Chapitre 1
Rappels, définition de R
Exercice 1.1. Vérifier dans K=Rou C, l’inégalité
¯
¯|x|¯
¯y¯
¯¯
¯¯
¯xy¯
¯
que l’on retient comme « la distance entre les distances est plus petite que la distance ».
Vérifier « l’identité de la médiane » :
x,yC,|x+y|2+|xy|2=2(|x|2+|y|2).
Exercice 1.2. Le maximum de 2 nombres réels x,y (c’est-à-dire le plus grand des 2) est noté
max(x,y). De même on notera min(x,y)le plus petit des 2 nombres x,y. Démontrer que :
max(x,y)=x+y+|xy|
2et min(x,y)=x+y|xy|
2.
Trouver une formule pour max(x,y,z).
Exercice 1.3. Déterminer la borne supérieure et inférieure (éventuellement infinies) de : A =
{un,nN}en posant un=2nsi n est pair et un=2nsinon. Cet ensemble admet-il une borne
supérieure dans R?
Exercice 1.4. Soit A une partie non vide bornée de R. Montrer que b =sup A si et seulement si
les deux conditions sont vérifiées
b est un majorant de A ;
il existe une suite (an)nNde A telle que limn→∞ an=b .
Que vaut sup([0,1[Q)?
Exercice 1.5. Montrer qu’une suite réelle est croissante (resp. strictement croissante) si et
seulement si
nN,un+1un(resp. un+1>un) .
On fera une récurrence sur p Npour comparer un+p+1et un.
Exercice 1.6. Etant donné l’ensemble E , on travaille dans P(E)muni de la relation d’inclu-
sion .
1
Rappeler pourquoi c’est une relation d’ordre.
Expliquer pourquoi cet ordre est partiel si E a au moins deux éléments.
Donner un minorant trivial et un majorant trivial d’un ensemble A={Ai,iI}
P(E)de parties de E .
Montrer que Aa une borne supérieure et une borne inférieure que l’on précisera.
Exercice 1.7. BBorne supérieure et opérations :
Pour une partie A de Ron note sup AR{+∞}(resp. inf AR{−∞}) sa borne supérieure
(resp. inférieure). Si de plus f est une application de A (ou de R) dans Ron note supxAf(x)
(resp. infxAf(x)) la borne supérieure (resp. inférieure) de f (A)=©f(x) , xAª.
Pour deux parties A et B de Rcomment se comparent sup(A+B)=sup ©x+y,xA,yBª
et sup A+supB ?
Si f :RRest une application croissante et sup AR, comment se comparent
supxAf(x)et f (sup A)? Donner une condition pour qu’il y ait égalité.
Que peut-on dire sur supxAf(x)si f :RRest décroissante ?
Si f :ARet g :ARcomment se comparent supxA(f+g)(x)et supxAf(x)+
supxAg(x)?
Exercice 1.8. Pour x C, m Net n Nnm , calculer xm+xm+1+···+xn. (Indication :
Pour x 6=1, poser S =xm+xm+1+···+xnet calculer S xS).
Exercice 1.9. Montrer par récurrence sur n N
n
X
k=1=n(n+1)
2et
n
X
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6.
Exercice 1.10. Résoudre dans Cles équations
z2+z+2=0.
z5=32i.
ei z2=1.
ez2=1.
Exercice 1.11. En utilisant la formule du binôme (x+y)n=Pn
k=0Ck
nxkynk, exprimer cos(x)n
en fonction de cos(αx)et sin(αx),α{0,...,n}.
Faire la même chose pour sin(x)n.
Retrouver à l’aide des exponentielles complexes les formules trigonométriques pour cos(θ1)+
cos(θ2),cos(θ1)cos(θ2),sin(θ1)+sin(θ2)et sin(θ1)sin(θ2).
Exercice 1.12. Partie entière
Pour un réel x R, sa partie entière par défaut (resp. par excès) , notée bxc(resp. dxe), est
donnée par
bxc x<bxc+1 , bxcZ
resp.dxe x<dxe+1 , dxeZ.
2
Donner les parties entières par défaut et par excès des réels 1,3 ;1,3 ;5et p2.
Exprimer b−xcen fonction d’une partie entière de x .
Tracer les graphes de ces deux fonctions.
Sur quelle propriété de R, repose la définition de la partie entière par défaut. Autre-
ment dit : à partir de la définition de R, vérifier que pour tout réel x 0il existe un
unique nxZtel que nxx<nx+1.
Exercice 1.13. Homographies
On travaille dans le plan complexe C, c’est à dire que l’on considère l’ensemble des complexes
comme un plan euclidien où 0,1, i définissent un repère orthonormé. Un complexe z Csera
directement appelé un point du plan complexe. Pour étudier les homographies il est naturel
d’ajouter un point au plan complexe noté et d’écrire a ×∞ = ∞, a +∞ = ∞ pour a C,
1
0=,1
=0. Nous considèrerons que les droites du plan complexe passent par +∞.
Rappeler pourquoi une application de Cdans Cdonnée par z 7→ z0=az +b avec
a,bC, a 6= 0, définit une similitude directe du plan complexe (regarder d’abord
le cas a =1puis le cas b =0) . En déduire l’image d’une droite ou d’un cercle par
z7→z0=az +b .
Expliquer pourquoi l’équation d’un cercle de centre z0et de rayon R >0est |zz0|=
R .
Montrer que l’image du cercle {zC,|zz0|=R}avec R >0et z0Cpar l’application
de C{}dans C{}donnée par z 7→z0=1
zest
soit un cercle, que l’on précisera, si |z0|6=R ;
soit une droite, que l’on précisera si |z0|=R .
Nous dirons que les droites du plan complexe sont les cercles de C{}qui passent
par {}. Montrer que par trois points de C{+∞}passe un seul cercle de C{}.
Etant donnés a,b,c,dCavec c 6=0ou d 6=0. On considère maintenant l’application
f de C{}dans C{}donnée par f (z)=az+b
cz+dsi cz +d6=0, f (z)=si cz +d=0
et f ()=a
c, (f est appelée homographie). Montrer que l’image d’un cercle de C{}
est un cercle de C{}.
Vérifier que l’ensemble des homographies, muni de la composition, est un groupe qui
contient les similitudes directes.
Déterminer ©zC,Re (1
z+1)=1ª. On le fera par deux méthodes : 1) par le calcul ; 2)
géométriquement à partir des questions précédentes.
Exercice 1.14. Soit r Rmontrer que l’ensemble des fonctions de la forme x 7→ axer x +ber x
avec a,bRest un espace vectoriel réel de dimension 2.
Exercice 1.15. Soient r1,. ..,rkCdes nombres complexes distincts. En utilisant le détermi-
nant de Vandermonde det
1 1 ... 1
r1r2... rk
r2
1r2
2... r2
k
.
.
..
.
..
.
..
.
.
rk1
1... ... rk1
k
=Qi6=j(rirj), montrer que l’ensemble des
fonctions e j(x)=erjxest une famille libre de CR.
3
1 / 3 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !