a+b - V.Dujardin

TS Spé - Arithmétique - Divisibilité et congruences
Arithmétique (n.f):
Science qui a pour objet l'étude de la formation des nombres, de leurs propriétés et des
rapports qui existent entre eux (théorie des opérations : addition, soustraction,
multiplication, division).
Source : cnrtl.fr
1 Ensembles de nombres
1.1 Notation d'ensemble
On note un ensemble de nombre entre accolades : { }
L'ordre des éléments n'a pas d'importance, même si l'usage veut qu'on les classe par
ordre croissant. On peut lister les éléments, ou utiliser de notations qui permettent des
les décrire.
1.2 Les entiers naturels
Les hommes ont commencé par dénombrer avec les doigts, définissant
naturellement l’ensemble des entiers... naturels
ℕ
.
ℕ
= { 0 ; 1 ; 2 ;... }
Grottes de Gargas : quelle main est
la plus adaptée au comptage dans
ℕ
?
1.3 Les entiers relatifs
Tôt en Asie et plus tard en occident (vers l'an 1000), les nombres relatifs sont apparus,
notamment dans les calculs économiques pour faire la différence entre un crédit (+) et
une dette (-).
ℤ
={...,-2;-1;0;1;2 ;...}
1.4 Les nombres rationnels
Les nombres rationnels ont été utilisés bien plus tôt que les relatifs : pour décrire le
partage d'une récolte par exemple.
Les rationnels sont les proportions d'entiers, c'est à dire les nombres que l'on peut écrire
sous forme de fraction.
ℚ
={ tous les nombres s'écrivant
a
b
, avec
a∈ℤ
et
b∈ℕ*
}
1.5 Quelques propriétés
Propriété 1 (admise)
Toute partie non vide de
ℕ
a un plus petit élément.
Toute partie non vide et finie de
ℕ
a un plus grand élément.
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Propriété 2 (admise)
Pour tous
a,b
dans
ℤ
, on a
a+b∈ℤ
,
a−b∈ℤ
et
a×b∈ℤ
Plus généralement : toute combinaison de sommes et produits d'entiers relatifs est un
entier relatif.
Important : cette propriété est fausse pour la division. Par exemple :
2÷3∉ℤ
.
Ce fait crée une des grandes questions que l'arithmétique se pose à propos de deux
nombres : la division de l'un par l'autre est-elle un élément de
ℤ
?
C'est l'objet de la partie suivante...
2 Divisibilité dans
ℤ
2.1 Multiples et diviseurs
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs quelconques.
On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a
s’il existe un entier relatif k tel que
a=b×k
.
Remarques :
•a est un multiple de b signifie exactement b est un diviseur de a
•Les diviseurs de a sont exactement ceux de -a
•b divise a s'écrit parfois
b∣a
•Pour un entier a, on note souvent
d ( a )
l'ensemble de ses diviseurs.
En notations :
d ( a )
={
n∈ℤ
tel qu'il existe
k∈ℤ
avec
a=k×n
}
•0 ne divise aucun nombre, et 0 est le multiple de tous.
2.2 Propriétés
Propriété 3 : transitivité de le divisibilité
Soient a, b, c trois entiers relatifs
Si b divise a et si c divise b, alors c divise a
Preuve: en exercice.
Propriété 4 : combinaison linéaire
Soient a,b,c trois entiers relatifs tels que
c≠0
Si c divise a et c divise b,
alors pour tous m et n dans
ℤ
, c divise
ma+nb
En particulier : c divise
a+b
et c divise
a−b
en choisissant bien m et n...
Preuve: en exercice.
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Propriété 5 : majoration des diviseurs
Soient a,b dans
ℤ
,
si b divise a et
a≠0
, alors
∣ b ∣ ⩽ ∣ a ∣
Preuve :
Si b divise a, alors il existe
k∈ℤ
tel que
a=kb
On a donc
∣ a ∣ = ∣ kb ∣ = ∣ k ∣∣ b ∣
.
a≠0
donc
∣ k ∣ ≠0
. Puisque
∣ k ∣ ∈ℕ
,
∣ k ∣ ⩾1
.
