a+b - V.Dujardin

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TS Spé - Arithmétique - Divisibilité et congruences
Arithmétique (n.f):
Science qui a pour objet l'étude de la formation des nombres, de leurs propriétés et des
rapports qui existent entre eux (théorie des opérations : addition, soustraction,
multiplication, division).
Source : cnrtl.fr
1 Ensembles de nombres
1.1 Notation d'ensemble
On note un ensemble de nombre entre accolades :
{ }
L'ordre des éléments n'a pas d'importance, même si l'usage veut qu'on les classe par
ordre croissant. On peut lister les éléments, ou utiliser de notations qui permettent des
les décrire.
1.2 Les entiers naturels
Les hommes ont commencé par dénombrer avec les doigts, définissant
naturellement l’ensemble des entiers... naturels
ℕ.
ℕ = { 0 ; 1 ; 2 ;... }
Grottes de Gargas : quelle main est
la plus adaptée au comptage dans ℕ ?
1.3 Les entiers relatifs
Tôt en Asie et plus tard en occident (vers l'an 1000), les nombres relatifs sont apparus,
notamment dans les calculs économiques pour faire la différence entre un crédit (+) et
une dette (-).
ℤ ={...,-2;-1;0;1;2 ;...}
1.4 Les nombres rationnels
Les nombres rationnels ont été utilisés bien plus tôt que les relatifs : pour décrire le
partage d'une récolte par exemple.
Les rationnels sont les proportions d'entiers, c'est à dire les nombres que l'on peut écrire
sous forme de fraction.
ℚ ={ tous les nombres s'écrivant
a
b
, avec a∈ℤ
et
*
b∈ℕ }
1.5 Quelques propriétés
Propriété 1 (admise)
 Toute partie non
vide de ℕ
 Toute partie non
vide et finie de ℕ
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a un plus
petit élément.
a un plus
grand élément.
1
Propriété 2 (admise)
Pour tous
a ,b dans ℤ , on a
a+b∈ℤ , a−b∈ℤ
et
a×b∈ℤ
Plus généralement : toute combinaison de sommes et produits d'entiers relatifs est un
entier relatif.
Important : cette propriété est fausse pour la division. Par exemple : 2÷3∉ℤ .
Ce fait crée une des grandes questions que l'arithmétique se pose à propos de deux
nombres : la division de l'un par l'autre est-elle un élément de ℤ
?
C'est l'objet de la partie suivante...
2 Divisibilité dans ℤ
2.1 Multiples et diviseurs
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs quelconques.
a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a
s’il existe un entier relatif k tel que a=b×k .
On dit que
Remarques :
•
a est un multiple de b signifie exactement b est un diviseur de a
•
Les diviseurs de a sont exactement ceux de -a
•
b divise a s'écrit parfois b∣a
•
Pour un entier a, on note souvent d ( a ) l'ensemble de ses diviseurs.
En notations : d ( a ) ={ n∈ℤ tel qu'il existe k∈ ℤ avec a=k×n }
•
0 ne divise aucun nombre, et 0 est le multiple de tous.
2.2 Propriétés
Propriété 3 : transitivité de le divisibilité
Soient a, b, c trois entiers relatifs
Si b divise a et si c divise b, alors c divise a
Preuve: en exercice.
Propriété 4 : combinaison linéaire
Soient a,b,c trois entiers relatifs tels que c ≠0
Si c divise a et c divise b,
alors pour
tous m et n dans
ℤ,c
divise ma+n b
En particulier : c divise a+b et c divise a−b en choisissant bien m et n...
Preuve: en exercice.
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2
Propriété 5 : majoration des diviseurs
Soient a,b dans ℤ ,
si b divise a et a≠0 , alors ∣b∣⩽∣a∣
Preuve :
Si b divise a, alors il existe k ∈ℤ tel que a=kb
On a donc ∣a∣=∣kb∣=∣k ∣∣b∣ .
a≠0 donc ∣k ∣≠0 . Puisque ∣k ∣∈ℕ , ∣k ∣⩾1 .
On en déduit que ∣a∣⩾∣b∣ .
Corollaires :
 Avec a ∈ℕ et b ∈ℕ : si b divise a, alors b ⩽a .
 Tout entier a ∈ℤ possède un nombre fini de diviseurs.
Preuves :
•
En reprenant la démonstration de la propriété, avec a et b dans ℕ , on a k positif
et donc ∣k∣=k ce qui donne le résultat.
•
Les éléments de d ( a ) sont compris entre 1 et a : ils sont donc en nombre fini.
Remarque : théoriquement, on peut donc affirmer que les algorithmes peuvent trouver la
liste des diviseurs de tous les nombres, puisqu'un nombre fini de tests est suffisant pour
générer cette liste. Reste à savoir si le temps nécessaire est humain... ce qui n'est pas le
cas pour des très grands nombres.
