103 rad.s−1 ⇒ F0 =?
On applique la relation fondamentale de la dynamique à la plaque (voir figure (i) ci-dessous) :
M
∂2s
=F
∂t2
En notation complexe, s s’écrit :
s(t) = s0 ei(ωt + φ) ⇒ −M ω 2 s0 eiφ = F0
⇒ φ = π et F0 = M ω 2 s0
A.N.: F0 = 10 × 106 × 10−6 = 10 N.
&
)
M
(i)
&
M
)
(ii)
s
0
x
0
L
ii. Impédance mécanique complexe Zp de la plaque :
F
Zp =
v
avec
(
F = F0 eiωt
v = ∂s = ∂ s0 ei(ωt+π) = ∂ −s0 eiωt = −iωs0 eiωt
∂t
∂t
∂t
⇒ Zp = i
(7)
F0
ωs0
10
= 104 kg.s−1
103 10−6
(c) Plaque soudée à la barre en x = L
Mouvement de la barre en x = L : le même que celui de la plaque
Force F̃ en x = 0
A.N.: |Zp | =
Dans la barre : s̃(x, t) = A ei(ωt−kx) + B ei(ωt+kx) avec A = a eiφ1 , B = b eiφ2 , a, b > 0
i. On fixe L = λ. Conditions aux limites :
• En x = 0 :
1 F (0, t)
E
S
x=0
1
−ikA eiωt + ikB eiωt =
F0 eiωt
ES
ikES(B − A) = F0
(2)
s’écrit :
∂s
∂x
=
• En x = L :
(2)
s’écrit :
De plus, on a :
10
1 F (L, t)
∂s
=
∂x x=L E
S
2 ∂ s
M
= F (L, t)
∂t2 x=L
(8)
− ikAe−ikL + ikBeikL =
⇒
M −Aω 2 e−ikL − Bω 2 eikL
ES
or L = λ ⇒ eikL = e2iπ = 1 et e−ikL = e−2iπ = 1
d’où ikES(B − A) = −M ω 2 (B + A)
(9)
• Résolution du système d’équations (8) et (9) :




(8) se réécrit : B − A = −i F0
kES


 En injectant (8) dans (9) : B + A = − F0 2
Mω

F
1
1
0


 B = − 2 M ω 2 + i kES
⇒


1 −i 1
 A = − F0
2 M ω2
kES
r
p
ρ
ω
=ω
soit kE = ω ρE
avec k =
c
E

F0

1 + i p1

B
=
−
= b eiφ2

2ω

M
ω

S ρE
⇒



F
1
1
0

p
= a eiφ1
 A = − 2ω M ω − i
S ρE
⇒
ii. Coefficient de réflexion :