On en déduit que
∣ a ∣ ⩾ ∣ b ∣
.
Corollaires :
Avec
a∈ℕ
et
b∈ℕ
: si b divise a, alors
b⩽a
.
Tout entier
a∈ℤ
possède un nombre fini de diviseurs.
Preuves :
•En reprenant la démonstration de la propriété, avec a et b dans
ℕ
, on a k positif
et donc
∣ k ∣ =k
ce qui donne le résultat.
•Les éléments de
d ( a )
sont compris entre 1 et a : ils sont donc en nombre fini.
Remarque : théoriquement, on peut donc affirmer que les algorithmes peuvent trouver la
liste des diviseurs de tous les nombres, puisqu'un nombre fini de tests est suffisant pour
générer cette liste. Reste à savoir si le temps nécessaire est humain... ce qui n'est pas le
cas pour des très grands nombres.
2.3 Nombre premiers entre eux
Définition
Soient a et b deux nombres entiers relatifs (a
∈
ℤ
et b
∈
ℤ
),
on dit que a est premier avec b lorsque le seul diviseur commun positif de a et b est 1.
Remarques
•« être premier avec » est une relation entre deux nombres.
•« être premier avec »n'a pas de lien direct avec la qualité d' « être premier » pour
un nombre (seul).
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3 Division euclidienne
3.1 Dans les entiers naturels
Propriété 6 :
Soient a et b deux entiers naturels avec
b≠0
Il existe un unique couple d'entiers naturels
( q;r )
tel que
a=bq+r
et
0⩽r<b
Preuve : en annexe.
Définition : l'écriture
a=bq+r
et
0⩽r<b
est appelée division euclidienne de a par b
Vocabulaire : (un petit retour en primaire ci-contre...)
image : cned, académie en ligne
A retenir :
•La division euclidienne de deux nombres s'écrit sans le symbole de la division !
•La condition sur le reste est essentielle : ne pas l'oublier.
•Dans une division par n, il y a n restes possibles : de 0 à
n−1
3.2 Dans les entiers relatifs
On peut étendre la définition de la division euclidienne à
ℤ
comme ceci :
Définition :
Il existe un unique couple (q;r) avec
q∈ℤ
et
r∈ℕ
tel que
a=bq+r
et
0⩽r<
∣
b
∣
Preuve : même principe que dans
ℕ
A retenir : le reste est un entier naturel (donc positif)
3.3 Fonction partie entière
Propriété et définition :
Pour tout
x∈ℝ
, il existe
n∈ℕ
tel que
n⩽x<n+1
Pour un x donné, on appelle ce n la partie entière de x
Autrement dit : n est le plus grand entier inférieur à x.
Preuve : évident et admis.
Notation : on note
E ( x )
la partie entière de x.
Exemples :
E ( 2,3 ) =2
et
E ( −6,5 ) =−7
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4 Congruence dans
ℤ
4.1 Définition
Définition :
Soit p un entier naturel non nul, et soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a est congru à b modulo p lorsque
a−b
est un multiple de p.
Notation : a est congru à b modulo p se note
a≡b ( p )
ou
a≡b [ p ]
ou
a≡b
mod p
Remarques :
•La congruence est symétrique: si
a≡b
mod n alors
b≡a
mod n
•Puisque 0 est le multiple de tous nombres, x est congru à lui même :
x≡x ( p )
•Dire que
a≡0
mod p signifie que a est un multiplie de p (ou que p divise a)
4.2 Congruence et division euclidienne
Propriété 7 (caractéristique de la congruence)
a≡b
mod n équivaut à a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Preuve : voir en annexe
Propriété 8 :
Soient a et b deux entiers avec
b≠0
.
Si la division euclidienne de a par b s'écrit
a=bq+r
, alors
a≡r ( b )
.
Preuve :
a−r=bq
qui est bien un multiple de b, donc
a≡r ( b )
Conséquences :
Si
a≡r ( b )
et
0⩽r<b
, alors r est bien le reste dans la division euclidienne de a par b.
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