Exercice de spécialité, classe de terminale 10, bac blanc de fin d’année Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de l’entier 𝑎𝑛 = 6𝑛 − 1 (𝑛 ≥ 1) Partie A : quelques exemples 1. Démontrer que 6𝑛 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 5) pour tout entier naturel 𝑛. En déduire le dernier chiffre de l’écriture décimale de 𝑎𝑛 . 2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat que 𝑎28 est divisible par 29. 3. Pour 1 ≤ 𝑛 ≤ 4, déterminer le reste de la division de 6𝑛 par 37. En déduire que pour tout entier 𝑘, 𝑎4𝑘 est divisible par 37. 4. Pour quels entiers 𝑛 le nombre 𝑎𝑛 est-il divisible par 7 ? 5. Déduire des questions précédentes 4 diviseurs premiers de 𝑎28 . Partie B : divisibilité par un nombre premier Soit 𝑝 un nombre premier différent de 2 et 3. 1. Démontrer qu’il existe un entier 𝑛 ≥ 1 tel que 6𝑛 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝). 2. On appelle 𝑏 le plus petit entier strictement positif tel que 6𝑏 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝). On considère un entier 𝑛 tel que 6𝑛 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝). On appelle 𝑟 le reste de la division euclidienne de 𝑛 par 𝑏. a) Montrer que 6𝑟 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝). En déduire que 𝑟 = 0. b) Prouver que 6𝑛 − 1 est un multiple de 𝑝 si et seulement si 𝑛 est un multiple de 𝑏. c) En déduire que 𝑏 divise 𝑝 − 1.