a =
et
b
=
F0
2ω
r
1
+ 1
(M ω)2 ρES 2
φ1 = −φ2 = − arctan
2
b
=1
a=b ⇒R=
a
M
pω
S ρE
L’onde se propageant dans la barre est complètement réfléchie conte la plaque en x =
L, résultat auquel on s’attendait puisque la plaque est indéformable (l’onde ne peut pas
s’y propager si bien que l’onde transmise est nulle, autrement dit, l’onde est entièrement
réfléchie).
iii. Expression réelle de s̃(x, t) :
s̃(x, t) = a eiφ1 ei(ωt−kx) + b eiφ2 ei(ωt+kx)
= a eiφ1 hei(ωt−kx) + a e−iφ1 ei(ωt+kx)
i
= a eiωt ei(φ1 −kx) + e−i(φ1 −kx)
= a eiωt × 2 cos(φ1 − kx)
⇒
s(x, t) = Re[s̃(x, t)] = 2a cos(φ1 − kx) cos(ωt)
(10)
On retrouve bien une fonction d’onde stationnaire (produit d’une fonction sinusoı̈dale de x
par une fonction sinusoı̈dale de t).
11
10. Intensité acoustique *
(a) La puissance totale d’une onde se conserve, donc si la surface d’onde augmente au fur et à mesure
qu’on s’éloigne de la source, la puissance par unité de surface va diminuer.
Soit une onde cylindrique de puissance totale P0 . La puissance de cette onde par unité de surface,
à une distance r et pour un cylindre de hauteur L (voir figure (a) ci-dessous), s’exprime :
P0
dP (r)
=
dS
2πrL
La puissance est proportionnelle à l’amplitude de l’onde au carré et à son intensité. On a donc :
a0
- pour l’amplitude de l’onde : P ∝ a2 ⇒ a(r) = √
r
I
0
- pour l’intensité de l’onde : P ∝ I ⇒ I(r) = r
Rappel : pour une onde cylindrique (voir figure (b) ci-dessous), on a vu en cours que :
P0
dP (r)
=
dS
4πr2
Donc :
- pour l’amplitude de l’onde : P ∝ a2 ⇒ a(r) = ar0
- pour l’intensité de l’onde : P ∝ I ⇒ I(r) = I02
r
(a)
(b)
r
R
L
(b) Haut parleur : R = 3 cm, u0 = 0.1 mm, ρ0 = 1.3 kg.m−3 , f = 1000 Hz, c = 340 m.s−1,
δV olume ∝ signal électrique.
i. en R : ũ = u0 eiωt et ṽ = iωũ (point d’émission de l’onde)
u2
• Intensité acoustique : I(R) = ρ0 c v 2 = ρ0 cω 2 20
−8
A.N.: I(R) = 1.3 × 340 × 4π 2 × 106 × 102 ' 87 W.m−2
• Puissance sonore efficace : Pac = I(R) × 4πR2
A.N.: Pac ' 87 × 4π × 9.10−4 ' 1 W
ii. en r = 3 m :
2
• Intensité : I(r) = Pac2 ou encore I(r) = I(R) R2 = I(R)
4πr
r
A.N.: I(r) = 87 × 10−4 W.m−2 soit 8.7 mW.m−2
2
R
r
I(r)
• Niveau sonore : LdB = 10 log I avec I0 = 10−12 W.m−2
0
A.N.: LdB = 10 log(8.7 10−9 ) ' 99.4 dB.
12
iii. Signal électrique : tension V0 = 15 V, partie réelle de l’imprédance : ZR = 4 Ω
V2
R
⇒ η = Pac 2Z
Rendement η = PPac avec Pelec = 2Z0
R
elec
V02
1 ' 3.6%
A.N.: η = 8 2 = 28
15
11. Dispersion des ondes élastiques sur une chaı̂ne de pendules couplés
Etant donné que l’équation du mouvement d’un atome dans une chaı̂ne d’atomes couplés n’a pas
été vue sous cette forme en cours (vue simplement dans le chapitre sur les oscillations), nous
démontrons complètement l’équation du mouvement de la question (a).
(a) La chaı̂ne comporte un très grand nombre d’atomes, si bien que a << L si L est la longueur de
la chaı̂ne. Aisni, on peut poser a = dx, avec dx une distance infinitésimale.
Soit u(x, t) l’écart à l’équilibre à l’instant t pour le pendule situé à la position x. Le pendule de
droite, situé en x + a = x + dx aura donc un déplacement u(x + dx, t) et le pendule de gauche,
situé en x − dx un déplacement u(x − dx, t) (voir figure).
Il s’exerce sur l’atome situé en x une force de rappel due au pendule (projection sur l’axe (Ox)
de la tension T du fil) et les forces de rappel des deux ressorts situés à gauche et à droite (soit
entre les atomes situés en x − dx et x, et entre les atomes situés en x et x + dx, respectivement).
l
...
...
a
θ
m
u(x-dx,t)