2.3 Nombre premiers entre eux
Définition
Soient a et b deux nombres entiers relatifs (a ∈ ℤ et b ∈ ℤ ),
on dit que a est premier avec b lorsque le seul diviseur commun positif de a et b est 1.
Remarques
•
« être premier avec » est une relation entre deux nombres.
•
« être premier avec »n'a pas de lien direct avec la qualité d' « être premier » pour
un nombre (seul).
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3
3 Division euclidienne
3.1 Dans les entiers naturels
Propriété 6 :
Soient a et b deux entiers naturels avec b≠0
Il existe un unique couple d'entiers naturels ( q ;r ) tel que
a=bq+r
et
0⩽r<b
Preuve : en annexe.
Définition : l'écriture
a=bq+r
et
0⩽r<b
est appelée division euclidienne de a par b
Vocabulaire : (un petit retour en primaire ci-contre...)
image : cned, académie en ligne
A retenir :
•
La division euclidienne de deux nombres s'écrit sans le symbole de la division !
•
La condition sur le reste est essentielle : ne pas l'oublier.
•
Dans une division par n, il y a n restes possibles : de 0 à n−1
3.2 Dans les entiers relatifs
On peut étendre la définition de la division euclidienne à ℤ comme ceci :
Définition :
Il existe un unique couple (q;r) avec q∈ℤ et
a=bq+r
et
r∈ℕ
tel que
0⩽r<∣b∣
Preuve : même principe que dans ℕ
A retenir : le reste est un entier naturel (donc positif)
3.3 Fonction partie entière
Propriété et définition :
Pour tout x∈ℝ , il existe n∈ℕ tel que
n⩽x <n+1
Pour un x donné, on appelle ce n la partie entière de x
Autrement dit : n est le plus grand entier inférieur à x.
Preuve : évident et admis.
Notation : on note E ( x ) la partie entière de x.
Exemples : E ( 2,3 )=2 et E (−6,5 )=−7
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4 Congruence dans ℤ
4.1 Définition
Définition :
Soit p un entier naturel non nul, et soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que
a est congru à b modulo p lorsque a−b
est un multiple
de p.
Notation : a est congru à b modulo p se note a≡b ( p ) ou a≡b [ p ] ou a≡b mod p
Remarques :
•
La congruence est symétrique: si a≡b mod n alors b≡a mod n
•
Puisque 0 est le multiple de tous nombres, x est congru à lui même : x≡x ( p )
•
Dire que a≡0 mod p signifie que a est un multiplie de p (ou que p divise a)
4.2 Congruence et division euclidienne
Propriété 7 (caractéristique de la congruence)
a≡b mod n équivaut à a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Preuve : voir en annexe
Propriété 8 :
Soient a et b deux entiers avec b≠0 .
Si la division euclidienne de a par b s'écrit a=bq+r , alors a≡r (b ) .
Preuve : a−r =bq qui est bien un multiple de b, donc a≡r (b )
Conséquences :
Si a≡r (b ) et 0⩽r <b , alors r est bien le reste dans la division euclidienne de a par b.
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5
4.3 Propriétés algébriques de la congruence
Propriété 9 : transitivité
Soit n un entier non nul et a, b, c trois entiers.
Si a≡b (n ) et b≡c ( n ) alors a≡c (n )
Propriété 10 : congruence et opérations
Soit n un entier non nul et a, b, c, d quatre entiers.
Si a≡b (n ) et c≡d ( n ) , alors :

a+c≡b+d ( n )

a−c≡b−d ( n )

a×c≡b×d (n )
Preuve : on a a−b et c−d multiples de n, donc a−b+c−d=a+c−(b+d ) aussi.
Conséquence : on a aussi a−c≡b−d ( n ) car soustraire c'est ajouter l'opposé.
Remarque : on dit que la congruence est compatible avec l'addition, la soustraction et la
multiplication.
Attention : la congruence n'est pas compatible avec la division, pour la simple raison que
la division de deux entiers n'est pas forcément un entier.
Corollaires :
1. Si a≡b (n ) , alors pour tout p∈ℕ* , on a a p ≡b p ( n )
2. Pour tout k∈ℤ , si a≡b (n ) alors ka≡kb (n )
Preuve :
1 se montre par récurrence.
2 est immédiat en posant c=d=k .
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5 Méthodes (éventuellement à compléter par vous).
Méthode 1 : dire que n=ab implique nécessairement que a et b appartiennent à d (n )
Application : combien de nombres a, b, c (avec a<b<c) sont solutions dans ℕ de
abc =3589 .
Même question dans ℤ .
Méthode 2 : pour montrer qu'un nombre divise un autre, on peut utiliser la définition.
2
Application : montrer que pour n ∈ℤ , ( n+4 ) +3 n 2 est divisible par 4
Méthode 3 : pour montrer qu'un nombre divise un autre, on peut utiliser une
combinaison linéaire pour annuler le terme inconnu.
