Physique Mécanqiue OSCILLATEURS OSCILLATEURS Plan I. II. III. IV. V. VI. (Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe) ********************** Oscillateur harmonique. ............................................................................................................. 1 Oscillateur amorti. ................................................................................................................. 3 Portrait de phase des oscillateurs harmonique et amorti............................................................. 4 Oscillations forcées. ............................................................................................................... 5 Oscillations couplées. ................................................................................................................ 7 Analogie électromécanique. .................................................................................................. 10 ********************** On s’intéresse à un système à un degré de liberté, noté ici x. I. Oscillateur harmonique. Il est régi par l’équation différentielle : oo x + ω02 x = 0 o2 x + ω02 x2 = cste ou (forme « intégrale 1ère ») La solution étant sinusoïdale de pulsation ω0 et période T0 = x(t) = A cos (ω0t + ϕ) I.1. 2Π : ω0 (A et ϕ déterminés à l’aide des C.I) Oscillateurs harmoniques « vrais » : L’oscillation est harmonique, quelle que soit son amplitude. Ex. : - pendule élastique (si on reste dans le domaine d’élasticité du ressort). N lo (Pas de frottements) • mg x • 0 x 2 Em = cste = o2 Soit : x Page 1 + ω2o x2 = 0, si o 1 1 mx + kx2 2 2 ω0 = (Ep pesanteur = cste, donc n’intervient pas). k m François MORAND EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Extrait gratuit de document, le document original comporte 10 pages. Physique Mécanqiue OSCILLATEURS - Pendule cycloïdal (cf exercice) I.2. Oscillateurs harmoniques « approchés » : L’oscillation n’est harmonique que pour de faibles amplitudes. Ep = 0 Ex. : pendule simple ↓g l T θ •M mg Il y a conservation de l’énergie : o 1 m (l θ)2 - mgl cos θ = cste 2 θ2 2 Pour θ faible : cos θ ≈ 1 - , donc : o2 θ + ω02θ2 = cste , si ω02 = g l Rem. : dans le cas général, l’oscillation est périodique non sinusoïdale. L’intégrale 1ère permet de calculer la période : o 1 m (l θ)2 - mgl cos θ = - mgl cos θM 2 2 ⇒ o θ θ θ = 2 ω02 (cos θ – cos θM) = 4 ω02 sin2 M - sin2 2 2 Pendant la phase ascendante du pendule : o dθ = θ = 2 ω0 dt Par séparation des variables, on tire : dθ θM θ sin - sin2 2 2 sin2 θM θ >0 - sin2 2 2 = 2 ω0 dt 2 Puis en intégrant sur un quart de période (de 0 à θM) : dθ θM ∫ θ =0 Ainsi : T= T0 Π sin2 θM θ - sin2 2 2 θM dθ ∫0 sin2 = 2 ω0 T T =Π 4 T0 θM θ - sin2 2 2 (Un logiciel mathématique permet alors de calculer numériquement T, pour une valeur donnée de θM). Page 2 François MORAND EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Extrait gratuit de document, le document original comporte 10 pages. Physique Mécanqiue OSCILLATEURS II. Oscillateur amorti. Reprenons l’exemple du pendule élastique, pour lequel on tient compte désormais d’une force de frottement fluide (« résistance de l’air ») proportionnelle à la vitesse ; on néglige toujours tout frottement solide. L’équation du mouvement est cette fois : oo o m x = - kx - f x frottement fluide On obtient ainsi une équation différentielle linéaire du 2e ordre à coefficients constants. En posant : ω02 = k m ω0 f = 2 σ ω0 = Q0 m l’équation s’écrit sous forme canonique : oo x+ ω0 o x + ω02 x = 0 Q0 Cette équation est strictement identique à celle obtenue dans le cours d’électrocinétique pour un système linéaire du 2e ordre (type RLC). Rappelons donc simplement les résultats suivants : 1 : amortissement fort, régime apériodique (non oscillatoire) 2 1 ii) Q0 = : régime critique 2 1 iii) Q0 > : amortissement faible (cas usuel dans l’air), régime pseudopériodique (oscillatoire). 2 i) Q0 < De plus, le système est ici dissipatif : Em = o 1 mx 2 2 diminue au cours du temps. Si Q0 >> 1, on a : E Q0 = 2 Π m ∆E m Em(t) ≈ Em(O) e-2t/τ, si τ = 2 Q0 ω0 (∆Em = Em(t) – Em(t + T), pertes d’énergie pendant une pseudopériode). o On peut rappeler enfin l’allure des courbes x(t), pour x(0) = xo et x (0) = 0 : Page 3 François MORAND EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Extrait gratuit de document, le document original comporte 10 pages. Physique Mécanqiue OSCILLATEURS x x x0 x0 Q0 < 1 2 1 2 t • • t Q0 = III. Q0 > 1 2 Portrait de phase des oscillateurs harmonique et amorti. III.1. Définition : Pour un point M en mouvement unidimensionnel, on appelle portrait de phase la courbe décrite o dans le plan (x, x ) par ce point au cours du temps. III.2. Cas de l’oscillateur harmonique. o2 x + ω02 x2 = cste On a : Le portrait de phase est donc une ellipse. o x En général, on préfère se placer dans un plan (x, ) ; alors ω0 o x ω0 2 2 + x = cste Dans ce plan, le portrait de phase est un cercle. 3 T0 t = 4 o x ω0 • t=0: t - x0 • T = 0 2 M0 0 • x0 (t = 0) x = x0 o x x =0 (Point M0) • T t = 0 4 Ce cercle est décrit périodiquement dans le sens rétrograde. Page 4 François MORAND EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Extrait gratuit de document, le document original comporte 10 pages.