u(x+dx,t)
u(x,t)
x+dx
x
x-dx
- Force de rappel du pendule :
u(x, t)
La projection de la tension T selon l’axe (Ox) vaut : Tx = −T sin θ = −T
l
Or, selon la verticale (Oy) on a : Ty = T cos θ = mg et donc T ' mg pour des amplitudes de
faible oscillation (θ petit)
En conclusion, la force de rappel du pendule vaut donc :
mg
u(x, t)
(1)
Tx = −
l
- Forces de rappel des ressorts :
La force de rappel exercée par le ressort situé à droite vaut :
∂u Fd = K [u(x + dx) − u(x)] = K
dx
∂x x+ dx
2
De la même façon, la force de rappel exercée par le ressort situé à gauche vaut :
∂u dx
Fg = K [u(x − dx) − u(x)] = −K
∂x dx
x−
2
La force de rappel totale vaut donc :
F = Fd + Fg
#
∂u ∂u −
dx
= K
∂x x+ dx
∂x x− dx
2
2 2 ∂ u = K
dx dx
∂x2 x
"
13
Et donc :
F = Ka2
∂2u
∂x2
(2)
- On applique à présent le principe fondamental de la dynamique sur l’atome de masse m situé
en x et on obtient, d’après les relations (1) et (2) trouvées pour les différentes forces :
m
2
mg
∂2u
2∂ u
=
T
+
F
=
Ka
−
u(x, t)
x
2
2
∂t
∂x
l
Et donc, en divisant par m, on retrouve bien l’équation du mouvement suivante :
2
∂2u
2∂ u
=
c
− ω02 u(x, t)
l
∂t2
∂x2
(3)
q
q
g
avec cl = a K
et
ω
=
. cl représente bien la vitesse de propagation des déformations
0
m
l
longitudinales (pulsation × longueur, constante provenant des forces de rappel des ressorts, et
donc des déformations longitudinales, si on avait à faire à un système de masses reliées par des
ressorts, sans pendules) et ω0 est bien la pulsation propre d’un pendule isolé (voir première partie
du cours/TD).
(b) u(x, t) = Aei(kx−ωt) représente une fonction d’onde monochromatique progressive vers les x
positifs, en notation complexe, de vitesse de phase vφ = ω/k. La fonction d’onde réelle vaut
Re[u(x, t)].
En remplaçant u(x, t) par sa valeur dans l’équation (3), il vient :
(−iω)2 Aei(kx−ωt) = c2l (ik)2 Aei(kx−ωt) − ω02 Aei(kx−ωt)
−ω 2 = −c2l k 2 − ω02
et donc :
k2 =
ω 2 − ω02
c2l
relation de dispersion
p
ω 2 − ω02
soit : k =
cl
Remarque : Cette relation de dispersion impose que cette onde progressive n’existera qu’à condition d’avoir ω > ω0 (k étant un nombre réel)
Changer k en −k revient à considérer une onde progressive vers les x négatifs (puisqu’alors les
termes en facteur devant x et t dans l’expression de u(x, t) sont tous deux négatifs donc de même
signe).
(c) Vitesse de phase :
vφ =
ω
1
ωcl
= cl × r
=p
2
2
k
ω − ω0
ω2
1 − 02
ω
Vitesse de groupe :
dω
=
vg =
dk
dk
dω
−1
1 d
=
cl dω
q
ω2
−
ω02
−1
"
2ω
1
=
× p
cl
2 ω 2 − ω02
#−1
= cl ×
r
1−
ω02
ω2
Les vitesses de groupe et de phase sont tracées dans la figure ci-dessous.
(d) On voit immédiatement sur la figure ci-dessus que les vitesses de phase et de groupe ne sont
définies que pour ω > ω0 . Autrement dit, l’onde ne pourra se propager qu’à la condition où la
pulsation de l’onde est plus grande que la pulsation de coupure ω0 .
Lorsque ω → ω0 : vφ → +∞ et vg → 0.
Remarque : lorsque ω → ∞, les vitesses de phase et de groupe deviennent toutes deux égales à
cl .
14
vφ
cl
vg
ω
ω0
p
(e) Si ω < ω0 , alors le nombre d’onde k devient imaginaire pur et vaut : k = ci ω02 − ω 2 = iΛ,
l
où Λ représente la longueur d’atténuation. On a alors u(x, t) = A ei(kx−ωt) = A e−Λx e−iωt . Ceci
correspond à une fonction d’oscillateur harmonique dont l’amplitude décroı̂t exponentiellement
avec x. Autrement dit, chaque masse m oscille avec une amplitude de plus en plus faible au fur
et à mesure qu’on s’éloigne de l’extrémité x = 0 de la chaı̂ne (là où le mouvement a été initié).
15