Application : monter que pour tout n dans ℤ , n et 2 n−1 sont premiers entre eux.
2×n−1×(2 n−1)=2 n−2 n+1=1 .
Donc si un entier d divise n et 2 n−1 , alors d divise aussi 1, donc d∈d ( 1 ) , c'est à dire
d=1 ou −1 .
Méthode 4 : pour vérifier qu'une écriture de la forme a=bq+r est une division
euclidienne, il faut vérifier :
1. que l'égalité est vraie
2. que le reste r est strictement inférieur au diviseur q
Application : pour n∈ℕ , ( n+2 )2=n ( n+4 )+4 est-elle la division euclidienne de ( n+2 )2
par n+4 ?
L'égalité étant (évidemment) vraie, il reste à vérifier que 0⩽4<n+4 , c'est à dire n>0 .
Cette écriture est la division euclidienne uniquement pour n>0 .
(vérification pour n=0 : on a 4=0×4+4 , mais la division s'écrirait 4=1×4+0 )
Méthode 5 : on peut obtenir le quotient d'une division euclidienne avec la fonction partie
a
entière : q=E
, puis en déduire le reste : r=a−bq .
b
( )
Méthode 6: pour étudier la congruence modulo p d'un nombre variable, on peut dresser
un tableau de tous les cas possibles de congruence de la variable et utiliser les propriétés
de calcul sur les congruences.
Exercice 52, 56
Méthode 7 : Pour étudier le reste de a n dans la division par q, lorsque a n dépasse la
capacité de la calculatrice, on étudie les premières puissances de a jusqu'à trouver
p
a ≡1 (q ) (ou -1). On utilise ensuite la division euclidienne de n par p pour « réduire » la
puissance au reste.
Exercice 54, 66
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7
6 Annexes
6.1 Preuve de l'existence et de l'unicité de la division euclidienne
Soient a et b dans ℕ avec b ≠0
Partie 1 : existence de ( p ; q )
•
Cas 1 : si 0⩽a <b , alors le couple (0 ; a ) convient, car a=0×b +a et a<b par
hypothèse.
•
Cas 2 : Si 0<b ⩽a
Etape 1 :
On considère E, l'ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a.
Puisque b ≠0 , on a :
•
a≠0
•
1⩽b , et donc 2⩽2 b , et aussi 1<2 b (**)
On peut donc écrire que a<2 ab car a≠0 (de (**), en multipliant par a)
On conclut que E est non vide, car 2ab ∈E , par conséquent qu'il admet un plus
petit élément.
On nomme p l'entier tel que pb est ce plus petit élément.
Etape 2 :
0∉E car 0<a , et donc p ⩾1 . On peut donc poser q =p −1 , avec q ∈ℕ
q b ∉E car q est plus petit que p, donc q b⩽a
(***).
De plus, q+1= p donc a< ( q+1 ) b
(***)
Etape 3
Posons r =a−q b , de sorte que a=q ×b +r .
•
r est bien un entier (somme et produit d'entiers)
•
De q b⩽a (***), on déduit que r⩾0
•
De a<( q +1 ) b (***), on déduit que a<qb +b , et donc que r <b
Au final, dans les deux cas, on a prouvé l'existence d'un couple (q ; r ) répondant à la
définition.
Partie 2 : unicité de ( p ; q )
Supposons qu'il existe deux divisions euclidiennes de a : a=qb +r et a=q ' b +r '
On aurait alors qb +r =q ' b +r ' , et donc b ( q −q ' )=r ' −r (****), ce qui implique
que r ' −r serait un multiple de b.
Puisque 0⩽r ' <b et −b <−r ⩽0 , on aurait aussi −b <r ' −r <b .
Or le seul multiple de b strictement compris entre −b et b est 0, donc r ' −r =0 .
On en déduit que r =r ' , et par conséquent, q =q ' (de ****, car b ≠0 )
En conclusion : les deux couples (q ; r ) et (q ' ; r ' ) sont nécessairement identiques.
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6.2 Preuve de la propriété 7
Soient a et b deux entiers dont les divisions euclidiennes par n s'écrivent :
a= p n+r et b=q n+r'
⇒
Si a et b sont congrus modulo n, alors a-b est un multiple de n, donc il existe k∈ℕ
tel que a−b=kn
Or a−b=( p−q ) n+(r −r' ) ,
donc r−r'= ( k− p+q ) n ,
⏟
∈ℤ
c'est à dire que r−r' est un multiple de n aussi.
Or 0⩽r<n et 0⩽r'<n , donc −n<−r'⩽0 , et −n<r−r'<n (par somme).
Le seul multiple de n entre -n et n étant 0, on peut affirmer que r−r'=0 et r=r' .
⇐
Si r=r' , alors a−b= pn+r−qn−r= pn−qn=( p−q ) n et donc a≡b mod n
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