Eléments de logique - Site de la PCSI du lycée Paul Eluard

2015/2016 M1: El´ements de logique PCSI Paul Eluard
El´ements de logique
Des sites
– Deux tests de logique : http://demainluniversite.fr/tests_autoeval/maths_lille1
–exo7.emath.fr/ficpdf/fic00002.pdf exercices avec correction et vid´eo
– Exercices de logique de l’universit´e d’Angers www.math.univ-angers.fr/../exologique pages d’exercices
avec indication de correction
– Fiche 9 WIMS
Le langage math´ematique est un langage technique, le pb c’est que parfois cela ressemble au langage usuel, et
cela cr´ee parfois des conflits.
En maths, Les mots utilis´es ont tous une signification pr´ecise.
I) Les propositions logiques
1. Propositions logiques
Une proposition logique est un ´enonc´e math´ematique qui peut prendre deux valeurs : Vrai (V) ou Faux
(F).
–
–
–
–
–
2. N´egation, Conjonction, ou
A partir de propositions logiques, on cr´ee de nouvelles propositions logiques dont les valeurs de v´erit´e
d´ependent des valeurs de v´erit´e des propositions initiales. cf dm1 info
La n´egation
PNon P
V F
F V
la conjonction
P Q P et Q
V V V
V F F
F V F
F F F
ou
P Q P ou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Exemple Soit Nun entier, P,Q,Rles propositions suivantes : ’Nest divisible par 400’, ’Nest divisible
par 4’ ’Nest divisible par 100’
On consid`ere S=P ou(NonRetQ), que dire de Ssi N= 1997,1996,2100,2400 ?
3. Implication
D´ef 1 Si Pet Qsont deux propositions logiques, P=⇒Qest la proposition logique (Non(P)ou Q).
P Q P =⇒Q
V V
V F
F V
F F
Lorsque P=⇒Qest vraie, On dit :
– ’Pimplique Q’
– ’Si Palors Q’
– ’Pest une condition suffisante pour P’
– ’Qest une condition n´ecessaire pour P.’
Pb de l’implication : c’est une proposition logique d´ecrite par un verbe
Remarque :
– Si Pest fausse, P=⇒Qest vraie
– Si Pest vraie et P=⇒Qest vraie alors Qest vraie (principe de d´eduction)
4. R´eciproque
D´ef 2 La r´eciproque de (P=⇒Q)est la proposition logique (Q=⇒P)
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Exemple
P: ’fd´erivable en x0’
Q: ’fcontinue en x0’ Que dire de (P=⇒Q) et de (Q=⇒P)
5. L’´equivalence
D´ef 3 on appelle ´equivalence de Pet Qla proposition P=⇒Q et Q =⇒P. Cette proposition se
note P⇐⇒ Q.
Table de v´erit´e de P⇐⇒ Q
Thm 1 P⇐⇒ Qest V signifie que Pet Qont mˆemes tables de v´erit´e.
D´emonstration par tables de v´erit´e.
Lorsque p⇐⇒ Qest vraie , on dit que
–Pest une condition n´ecessaire et suffisante pour Q
–Qest une condition n´ecessaire et suffisante pour P
6. Contrapos´ee
Thm 2 Les propositions logiques (P=⇒Qet Non(Q) =⇒Non(P)) ont mˆeme table de v´erit´e, elles sont
´equivalentes.
D´ef 4 La proposition logique (Non(Q) =⇒Non(P)) est la contrapos´ee de la proposition logique (P=⇒Q).
Exemples
(a) la contrapos´ee de ’Si fest d´erivable en aalors fest continue en x0’
7. N´egation et op´erations
Thm 3 Si Pet Qsont deux propositions logiques
– Non(Pet Q) = (Non(P)ou Non(Q))
– Non(Pou Q) = Non(P)et Non(Q)
– Non(P=⇒Q)=(Pet Non(Q))
D´emonstration de la troisi`eme n´egation.
Exemples : Donner la n´egation des propositions suivantes :
(a) ”Je passerai mes vacances d’´et´e en Egypte ou en Turquie”.
(b) ’S’il fait beau, je vais `a la plage’
On peut montrer que
Thm 4 Si P, Q, R sont trois propositions logiques,
[(P=⇒Q)et (Q=⇒R)] =⇒(P=⇒R)
(d´eductions successives)
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II) Les quantificateurs Soit P(x) une propri´et´e d´ependant d’un param`etre x, o`u xest un ´el´ement d’un
ensemble E.
1. Quantificateur universel
On ´ecrit ∀x∈E, P (x) pour signifier que la propri´et´e P(x) est vraie pour tous les ´el´ements xde E.
∀x∈R,cos x∈[−1,1]
2. Quantificateur existentiel
On ´ecrit ∃x∈E, P (x) pour signifier que la propri´et´e P(x) est vraie pour au moins un xde E.
