DM1 - ambition

spécialitémaths/TS
devoirsurveillé
MmeMAINGUY
Spécialité maths
devoir maison n°1
Exercice 1
1)
Vérifierque 7 diviselesnombres: 26 − 1 , 36 − 1 , 46 − 1 , 56 − 1 .
2)
Soit n ∈! et An = 2 n + 3n + 4 n + 5n .
Montrerque An+6 − An estdivisiblepar 7 .
3)
Soit n unentiernaturel, q sonquotientet r sonrestedansladivisioneuclidiennepar6..
Montrerque An et Ar ontlemêmerestedansladivisioneuclidiennepar7.
4)
Déterminerlesvaleursde n pourlesquelles An estdivisiblepar7.
5)
Soit Bn = 100 n + 101n + 102 n + 103n a/Montrerque An ≡ Bn ⎡⎣7 ⎤⎦ b/Endéduirelesvaleursde n pourlesquelles Bn estdivisiblepar7.
Exercice 2
⎧
7
1
⎪⎪ xn+1 = 3 xn + 3 yn + 1
Onconsidèrelessuites ( xn ) et ( yn ) définiespar: x0 = 1 , y0 = 8 et: ⎨
.
⎪ y = 20 x + 8 y + 5
⎪⎩ n+1 3 n 3 n
1)
(
)
Montrerparrécurrencequetouslespoints M n decoordonnées xn ; yn sontsurladroite Δ d’équation:
5x − y + 3 = 0 .
Endéduireque xn+1 = 4xn + 2 .
2)
Montrerquetousles xn sontdesentiersnaturels.
Endéduirequetousles yn lesontaussi.
3) a/Montrerparuneétudeexhaustivedescas,quesi 5x ≡ 0 ⎡⎣ 3⎤⎦ ,alors x ≡ 0 ⎡⎣ 3⎤⎦ .
b/Endéduireque xn estdivisiblepar3sietseulementsi yn estdivisiblepar3.
c/Montrerquesi xn n’estpasdivisiblepar3alors xn et yn ont1pourseuldiviseurpositifcommun.
4)
(
)
1 n
4 × 5 − 2 .
3
b/Endéduireque 4 n × 5 − 2 estunmultiplede3.
c/Proposerdeuxautresméthodespourprouverle4)b/.
a/Montrerque xn =