Eléments de logique - Site de la PCSI du lycée Paul Eluard

2015/2016
M1: Eléments de logique
PCSI Paul Eluard
Eléments de logique
Des sites
– Deux tests de logique : http://demainluniversite.fr/tests_autoeval/maths_lille1
– exo7.emath.fr/ficpdf/fic00002.pdf exercices avec correction et vidéo
– Exercices de logique de l’université d’Angers www.math.univ-angers.fr/../exologique pages d’exercices
avec indication de correction
– Fiche 9 WIMS
Le langage mathématique est un langage technique, le pb c’est que parfois cela ressemble au langage usuel, et
cela crée parfois des conflits.
En maths, Les mots utilisés ont tous une signification précise.
I) Les propositions logiques
1. Propositions logiques
Une proposition logique est un énoncé mathématique qui peut prendre deux valeurs : Vrai (V) ou Faux
(F).
–
–
–
–
–
2. Négation, Conjonction, ou
A partir de propositions logiques, on crée de nouvelles propositions logiques dont les valeurs de vérité
dépendent des valeurs de vérité des propositions initiales. cf dm1 info
la conjonction
ou
P
Q
P et Q
P
Q
P ou Q
La négation
P
Non P
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
Exemple Soit N un entier, P ,Q,R les propositions suivantes : ’N est divisible par 400’, ’N est divisible
par 4’ ’N est divisible par 100’
On considère S = P ou(N onRetQ), que dire de S si N = 1997, 1996, 2100, 2400 ?
3. Implication
Déf 1 Si P et Q sont deux propositions logiques, P =⇒ Q est la proposition logique (Non(P )ou Q).
P
Q
V
V
V
F
F
V
F
F
P =⇒ Q
Lorsque P =⇒ Q est vraie, On dit :
– ’P implique Q’
– ’Si P alors Q’
– ’P est une condition suffisante pour P ’
– ’Q est une condition nécessaire pour P .’
Pb de l’implication : c’est une proposition logique décrite par un verbe
Remarque :
– Si P est fausse, P =⇒ Q est vraie
– Si P est vraie et P =⇒ Q est vraie alors Q est vraie (principe de déduction)
4. Réciproque
Déf 2 La réciproque de (P =⇒ Q) est la proposition logique (Q =⇒ P )
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Exemple
P : ’f dérivable en x0 ’
Q : ’f continue en x0 ’ Que dire de (P =⇒ Q) et de (Q =⇒ P )
5. L’équivalence
Déf 3 on appelle équivalence de P et Q la proposition P =⇒ Q
note P ⇐⇒ Q.
et
Q =⇒ P . Cette proposition se
Table de vérité de P ⇐⇒ Q
Thm 1 P ⇐⇒ Q est V signifie que P et Q ont mêmes tables de vérité.
Démonstration par tables de vérité.
Lorsque p ⇐⇒ Q est vraie , on dit que
– P est une condition nécessaire et suffisante pour Q
– Q est une condition nécessaire et suffisante pour P
6. Contraposée
Thm 2 Les propositions logiques (P =⇒ Q et Non(Q) =⇒ Non(P )) ont même table de vérité, elles sont
équivalentes.
Déf 4 La proposition logique (Non(Q) =⇒ Non(P )) est la contraposée de la proposition logique (P =⇒ Q).
Exemples
(a) la contraposée de ’Si f est dérivable en a alors f est continue en x0 ’
7. Négation et opérations
Thm 3 Si P et Q sont deux propositions logiques
– Non(P et Q) = (Non(P ) ou Non(Q))
– Non(P ou Q) = Non(P ) et Non(Q)
– Non(P =⇒ Q) = (P et Non(Q))
Démonstration de la troisième négation.
Exemples : Donner la négation des propositions suivantes :
(a) ”Je passerai mes vacances d’été en Egypte ou en Turquie”.
(b) ’S’il fait beau, je vais à la plage’
On peut montrer que
Thm 4 Si P, Q, R sont trois propositions logiques,
[(P =⇒ Q) et (Q =⇒ R)] =⇒ (P =⇒ R)
(déductions successives)
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II) Les quantificateurs Soit P (x) une propriété dépendant d’un paramètre x, où x est un élément d’un
ensemble E.
1. Quantificateur universel
On écrit ∀x ∈ E, P (x) pour signifier que la propriété P (x) est vraie pour tous les éléments x de E.
∀x ∈ R, cos x ∈ [−1, 1]
2. Quantificateur existentiel
On écrit ∃x ∈ E, P (x) pour signifier que la propriété
P (x) est vraie pour au
moins un x de E.
∃x ∈ R tel que x2 = 0 assure le fait que l’ensemble x ∈ R tels que x2 = 0 est non vide.
Exercice 1 Ecrire à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :
(a) Le carré de tout réel est positif.
(b) Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.
(c) La fonction f est périodique
Exercice 2 Vrai ou Faux
(a) ∃m ∈ R tel que ∀x ∈ R, x2 ≥ m
(b) ∀x ∈ R, ∃m ∈ R tel que x2 > m
(c) ∀m ∈ R, ∃x ∈ R tel que x2 = m
(d) ∀m ∈ R+ , ∃x ∈ R tel que x2 = m
(e) ∃x ∈ R, tel que ∀m ∈ R, x2 = m
Moralité Les quantificateurs ∀ et ∃ ne commutent pas.
