2014/2015 M1: Eléments de logique PCSI Paul Eluard Eléments de logique Des sites – Deux tests de logique : http://demainluniversite.fr/tests_autoeval/maths_lille1 – exo7.emath.fr/ficpdf/fic00002.pdf exercices avec correction et vidéo – Exercices de logique de l’université d’Angers www.math.univ-angers.fr/../exologique pages d’exercices avec indication de correction Le langage mathématique est un langage technique, le pb c’est que parfois cela ressemble au langage usuel, et cela crée parfois des conflits. En maths, Les mots utilisés ont tous une signification précise. I) Les propositions logiques 1. Une proposition logique est une phrase (sujet+verbe + complément) qui ne peut être que Vraie ou Fausse. ’Je suis prof de maths des PCSI’ est une proposition vraie (sa valeur de vérité est V) ’Il pleut’ est une proposition vraie aujourd’hui ’x est positif’ n’est pas une proposition logique ’∀x ∈ R, x2 est positif’ est une proposition logique vraie ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ln(xy) = ln x + ln y est une proposition fausse. Table de vérité d’une proposition Table de vérité d’une proposition vraie Table de vérité d’une proposition fausse Proposition P Proposition P V F 2. Les opérations sur les propositions logiques A partir de propositions logiques, on crée de nouvelles propositions logiques dont les tables de vérité dépendent des tables de vérité des propositions initiales. (a) La négation Proposition P Proposition Non P V F F V 1 2014/2015 M1: Eléments de logique PCSI Paul Eluard (b) la conjonction Proposition P Proposition Q Proposition P et Q V V V V F F F V F F F F Proposition P Proposition Q Proposition P ou Q V V V V F V F V V F F F (c) ou Attention, c’est le ’ou’ inclusif ce n’est pas le ’ou’ exclusif : cf fromage ou dessert. (d) L’implication Déf 1 Si P et Q sont deux propositions logiques, P =⇒ Q est la proposition logique (Non(P )ou Q). On dit : ’P implique Q’ On dit aussi ’Si P alors Q’ Sa table de vérité est alors : Proposition P Proposition Q Proposition P =⇒ Q V V V V F F F V V F F F Pb de l’implication : c’est une proposition logique décrite par un verbe Remarque : – Si P est fausse, P =⇒ Q est vraie – Si P est vraie, P =⇒ Q est vraie quand Q est vraie Finalement, pour montrer que P =⇒ Q est vraie, le seul problème consiste à montrer que si P est vraie, alors Q est vraie. 2 2014/2015 M1: Eléments de logique PCSI Paul Eluard Rédaction : On fait l’hypothèse que Raisonnement logique : .. . On écrit Montrons que la proposition P =⇒ Q est vraie. Supposons que P est vraie Alors .. . Final Exemples : Donc Q est vraie i. Montrer que x ∈ R+ =⇒ x2 + x + 1 ≥ 0 ii. Montrer que n entier impair =⇒ n2 − 1 est un multiple de 8 On admet que Thm 1 Si P, Q, R sont trois propositions logiques, [(P =⇒ Q) et (Q =⇒ R)] =⇒ (P =⇒ R) Démonstration possible avec les tables de vérité. (e) L’équivalence Déf 2 Deux propositions P et Q sont équivalentes si elles ont même table de vérité. On écrit P ⇐⇒ Q. Thm 2 Les propositions logiques (P =⇒ Q et Non(Q) =⇒ Non(P )) ont même table de vérité, elles sont équivalentes. Déf 3 La proposition logique (Non(Q) =⇒ Non(P )) est la contraposée de la proposition logique (P =⇒ Q). Exemples i. la contraposée de ’Si f est dérivable en a alors f est continue en x0 ’ ii. ”Les personnes qui parlent trop ne réfléchissent pas souvent”. (f) Réciproque 3 2014/2015 M1: Eléments de logique PCSI Paul Eluard Déf 4 La réciproque de (P =⇒ Q) est la proposition logique (Q =⇒ P ) ATTENTION Les propositions logiques (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P ) n’ont pas forcément