AGRÉGATION INTERNE Quelques exercices sur les anneaux et les

AGRÉGATION INTERNE
Quelques exercices sur les anneaux et les corps.
Henri Carayol
Exercice 1 Soit p > 2 un nombre premier et notons Fp le corps fini Z/pZ. Si
désigne le groupe multiplicatif des éléments non nuls de Fp , on considère les deux
applications de F∗p dans lui même définies respectivement par :
F∗p
φ(x) = x−1
et
ψ(x) = −x−1 .
(a) Vérifier que ce sont des bijections involutives (i.e. de carré l’identité). Quels
sont les points fixes de φ ? De même, on constatera que les points fixes de ψ sont les
éléments de Fp de carré −1. Combien peut-il y en avoir?
(b) On note P le produit de tous les éléments de F∗p . En regroupant autant
que possible ces éléments en paires {x, φ(x)} on prouvera que P = −1 (théorème de
Wilson).
(c) En effectuant un regroupement analogue utilisant ψ plutôt que φ, prouver le
résultat suivant : −1 est un carré dans Fp si et seulement si p ≡ 1 mod. 4.
Exercice 2 (Utilise le précédent) On note A = Z[i] l’anneau des entiers de
Gauss. On se donne un nombre (entier) premier impair p et on se demande s’il reste
premier dans A ou bien s’il se décompose.
(a) Si p ne reste pas premier, montrer qu’il peut se décomposer sous la forme
p = (a + ib)(a − ib) avec a + ib et a − ib premiers dans A. Dans ce cas on montrera
(de façon élémentaire ou bien en appliquant l’exercice précédent) que p ≡ 1 mod. 4.
(b) On suppose au contraire que p reste premier dans A. Montrer alors que
p ≡ −1 mod. 4. On raisonnera par l’absurde, appliquant l’exercice précédent : si
p ≡ 1 mod. 4, il existe un entier a tel que p divise a2 + 1 = (a + i)(a − i) et ...
√
√
Exercice 3 On note A = Z[i 3] (resp. K = Q[i 3]) l’anneau (resp. le corps)
constitué des nombres complexes de la forme x + iy avec x et y des entiers (resp. des
rationnels). Pour z un tel élément on note N (z) = zz.
(a) Quels sont les éléments inversibles de A?
(b) Soient M et B 6= 0 deux éléments de A. Prouver qu’il existe D ∈ A et R ∈ A
tels que M = BD + R et que N (R) < N (B) (Division euclidienne dans l’anneau A).
(c) En déduire que A est un anneau principal.
Exercice
4 On considére l’anneau analogue
obtenu
en remplaçant 3 par 5 :
√
√
√
A = Z[i 5]. Montrer que les éléments 1 + i 5, 1 − i 5 sont irréductibles dans A et
qu’ils n’admettent aucun diviseur commun non trivial.
Montrer qu’il n’existe cependant aucune relation
de Bezout
√
√ liant ces deux éléments.
L’idéal I qu’ils engendrent (constitué des (1 + i 5)X + (1 − i 5)Y , X et Y décrivant
A) est-il principal?
Exercice 5 Soit A un anneau, I un idéal de A. On définit
√
Montrer que
A = Z.
√
I = {x ∈ A ; ∃n ∈ N xn ∈ I} .
I est encore un idéal de A. Expliciter ce que c’est dans le cas où
Exercice 6 Soit K un corps. On note A = K[X, X −1 ] l’anneau constitué des
fractions rationnelles de la forme
a−m X −m + a−m X −m + · · · + a−1 X −1 + a0 + a1 X + · · · + an X n .
Quels sont les éléments inversibles de A?
Montrer que A est principal (si I est un idéal de A, considérer J = I ∩ K[X]).
√
√
Exercice 7 On sait que α = 5 + 7 est un nombre algébrique sur Q. Expliciter un√polynôme
P 6= 0 à coefficients dans Q tel que P (α) = 0. Même question
√
pour β = 2 + 3 3.
Exercice 8 Soit α ∈ R supposé algébrique sur Q et plus précisément racine
d’un polynôme 6= 0 de degré d
P (X) = ad X d + ad−1 X d−1 + · · · + a1 X + a0
à coefficients dans Z.
Montrer qu’il existe une constante C > 0 vérifiant la propriété suivante : pour
C
tout rationnel r 6= α, qui s’écrit r = pq (p et q entiers), on a : |r − α| > d .
q
Indication : Remarquer que, pour r non racine de P , on a : |P (r)| > q1d . Evaluer
ensuite P (r) au voisinage de α en fonction de r − α.
X
n
Application : Soit a > 1 un entier. Montrer que la somme de la série
a−(n )
est un nombre transcendant.