Exercice 3 f est une fonction de R dans R, quel est le sens de :
(a) ∃m ∈ R tel que ∀x ∈ R, f (x) = m
(b) ∀x ∈ R, ∃m ∈ R tel que f (x) = m
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(c) ∀m ∈ R, ∃x ∈ R tel que f (x) = m
(d) ∀m ∈ R, ∀x ∈ R tel que f (x) = m
(e) ∃x ∈ R, tel que ∀m ∈ R, f (x) = m
3. Négation d’une proposition logique contenant un quantificateur
– V ou F :’Les carrés des nombres entiers sont strictement positifs’
– V ou F : ’tous les élèves de la classe habitent à Saint-Denis’
–
– Soit f une fonction définie sur R Soit P la proposition : ’la fonction f est constante et vaut 3’
traduire en termes mathématiques
Écrire la négation
Règles :
Prop 1 Si P est une proposition définie sur un ensemble I
– La négation de [∀x ∈ I, P(x)] est [∃x ∈ I tel que N on(P(x))]
– La négation de [∃x ∈ I tel que P(x)] est [∀x ∈ I, N on(P(x))]
En particulier, négation de (∀x ∈ E, P (x) =⇒ Q(x))
Exercice 4 f étant une application de R dans R, Ecrire la négation de la proposition P suivante :
(a) P :
∀a ∈ R, ∀b ∈ R, (a ≤ b =⇒ f (a) ≤ f (b))
(b) x0 est un réel et l est un réel
P : ∀ ∈ R+∗ , ∃α ∈ R+∗ , (|x − a| < =⇒ |f (x) − l| < )
Exercice 5 f étant une application de R dans R, Que signifient les deux phrases suivantes
(a) ’f est croissante sur R’
(b) ’f est majorée sur I’
Exercice 6 Écrire avec des quantificateurs : ’Aucun entier n’est supérieur à tous les autres’
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III) Les ensembles, Opérations sur les ensembles
1. On sait ce qu’est un ensemble....
Un sous-ensemble de E est un ensemble dont les éléments appartiennent tous à E.
∅ et E sont des sous-ensembles de E
On note P(E) l’ensemble des parties de E.
Donner P(E) quand E = {a, b, c, d}
– Faire la différence entre le symbole ∈ et le symbole ⊂
2 ∈ N et {2} ⊂ N
2. le rôle des accolades : elles servent à décrire les ensembles
– Exemple 1 : Dans N, j’appelle A l’ensemble des nombres pairs A = {x ∈ N, tels que x/2 ∈ N} =
{x ∈ N, tels que ∃k ∈ Ntel que x = 2k}
x sert à décrire l’ensemble A, on dit que c’est une variable muette.
– Exemple 2 Ecrire avec des accolades l’ensemble des nombres entiers qui sont des carrés
– Exemple 3 Ecrire avec des accolades l’ensemble des couples qui vérifient l’équation x + y = 4
– Exemple 4 : Ecrire avec des accolades l’ensemble des complexes de module 2
– Exemple 5 : Ecrire avec des accolades l’ensemble des complexes d’argument
π
3
– Exemple 6 : Ecrire avec des accolades l’ensemble des fonctions définies sur R paires.
– Exemple 7 : Ecrire avec des accolades l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur R telles que f 0 est bornée
sur R.
3. Opérations sur les ensembles
E est un ensemble, P(E) l’ensemble de ses parties, on s’intéresse aux opérations que l’on peut faire entre
des parties de E.
(a) Complémentaire
Si A est une partie de E, A = {x ∈ E tels que x ∈
/ A}
(b) Union,intersection
Intersection
Union
x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B)
x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x ∈ A ou x ∈ B)
(c) L’inclusion
Si A et B sont deux parties de E.
A ⊂ B ⇐⇒ (∀x ∈ E, x ∈ A =⇒ x ∈ B)
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Pour démontrer que A ⊂ B, On démontre (∀x ∈ E, x ∈ A =⇒ x ∈ B)
On écrit
On démarre par
Soit x ∈ A
On fait l’hypothèse que Supposons que x ∈ A
Raisonnement logique :
Alors
..
..
.
.
Final
Donc x ∈ B
(d) L’égalité
Si A et B sont deux parties de E. A = B ⇐⇒ (A ⊂ B et B ⊂ A)
Pour démontrer que A = B, on montre que
i. A ⊂ B
ii. B ⊂ A
Exemple cours D5 a ∈ R∗
– A l’ensemble des fonctions x 7→ keax où k ∈ R
– B l’ensemble des solutions de y 0 = ay
Écrire ces ensembles avec des accolades
Démonstration de A = B.
4. Règles de Morgan
Thm 5 A, B, C sont trois sous-ensembles de E, On a :
– A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
– A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
– A∪B =A∩B
– A∩B =A∪B
Se démontrent avec les diagrammes de Venn ou avec les tables de vérité
Exercice 7 Soit E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} et soit les parties suivantes de E : A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6, 7},
C = {1, 3, 5, 7} et D = {2, 3, 4, 5, 6}.
Déterminer (A ∩ B) ∪ (C ∩ D), (A ∪ C) ∩ (B ∪ D) et A ∩ D ∪ B ∪ C.
Exercice 8 L’opération ∆. On appelle différence symétrique de deux sous ensembles A et B de E le
sous-ensemble : A∆B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A)
(a) Déterminer A∆∅, A∆E et A∆A.
(b) Montrer que A∆B = B∆A et (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
Exercice 9 Démontrer l’équivalence des propositions A ⊂ B, et A ∪ B = B.
Méthode : le problème des variables muettes
Une variable est muette si le fait de changer sa dénomination n’affecte pas le sens de la phrase où elle intervient,
la variable n’a pas d’existence en dehors de cette phrase. En particulier si cette variable est utilisée dans la
description d’une expression, la valeur de cette expression n’en dépend pas.
exemples : quelles variables libres, quelles variables muettes
– xX
=3
x≥0
∀x ∈ R, x2 ≥ 0
2
–
i
i=1n
Z 1
et dt,
–
–
0
Z
b
et dt
a
x ∈ [[1, n]] tels que x2 − x ≤ 3
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