— Donner les parties entières par défaut et par excès des réels 1,3 ;−1,3 ;−5et −p2.
— Exprimer b−xcen fonction d’une partie entière de x .
— Tracer les graphes de ces deux fonctions.
— Sur quelle propriété de R, repose la définition de la partie entière par défaut. Autre-
ment dit : à partir de la définition de R, vérifier que pour tout réel x ≤0il existe un
unique nx∈Ztel que nx≤x<nx+1.
Exercice 1.13. Homographies
On travaille dans le plan complexe C, c’est à dire que l’on considère l’ensemble des complexes
comme un plan euclidien où 0,1, i définissent un repère orthonormé. Un complexe z ∈Csera
directement appelé un point du plan complexe. Pour étudier les homographies il est naturel
d’ajouter un point au plan complexe noté ∞et d’écrire a ×∞ = ∞, a +∞ = ∞ pour a ∈C,
1
0=∞,1
∞=0. Nous considèrerons que les droites du plan complexe passent par +∞.
— Rappeler pourquoi une application de Cdans Cdonnée par z 7→ z0=az +b avec
a,b∈C, a 6= 0, définit une similitude directe du plan complexe (regarder d’abord
le cas a =1puis le cas b =0) . En déduire l’image d’une droite ou d’un cercle par
z7→z0=az +b .
— Expliquer pourquoi l’équation d’un cercle de centre z0et de rayon R >0est |z−z0|=
R .
— Montrer que l’image du cercle {z∈C,|z−z0|=R}avec R >0et z0∈Cpar l’application
de C∪{∞}dans C∪{∞}donnée par z 7→z0=1
zest
— soit un cercle, que l’on précisera, si |z0|6=R ;
— soit une droite, que l’on précisera si |z0|=R .
— Nous dirons que les droites du plan complexe sont les cercles de C∪{∞}qui passent
par {∞}. Montrer que par trois points de C∪{+∞}passe un seul cercle de C∪{∞}.
— Etant donnés a,b,c,d∈Cavec c 6=0ou d 6=0. On considère maintenant l’application
f de C∪{∞}dans C∪{∞}donnée par f (z)=az+b
cz+dsi cz +d6=0, f (z)=∞ si cz +d=0
et f (∞)=a
c, (f est appelée homographie). Montrer que l’image d’un cercle de C∪{∞}
est un cercle de C∪{∞}.
— Vérifier que l’ensemble des homographies, muni de la composition, est un groupe qui
contient les similitudes directes.
— Déterminer ©z∈C,Re (1
z+1)=1ª. On le fera par deux méthodes : 1) par le calcul ; 2)
géométriquement à partir des questions précédentes.
Exercice 1.14. Soit r ∈Rmontrer que l’ensemble des fonctions de la forme x 7→ axer x +ber x
avec a,b∈Rest un espace vectoriel réel de dimension 2.
Exercice 1.15. Soient r1,. ..,rk∈Cdes nombres complexes distincts. En utilisant le détermi-
nant de Vandermonde det
1 1 ... 1
r1r2... rk
r2
1r2
2... r2
k
.
.
..
.
..
.
..
.
.
rk−1
1... ... rk−1
k
=Qi6=j(ri−rj), montrer que l’ensemble des
fonctions e j(x)=erjxest une famille libre de CR.
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