∃x∈Rtel que x2= 0 assure le fait que l’ensemble x∈Rtels que x2= 0est non vide.
Exercice 1 Ecrire `a l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :
(a) Le carr´e de tout r´eel est positif.
(b) Certains r´eels sont strictement sup´erieurs `a leur carr´e.
(c) La fonction fest p´eriodique
Exercice 2 Vrai ou Faux
(a) ∃m∈Rtel que ∀x∈R, x2≥m
(b) ∀x∈R,∃m∈Rtel que x2> m
(c) ∀m∈R,∃x∈Rtel que x2=m
(d) ∀m∈R+,∃x∈Rtel que x2=m
(e) ∃x∈R,tel que ∀m∈R, x2=m
Moralit´e Les quantificateurs ∀et ∃ne commutent pas.
Exercice 3 fest une fonction de Rdans R, quel est le sens de :
(a) ∃m∈Rtel que ∀x∈R, f(x) = m
(b) ∀x∈R,∃m∈Rtel que f(x) = m
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(c) ∀m∈R,∃x∈Rtel que f(x) = m
(d) ∀m∈R,∀x∈Rtel que f(x) = m
(e) ∃x∈R,tel que ∀m∈R, f(x) = m
3. N´egation d’une proposition logique contenant un quantificateur
– V ou F :’Les carr´es des nombres entiers sont strictement positifs’
– V ou F : ’tous les ´el`eves de la classe habitent `a Saint-Denis’
–
– Soit fune fonction d´efinie sur RSoit Pla proposition : ’la fonction fest constante et vaut 3’
traduire en termes math´ematiques
´
Ecrire la n´egation
R`egles :
Prop 1 Si Pest une proposition d´efinie sur un ensemble I
– La n´egation de [∀x∈I, P(x)] est [∃x∈Itel que Non(P(x))]
– La n´egation de [∃x∈Itel que P(x)] est [∀x∈I, Non(P(x))]
En particulier, n´egation de (∀x∈E, P (x) =⇒Q(x))
Exercice 4 f´etant une application de Rdans R, Ecrire la n´egation de la proposition Psuivante :
(a) P:∀a∈R,∀b∈R,(a≤b=⇒f(a)≤f(b))
(b) x0est un r´eel et lest un r´eel
P:∀∈R+∗,∃α∈R+∗,(|x−a|<  =⇒ |f(x)−l|< )
Exercice 5 f´etant une application de Rdans R, Que signifient les deux phrases suivantes
(a) ’fest croissante sur R’
(b) ’fest major´ee sur I’
Exercice 6 ´ Ecrire avec des quantificateurs : ’Aucun entier n’est sup´erieur `a tous les autres’
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III) Les ensembles, Op´erations sur les ensembles
1. On sait ce qu’est un ensemble....
Un sous-ensemble de Eest un ensemble dont les ´el´ements appartiennent tous `a E.
∅et Esont des sous-ensembles de E
On note P(E) l’ensemble des parties de E.
Donner P(E) quand E={a, b, c, d}
– Faire la diff´erence entre le symbole ∈et le symbole ⊂
2∈Net {2} ⊂ N
2. le rˆole des accolades : elles servent `a d´ecrire les ensembles
– Exemple 1 : Dans N, j’appelle Al’ensemble des nombres pairs A={x∈N,tels que x/2∈N}=
{x∈N,tels que ∃k∈Ntel que x= 2k}
xsert `a d´ecrire l’ensemble A, on dit que c’est une variable muette.
– Exemple 2 Ecrire avec des accolades l’ensemble des nombres entiers qui sont des carr´es
– Exemple 3 Ecrire avec des accolades l’ensemble des couples qui v´erifient l’´equation x+y= 4
– Exemple 4 : Ecrire avec des accolades l’ensemble des complexes de module 2
– Exemple 5 : Ecrire avec des accolades l’ensemble des complexes d’argument π
3
– Exemple 6 : Ecrire avec des accolades l’ensemble des fonctions d´efinies sur Rpaires.
– Exemple 7 : Ecrire avec des accolades l’ensemble des fonctions de classe C1sur Rtelles que f0est born´ee
sur R.
3. Op´erations sur les ensembles
E est un ensemble, P(E) l’ensemble de ses parties, on s’int´eresse aux op´erations que l’on peut faire entre
des parties de E.
(a) Compl´ementaire
Si Aest une partie de E,A={x∈Etels que x /∈A}
(b) Union,intersection
Union
x∈A∪B⇐⇒ (x∈Aou x∈B)
Intersection
x∈A∩B⇐⇒ (x∈Aet x∈B)
(c) L’inclusion
Si Aet Bsont deux parties de E.
A⊂B⇐⇒ (∀x∈E, x ∈A=⇒x∈B)
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