DM1 - ambition

spécialité)maths)/)TS)devoir)surveillé)Mme)MAINGUY)
)
)
)
)
)
Spécialité maths
devoir maison n°1
)
)
)
Exercice 1
1) Vérifier)que)
7
)divise)les)nombres):)))
26−1, 36−1 , 46−1, 56−1
.)
2) Soit)
n∈!
)et)
An=2n+3n+4n+5n
.)
Montrer)que)
An+6−An
)est)divisible)par)
7
.)
3) Soit)
n
)un)entier)naturel,)
q
)son)quotient)et)
r
)son)reste)dans)la)division)euclidienne)par)6..)
Montrer)que)
An
)et)
A
r
)ont)le)même)reste)dans)la)division)euclidienne)par)7.)
4) Déterminer)les)valeurs)de)
n
)pour)lesquelles)
An
)est)divisible)par)7.)
5) Soit)
Bn=100n+101n+102n+103n
)
a)/))Montrer)que)
An≡Bn7
⎡
⎣⎤ ⎦
)
b)/))En)déduire)les)valeurs)de)
n
)pour)lesquelles)
Bn
)est)divisible)par)7.)
)
)
Exercice 2
On)considère)les)suites)
xn
( )
)et)
yn
( )
)définies)par):)
x0=1
,)
y0=8
)et):))
xn+1=7
3xn+1 3yn+1
yn+1=20
3xn+8 3yn+5
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.)
1) Montrer)par)récurrence)que)tous)les)points)
Mn
)de)coordonnées)
xn;yn
( )
)sont)sur)la)droite)
Δ
)d’équation):))
) ) ) )
5x−y+3=0
.)
En)déduire)que)
xn+1=4xn+2
.)
)
2) Montrer)que)tous)les)
xn
)sont)des)entiers)naturels.)
En)déduire)que)tous)les)
yn
)le)sont)aussi.)
)
3) a)/))Montrer)par)une)étude)exhaustive)des)cas,)que)si)
5x≡0 3
⎡
⎣⎤ ⎦
,)alors)
x≡0 3
⎡
⎣⎤ ⎦
.)
b)/))En)déduire)que)
xn
)est)divisible)par)3)si)et)seulement)si)
yn
)est)divisible)par)3.)
c)/))Montrer)que)si)
xn
)n’est)pas)divisible)par)3)alors)
xn
)et)
yn
)ont)1)pour)seul)diviseur)positif)commun.)
)
4) a)/))Montrer)que)
xn=1
3
4n×5−2
( )
.)
b)/))En)déduire)que)
4n×5−2
)est)un)multiple)de)3.)
c)/))Proposer)deux)autres)méthodes)pour)prouver)le)4))b/.)
)