même table de vérité. Exemple la réciproque de ’Si f est dérivable en a alors f est continue en x0 ’ Thm 3 Les propositions logiques sont équivalentes si et seulement si les propositions logiques (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P ) sont vraies Démonstration par table de vérité Pour montrer que P et Q sont équivalentes, on démontre que i. Si P alors Q ii. Si Q alors P . (g) Négation et opérations Thm 4 Si P et Q sont deux propositions logiques – Non(P et Q) = (Non(P ) ou Non(Q)) – Non(P ou Q) = Non(P ) et Non(Q) – Non(P =⇒ Q) = (P et Non(Q)) Démonstration par les tables de vérité. Exemples : Donner la négation des propositions suivantes : i. ’f est croissante sur R’ ii. ”Je passerai mes vacances d’été en Egypte ou en Turquie”. iii. ’S’il fait beau, je vais à la plage’ iv. On considère la proposition suivante : ”Tous les Dyonisiens qui ont participé au championnat régional de natation, ont eu une médaille et ont gagné un voyage”. v. 4 2014/2015 M1: Eléments de logique PCSI Paul Eluard II) Les quantificateurs 1. Quantificateur universel Quel que soit noté ∀ ∀x ∈ R, cos x ∈ [−1, 1] ∀x ∈ R, x2 ≥ 0 et ∀t ∈ R, t2 ≥ 0 et ∀ ∈ R, 2 ≥ 0 se traduit par ’les carrés des nombres réels sont positifs’ les nombres réels ont été nommés dans une phrase x, dans une autre t et dans une troisième , le sens de la phrase n’a pas été affecté par la façon qu’on a choisie de nommer les réels : la variable qui sert à cette description (qui n’a pas d’existence en dehors de cette description) est appelée variable muette. 2. Quantificateur existentiel il existe, noté ∃ ∃x ∈ R tel que x2 = 0 assure le fait que l’ensemble x ∈ R tels que x2 = 0 est non vide. 3. Négation d’une proposition logique contenant un quantificateur – V ou F :’Les carrés des nombres entiers sont strictement positifs’ – V ou F : ’à Paris, quel que soit le jour du mois de juillet 2014, il a plu’ ( en français : ’il a plu tous les jours du mois de juillet 2014’) – Soit f une fonction définie sur R Soit P la proposition : ’la fonction f est constante et vaut 3’ traduire en termes mathématiques Ecrire la négation Règles : Prop 1 Si P est une proposition définie sur un ensemble I – La négation de [∀x ∈ I, P(x)] est [∃x ∈ I tel que N on(P(x))] – La négation de [∃x ∈ I tel que P(x)] est [∀x ∈ I, N on(P(x))] Exercice 1 Ecrire à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes : (a) Le carré de tout réel est positif. (b) Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré. (c) Aucun entier n’est supérieur à tous les autres. Exercice 2 f étant une application de R dans R, Ecrire la négation de la proposition P suivante : (a) x0 est un réel et l est un réel P : ∀ ∈ R+∗ , ∃α ∈ R+∗ , (|x − a| < =⇒ |f (x) − l| < ) 5 2014/2015 (b) P : M1: Eléments de logique PCSI Paul Eluard ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, (a ≤ b =⇒ f (a) ≤ f (b)) Exercice 3 f étant une application de R dans R, Que signifient les deux phrases suivantes (a) ∃m ∈ R tel que ∀x ∈ R, f (x) = m (b) ∀x ∈ R, ∃m ∈ R tel que f (x) = m (c) ∀m ∈ R, ∃x ∈ R tel que f (x) = m (d) ∃x ∈ R, tel que ∀m ∈ R, f (x) = m 6 2014/2015 M1: Eléments de logique PCSI Paul Eluard III) Les ensembles, Opérations sur les ensembles 1. On sait ce qu’est un ensemble.... Un sous-ensemble de E est un ensemble dont les éléments appartiennent tous à E. ∅ et E sont des sous-ensembles de E On note P(E) l’ensemble des parties de E. Donner P(E) quand E = {a, b, c, d} – Faire la différence entre le symbole ∈ et le symbole ⊂ 2 ∈ N et {2} ⊂ N – le rôle des accolades : elles servent à décrire les ensembles Exemple1 : Dans N, j’appelle A l’ensemble des nombres pairs A = {x ∈ N, tels que x/2 ∈ N} x sert à décrire l’ensemble A, on dit que c’est une variable muette. Exemple2 Ecrire avec des accolades l’ensemble des nombres entiers qui sont des carrés Exemple3 Ecrire avec des accolades l’ensemble des solutions de l’équation x + y = 4 Remarque : Parallèle : langage des ensembles et langages des propositions logiques. – Si Q est une proposition logique définie sur un ensemble E, {x ∈ Etels que Q(x) est vraie } est un sous-ensemble de E. – Si A est un sous-ensemble de E, on définit sur E la proposition logique ’appartient à A’. 2. Opérations sur les ensembles E est un ensemble, P(E) l’ensemble de ses parties, on s’intéresse aux opérations que l’on peut faire entre des parties de E. (a) Complémentaire Si A est une partie de E, A = {x ∈ E tels que x ∈ / A} (b) Union x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x ∈ A ou x ∈ B) 7 2014/2015 M1: Eléments de logique PCSI Paul Eluard (c) Intersection x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x ∈ A et x ∈ B) (d) L’inclusion Si A et B sont deux parties de E. A ⊂ B ⇐⇒ (∀x ∈ E, x ∈ A =⇒ x ∈ B) Pour démontrer qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B On démontre l’implication (∀x ∈ E, x ∈ A =⇒ x ∈ B) On écrit On démarre par Soit x ∈ A On fait l’hypothèse que Supposons que x ∈ A Raisonnement logique : Alors .. .. . . Final Donc x ∈ B (e) L’égalité Si A et B sont deux parties de E. A = B ⇐⇒ (A ⊂ B et B ⊂ A) 3. Règles de Morgan Thm 5 A, B, C sont trois sous-ensembles de E, On a : – A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ P ) ∩ (A ∪ C) – A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ P ) ∪ (A ∩ C) – A∪B =A∩B – A∩B =A∪B Se démontrent avec les diagrammes de Venn ou avec les tables de vérité Exercice4 Déterminer les raisonnements qui sont logiquement valides. (a) Tous les élèves sont bons en maths. Or Édouard est bon en maths. Donc Édouard est un élève. (b) Édouard est un élève. Or tous les élèves sont bons en maths. Donc Édouard est bon en maths. 8 2014/2015 M1: Eléments de logique PCSI Paul Eluard (c) Aucun élève n’est bon en maths. Or Édouard n’est pas bon en maths. Donc Édouard est un élève. (d) Aucun élève n’est sympa. Or Édouard est un élève. Donc il n’est pas sympa. (e) La plupart des élèves s’appellent Édouard. Or tous les Édouard sont bons en maths. Donc certains élèves sont bons en maths. (f) Tous les élèves s’appellent Édouard. Or certains Édouard ne sont pas bons en maths. Donc certains élèves ne sont pas bons en maths. Exercice 5 Soit E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} et soit les parties suivantes de E : A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {1, 3, 5, 7} et D = {2, 3, 4, 5, 6}. Calculer (A ∩ B) ∪ (C ∩ D), (A ∪ C) ∩ (B ∪ D) et A ∩ D ∪ B ∪ C. Exercice 6 L’opération ∆. On appelle différence symétrique de deux sous ensembles A et B de E le sous-ensemble : A∆B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A) (a) Déterminer A∆∅, A∆E et A∆A. (b) Montrer que A∆B = B∆A et (A∆B)∆C = A∆(B∆C). Méthode : le problème des variables muettes Une variable est muette si le fait de changer sa dénomination n’affecte pas le sens de la phrase où elle intervient, la variable n’a pas d’existence en dehors de cette phrase. En particulier si cette variable est utilisée dans la description d’une expression, la valeur de cette expression n’en dépend pas. exemples : quelles variables libres, quelles variables muettes – x=3 – x≥0 2 – ∀x X∈ R, x ≥ 0 2 – i i=1n Z 1 Z b et dt a 0 – x ∈ [[1, n]] tels que x2 − x ≤ 3 – t e dt, 9