AGRÉGATION INTERNE Quelques exercices sur les anneaux et les

AGR´ EGATION INTERNE
Quelques exercices sur les anneaux et les corps.
Henri Carayol
Exercice 1 Soit p > 2 un nombre premier et notons Fple corps fini Z/pZ. Si
F∗
pd´esigne le groupe multiplicatif des ´el´ements non nuls de Fp, on consid`ere les deux
applications de F∗
pdans lui mˆeme d´efinies respectivement par :
φ(x) = x−1et ψ(x) = −x−1.
(a) V´erifier que ce sont des bijections involutives (i.e. de carr´e l’identit´e). Quels
sont les points fixes de φ? De mˆeme, on constatera que les points fixes de ψsont les
´el´ements de Fpde carr´e −1. Combien peut-il y en avoir?
(b) On note Ple produit de tous les ´el´ements de F∗
p. En regroupant autant
que possible ces ´el´ements en paires {x, φ(x)}on prouvera que P=−1 (th´eor`eme de
Wilson).
(c) En effectuant un regroupement analogue utilisant ψplutˆot que φ, prouver le
r´esultat suivant : −1est un carr´e dans Fpsi et seulement si p≡1 mod.4.
Exercice 2 (Utilise le pr´ec´edent) On note A=Z[i] l’anneau des entiers de
Gauss. On se donne un nombre (entier) premier impair pet on se demande s’il reste
premier dans Aou bien s’il se d´ecompose.
(a) Si pne reste pas premier, montrer qu’il peut se d´ecomposer sous la forme
p= (a+ib)(a−ib) avec a+ib et a−ib premiers dans A. Dans ce cas on montrera
(de fa¸con ´el´ementaire ou bien en appliquant l’exercice pr´ec´edent) que p≡1 mod.4.
(b) On suppose au contraire que preste premier dans A. Montrer alors que
p≡ −1 mod.4. On raisonnera par l’absurde, appliquant l’exercice pr´ec´edent : si
p≡1 mod.4, il existe un entier atel que pdivise a2+ 1 = (a+i)(a−i) et ...
Exercice 3 On note A=Z[i√3] (resp. K=Q[i√3]) l’anneau (resp. le corps)
constitu´e des nombres complexes de la forme x+iy avec xet ydes entiers (resp. des
rationnels). Pour zun tel ´el´ement on note N(z) = zz.
(a) Quels sont les ´el´ements inversibles de A?
(b) Soient Met B6= 0 deux ´el´ements de A. Prouver qu’il existe D∈Aet R∈A
tels que M=BD +Ret que N(R)< N(B) (Division euclidienne dans l’anneau A).
(c) En d´eduire que Aest un anneau principal.
Exercice 4 On consid´ere l’anneau analogue obtenu en rempla¸cant 3 par 5 :
A=Z[i√5]. Montrer que les ´el´ements 1 + i√5, 1 −i√5 sont irr´eductibles dans Aet
qu’ils n’admettent aucun diviseur commun non trivial.

Montrer qu’il n’existe cependant aucune relation de Bezout liant ces deux ´el´ements.
L’id´eal Iqu’ils engendrent (constitu´e des (1 + i√5)X+ (1 −i√5)Y,Xet Yd´ecrivant
A) est-il principal?
Exercice 5 Soit Aun anneau, Iun id´eal de A. On d´efinit
√I={x∈A;∃n∈Nxn∈I}.
Montrer que √Iest encore un id´eal de A. Expliciter ce que c’est dans le cas o`u
A=Z.
Exercice 6 Soit Kun corps. On note A=K[X, X−1] l’anneau constitu´e des
fractions rationnelles de la forme
a−mX−m+a−mX−m+··· +a−1X−1+a0+a1X+··· +anXn.
Quels sont les ´el´ements inversibles de A?
Montrer que Aest principal (si Iest un id´eal de A, consid´erer J=I∩K[X]).
Exercice 7 On sait que α=√5 + √7 est un nombre alg´ebrique sur Q. Ex-
pliciter un polynˆome P6= 0 `a coefficients dans Qtel que P(α) = 0. Mˆeme question
pour β=√2 + 3
√3.
Exercice 8 Soit α∈Rsuppos´e alg´ebrique sur Qet plus pr´ecis´ement racine
d’un polynˆome 6= 0 de degr´e d
P(X) = adXd+ad−1Xd−1+··· +a1X+a0
`a coefficients dans Z.
Montrer qu’il existe une constante C > 0 v´erifiant la propri´et´e suivante : pour
tout rationnel r6=α, qui s’´ecrit r=p
q(pet qentiers), on a : |r−α|>C
qd.
Indication : Remarquer que, pour rnon racine de P, on a : |P(r)|>1
qd. Evaluer
ensuite P(r) au voisinage de αen fonction de r−α.
Application : Soit a > 1 un entier. Montrer que la somme de la s´erie Xa−(nn)
est un nombre transcendant.