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Physique
Mécanqiue
OSCILLATEURS
OSCILLATEURS
Plan
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
(Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe)
**********************
Oscillateur harmonique. ............................................................................................................. 1
Oscillateur amorti. ................................................................................................................. 3
Portrait de phase des oscillateurs harmonique et amorti............................................................. 4
Oscillations forcées. ............................................................................................................... 5
Oscillations couplées. ................................................................................................................ 7
Analogie électromécanique. .................................................................................................. 10
**********************
On s’intéresse à un système à un degré de liberté, noté ici x.
I.
Oscillateur harmonique.
Il est régi par l’équation différentielle :
oo
x + ω02 x = 0
o2
x + ω02 x2 = cste
ou
(forme « intégrale 1ère »)
La solution étant sinusoïdale de pulsation ω0 et période T0 =
x(t) = A cos (ω0t + ϕ)
I.1.
2Π
:
ω0
(A et ϕ déterminés à l’aide des C.I)
Oscillateurs harmoniques « vrais » :
L’oscillation est harmonique, quelle que soit son amplitude.
Ex. : - pendule élastique (si on reste dans le domaine d’élasticité du ressort).
N
lo
(Pas de frottements)
•
mg
x
•
0
x
2
Em = cste =
o2
Soit : x
Page 1
+ ω2o x2 = 0,
si
o
1
1
mx +
kx2
2
2
ω0 =
(Ep
pesanteur
= cste, donc n’intervient pas).
k
m
François MORAND
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Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la
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Extrait gratuit de document, le document original comporte 10 pages.
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OSCILLATEURS
- Pendule cycloïdal (cf exercice)
I.2.
Oscillateurs harmoniques « approchés » :
L’oscillation n’est harmonique que pour de faibles amplitudes.
Ep = 0
Ex. : pendule simple
↓g
l
T
θ
•M
mg
Il y a conservation de l’énergie :
o
1
m (l θ)2 - mgl cos θ = cste
2
θ2
2
Pour θ faible : cos θ ≈ 1 -
, donc :
o2
θ + ω02θ2 = cste , si
ω02 =
g
l
Rem. : dans le cas général, l’oscillation est périodique non sinusoïdale. L’intégrale 1ère permet de
calculer la période :
o
1
m (l θ)2 - mgl cos θ = - mgl cos θM
2
2
⇒
o
θ

θ
θ = 2 ω02 (cos θ – cos θM) = 4 ω02  sin2 M - sin2 
2
2


Pendant la phase ascendante du pendule :
o
dθ
= θ = 2 ω0
dt
Par séparation des variables, on tire :
dθ
θM
θ
sin
- sin2
2
2
sin2
θM
θ
>0
- sin2
2
2
= 2 ω0 dt
2
Puis en intégrant sur un quart de période (de 0 à θM) :
dθ
θM
∫ θ =0
Ainsi :
T=
T0
Π
sin2
θM
θ
- sin2
2
2
θM
dθ
∫0
sin2
= 2 ω0
T
T
=Π
4
T0
θM
θ
- sin2
2
2
(Un logiciel mathématique permet alors de calculer numériquement T, pour une valeur donnée de θM).
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OSCILLATEURS
II.
Oscillateur amorti.
Reprenons l’exemple du pendule élastique, pour lequel on tient compte désormais d’une force de
frottement fluide (« résistance de l’air ») proportionnelle à la vitesse ; on néglige toujours tout
frottement solide.
L’équation du mouvement est cette fois :
oo
o
m x = - kx - f x
frottement fluide
On obtient ainsi une équation différentielle linéaire du 2e ordre à coefficients constants.
En posant :
ω02 =
k
m
ω0
f
= 2 σ ω0 =
Q0
m
l’équation s’écrit sous forme canonique :
oo
x+
ω0 o
x + ω02 x = 0
Q0
Cette équation est strictement identique à celle obtenue dans le cours d’électrocinétique pour un
système linéaire du 2e ordre (type RLC).
Rappelons donc simplement les résultats suivants :
1
: amortissement fort, régime apériodique (non oscillatoire)
2
1
ii) Q0 =
: régime critique
2
1
iii) Q0 >
: amortissement faible (cas usuel dans l’air), régime pseudopériodique (oscillatoire).
2
i)
Q0 <
De plus, le système est ici dissipatif : Em =
o
1
mx
2
2
diminue au cours du temps.
Si Q0 >> 1, on a :
 E
Q0 = 2 Π  m
 ∆E m



Em(t) ≈ Em(O) e-2t/τ, si τ =
2 Q0
ω0
(∆Em = Em(t) – Em(t + T), pertes
d’énergie pendant une pseudopériode).
o
On peut rappeler enfin l’allure des courbes x(t), pour x(0) = xo et x (0) = 0 :
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x
x
x0
x0
Q0 <
1
2
1
2
t
•
•
t
Q0 =
III.
Q0 >
1
2
Portrait de phase des oscillateurs harmonique et amorti.
III.1. Définition :
Pour un point M en mouvement unidimensionnel, on appelle portrait de phase la courbe décrite
o
dans le plan (x, x ) par ce point au cours du temps.
III.2. Cas de l’oscillateur harmonique.
o2
x + ω02 x2 = cste
On a :
Le portrait de phase est donc une ellipse.
o
x
En général, on préfère se placer dans un plan (x,
) ; alors
ω0
 o
 x

 ω0

2


2
 + x = cste


Dans ce plan, le portrait de phase est un cercle.
3 T0 


 t =
4 

o
x
ω0
•
t=0:

 t

- x0 •
T 
= 0
2 
M0
0
•
x0
(t = 0)
x = x0
o
x
x =0
(Point M0)
•
T 

 t = 0
4 

Ce cercle est décrit périodiquement dans le sens rétrograde.
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