Eléments de logique - Site de la PCSI du lycée Paul Eluard

2014/2015 M1: El´ements de logique PCSI Paul Eluard
El´ements de logique
Des sites
– Deux tests de logique : http://demainluniversite.fr/tests_autoeval/maths_lille1
–exo7.emath.fr/ficpdf/fic00002.pdf exercices avec correction et vid´eo
– Exercices de logique de l’universit´e d’Angers www.math.univ-angers.fr/../exologique
pages d’exercices avec indication de correction
Le langage math´ematique est un langage technique, le pb c’est que parfois cela ressemble
au langage usuel, et cela cr´ee parfois des conflits.
En maths, Les mots utilis´es ont tous une signification pr´ecise.
I) Les propositions logiques
1. Une proposition logique est une phrase (sujet+verbe + compl´ement) qui ne peut ˆetre
que Vraie ou Fausse.
’Je suis prof de maths des PCSI’ est une proposition vraie (sa valeur de v´erit´e est V)
’Il pleut’ est une proposition vraie aujourd’hui
’xest positif’ n’est pas une proposition logique
’∀x∈R, x2est positif’ est une proposition logique vraie
∀x∈R,∀y∈R,ln(xy) = ln x+ ln yest une proposition fausse.
Table de v´erit´e d’une proposition
Table de v´erit´e d’une proposition vraie
Proposition P
V
Table de v´erit´e d’une proposition fausse
Proposition P
F
2. Les op´erations sur les propositions logiques
A partir de propositions logiques, on cr´ee de nouvelles propositions logiques dont les
tables de v´erit´e d´ependent des tables de v´erit´e des propositions initiales.
(a) La n´egation
Proposition PProposition Non P
V F
F V
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(b) la conjonction
Proposition PProposition QProposition Pet Q
V V V
V F F
F V F
F F F
(c) ou
Proposition PProposition QProposition Pou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Attention, c’est le ’ou’ inclusif ce n’est pas le ’ou’ exclusif : cf fromage ou dessert.
(d) L’implication
D´ef 1 Si Pet Qsont deux propositions logiques, P=⇒Qest la proposition
logique (Non(P)ou Q).
On dit : ’Pimplique Q’
On dit aussi ’Si Palors Q’
Sa table de v´erit´e est alors :
Proposition PProposition QProposition P=⇒Q
V V V
V F F
F V V
F F F
Pb de l’implication : c’est une proposition logique d´ecrite par un verbe
Remarque :
– Si Pest fausse, P=⇒Qest vraie
– Si Pest vraie, P=⇒Qest vraie quand Qest vraie
Finalement, pour montrer que P=⇒Qest vraie, le seul probl`eme consiste `a
montrer que si Pest vraie, alors Qest vraie.
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R´edaction :
On ´ecrit
Montrons que la proposition P=⇒Qest vraie.
On fait l’hypoth`ese que Supposons que Pest vraie
Raisonnement logique : Alors
.
.
..
.
.
Final Donc Qest vraie
Exemples :
i. Montrer que x∈R+=⇒x2+x+ 1 ≥0
ii. Montrer que nentier impair =⇒n2−1 est un multiple de 8
On admet que
Thm 1 Si P, Q, R sont trois propositions logiques,
[(P=⇒Q)et (Q=⇒R)] =⇒(P=⇒R)
D´emonstration possible avec les tables de v´erit´e.
(e) L’´equivalence
D´ef 2 Deux propositions Pet Qsont ´equivalentes si elles ont mˆeme table de
v´erit´e.
On ´ecrit P⇐⇒ Q.
Thm 2 Les propositions logiques (P=⇒Qet Non(Q) =⇒Non(P)) ont mˆeme
table de v´erit´e, elles sont ´equivalentes.
D´ef 3 La proposition logique (Non(Q) =⇒Non(P)) est la contrapos´ee de la propo-
sition logique (P=⇒Q).
Exemples
i. la contrapos´ee de ’Si fest d´erivable en aalors fest continue en x0’
ii. ”Les personnes qui parlent trop ne r´efl´echissent pas souvent”.
(f) R´eciproque
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D´ef 4 La r´eciproque de (P=⇒Q)est la proposition logique (Q=⇒P)
ATTENTION Les propositions logiques (P=⇒Q) et (Q=⇒P) n’ont pas forc´ement
mˆeme table de v´erit´e.
Exemple la r´eciproque de ’Si fest d´erivable en aalors fest continue en x0’
Thm 3 Les propositions logiques sont ´equivalentes si et seulement si les propo-
sitions logiques (P=⇒Q)et (Q=⇒P)sont vraies
D´emonstration par table de v´erit´e
Pour montrer que Pet Qsont ´equivalentes,
on d´emontre que
i. Si Palors Q
ii. Si Qalors P.
(g) N´egation et op´erations
Thm 4 Si Pet Qsont deux propositions logiques
– Non(Pet Q)=(Non(P)ou Non(Q))
– Non(Pou Q) = Non(P)et Non(Q)
– Non(P=⇒Q) = (Pet Non(Q))
D´emonstration par les tables de v´erit´e.
Exemples : Donner la n´egation des propositions suivantes :
i. ’fest croissante sur R’
ii. ”Je passerai mes vacances d’´et´e en Egypte ou en Turquie”.
iii. ’S’il fait beau, je vais `a la plage’
iv. On consid`ere la proposition suivante : ”Tous les Dyonisiens qui ont particip´e
au championnat r´egional de natation, ont eu une m´edaille et ont gagn´e un
voyage”.
v.
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II) Les quantificateurs
1. Quantificateur universel
Quel que soit not´e ∀
∀x∈R,cos x∈[−1,1]
∀x∈R, x2≥0 et ∀t∈R, t2≥0 et ∀ ∈ R,2≥0
se traduit par ’les carr´es des nombres r´eels sont positifs’
les nombres r´eels ont ´et´e nomm´es dans une phrase x, dans une autre tet dans une
troisi`eme , le sens de la phrase n’a pas ´et´e affect´e par la fa¸con qu’on a choisie de
nommer les r´eels : la variable qui sert `a cette description (qui n’a pas d’existence en
dehors de cette description) est appel´ee variable muette.
2. Quantificateur existentiel
il existe, not´e ∃
∃x∈Rtel que x2= 0 assure le fait que l’ensemble x∈Rtels que x2= 0est non
vide.
3. N´egation d’une proposition logique contenant un quantificateur
– V ou F :’Les carr´es des nombres entiers sont strictement positifs’
– V ou F : ’`a Paris, quel que soit le jour du mois de juillet 2014, il a plu’ ( en fran¸cais :
’il a plu tous les jours du mois de juillet 2014’)
– Soit fune fonction d´efinie sur RSoit Pla proposition : ’la fonction fest constante
et vaut 3’
traduire en termes math´ematiques
Ecrire la n´egation
R`egles :
Prop 1 Si Pest une proposition d´efinie sur un ensemble I
– La n´egation de [∀x∈I, P(x)] est [∃x∈Itel que Non(P(x))]
– La n´egation de [∃x∈Itel que P(x)] est [∀x∈I, Non(P(x))]
Exercice 1 Ecrire `a l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :
(a) Le carr´e de tout r´eel est positif.
(b) Certains r´eels sont strictement sup´erieurs `a leur carr´e.
(c) Aucun entier n’est sup´erieur `a tous les autres.
Exercice 2 f´etant une application de Rdans R, Ecrire la n´egation de la proposition
Psuivante :
(a) x0est un r´eel et lest un r´eel
P:∀∈R+∗,∃α∈R+∗,(|x−a|<  =⇒ |f(x)−l|< )
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