TD 1

Chapitre 1
Rappels, définition de R
Exercice 1.1. Vérifier dans K = R ou C, l’inégalité
¯
¯ ¯¯ ¯
¯
¯|x| − ¯ y ¯¯ ≤ ¯x − y ¯
que l’on retient comme « la distance entre les distances est plus petite que la distance ».
Vérifier « l’identité de la médiane » :
∀x, y ∈ C ,
|x + y|2 + |x − y|2 = 2(|x|2 + |y|2 ) .
Exercice 1.2. Le maximum de 2 nombres réels x, y (c’est-à-dire le plus grand des 2) est noté
max(x, y). De même on notera min(x, y) le plus petit des 2 nombres x, y. Démontrer que :
max(x, y) =
x + y + |x − y|
2
et min(x, y) =
x + y − |x − y|
.
2
Trouver une formule pour max(x, y, z).
Exercice 1.3. Déterminer la borne supérieure et inférieure (éventuellement infinies) de : A =
{u n , n ∈ N} en posant u n = 2n si n est pair et u n = 2−n sinon. Cet ensemble admet-il une borne
supérieure dans R ?
Exercice 1.4. Soit A une partie non vide bornée de R. Montrer que b = sup A si et seulement si
les deux conditions sont vérifiées
— b est un majorant de A ;
— il existe une suite (a n )n∈N de A telle que limn→∞ a n = b .
Que vaut sup([0, 1[∩Q) ?
Exercice 1.5. Montrer qu’une suite réelle est croissante (resp. strictement croissante) si et
seulement si
∀n ∈ N, u n+1 ≥ u n (resp. u n+1 > u n ) .
On fera une récurrence sur p ∈ N pour comparer u n+p+1 et u n .
Exercice 1.6. Etant donné l’ensemble E , on travaille dans P (E ) muni de la relation d’inclusion ⊂ .
1
— Rappeler pourquoi c’est une relation d’ordre.
— Expliquer pourquoi cet ordre est partiel si E a au moins deux éléments.
— Donner un minorant trivial et un majorant trivial d’un ensemble A = {A i , i ∈ I } ⊂
P (E ) de parties de E .
— Montrer que A a une borne supérieure et une borne inférieure que l’on précisera.
Exercice 1.7. B Borne supérieure et opérations :
Pour une partie A de R on note sup A ∈ R ∪ {+∞} (resp. inf A ∈ R ∪ {−∞}) sa borne supérieure
(resp. inférieure). Si de plus f est une application de A (ou de R) ©dans R on note
supx∈A f (x)
ª
(resp. infx∈A f (x)) la borne supérieure (resp. inférieure) de f (A) = f (x) , x ∈ A ©.
ª
— Pour deux parties A et B de R comment se comparent sup(A+B ) = sup x + y , x ∈ A , y ∈ B
et sup A + sup B ?
— Si f : R → R est une application croissante et sup A ∈ R , comment se comparent
supx∈A f (x) et f (sup A) ? Donner une condition pour qu’il y ait égalité.
— Que peut-on dire sur supx∈A f (x) si f : R → R est décroissante ?
— Si f : A → R et g : A → R comment se comparent supx∈A ( f + g )(x) et supx∈A f (x) +
supx∈A g (x) ?
Exercice 1.8. Pour x ∈ C∗ , m ∈ N et n ∈ N∗ n ≥ m , calculer x m + x m+1 + · · · + x n . (Indication :
Pour x 6= 1 , poser S = x m + x m+1 + · · · + x n et calculer S − xS).
Exercice 1.9. Montrer par récurrence sur n ∈ N∗
n
X
k=1
=
n(n + 1)
2
et
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Exercice 1.10. Résoudre dans C les équations
z2 + z + 2 = 0 .
z 5 = 32i .
2
ei z = 1 .
2
ez = 1.
P
Exercice 1.11. En utilisant la formule du binôme (x+y)n = nk=0 C nk x k y n−k , exprimer cos(x)n
en fonction de cos(αx) et sin(αx) , α ∈ {0, . . . , n} .
Faire la même chose pour sin(x)n .
Retrouver à l’aide des exponentielles complexes les formules trigonométriques pour cos(θ1 ) +
cos(θ2 ) , cos(θ1 ) − cos(θ2 ) , sin(θ1 ) + sin(θ2 ) et sin(θ1 ) − sin(θ2 ) .
Exercice 1.12. Partie entière
Pour un réel x ∈ R , sa partie entière par défaut (resp. par excès) , notée bxc (resp. dxe), est
donnée par
resp.
bxc ≤ x < bxc + 1 ,
bxc ∈ Z
dxe ≤ x < dxe + 1 ,
dxe ∈ Z .
2
p
— Donner les parties entières par défaut et par excès des réels 1, 3 ; −1, 3 ; −5 et − 2 .
— Exprimer b−xc en fonction d’une partie entière de x .
— Tracer les graphes de ces deux fonctions.
— Sur quelle propriété de R , repose la définition de la partie entière par défaut. Autrement dit : à partir de la définition de R , vérifier que pour tout réel x ≤ 0 il existe un
unique n x ∈ Z tel que n x ≤ x < n x+1 .
Exercice 1.13. Homographies
On travaille dans le plan complexe C , c’est à dire que l’on considère l’ensemble des complexes
comme un plan euclidien où 0, 1, i définissent un repère orthonormé. Un complexe z ∈ C sera
directement appelé un point du plan complexe. Pour étudier les homographies il est naturel
d’ajouter un point au plan complexe noté ∞ et d’écrire a × ∞ = ∞ , a + ∞ = ∞ pour a ∈ C ,
1
1
=∞, ∞
= 0 . Nous considèrerons que les droites du plan complexe passent par +∞ .
0
— Rappeler pourquoi une application de C dans C donnée par z 7→ z 0 = az + b avec
a, b ∈ C , a 6= 0 , définit une similitude directe du plan complexe (regarder d’abord
le cas a = 1 puis le cas b = 0) . En déduire l’image d’une droite ou d’un cercle par
z 7→ z 0 = az + b .
— Expliquer pourquoi l’équation d’un cercle de centre z 0 et de rayon R > 0 est |z − z 0 | =
R.
— Montrer que l’image du cercle {z ∈ C, |z − z 0 | = R} avec R > 0 et z 0 ∈ C par l’application
de C ∪ {∞} dans C ∪ {∞} donnée par z 7→ z 0 = 1z est
— soit un cercle, que l’on précisera, si |z 0 | 6= R ;
— soit une droite, que l’on précisera si |z 0 | = R .
— Nous dirons que les droites du plan complexe sont les cercles de C ∪ {∞} qui passent
par {∞} . Montrer que par trois points de C ∪ {+∞} passe un seul cercle de C ∪ {∞} .
— Etant donnés a, b, c, d ∈ C avec c 6= 0 ou d 6= 0 . On considère maintenant l’application
si c z + d 6= 0 , f (z) = ∞ si c z + d = 0
f de C ∪ {∞} dans C ∪ {∞} donnée par f (z) = az+b
cz+d
et f (∞) = ac , ( f est appelée homographie). Montrer que l’image d’un cercle de C ∪ {∞}
est un cercle de C ∪ {∞} .
— Vérifier que l’ensemble des homographies, muni de la composition, est un groupe qui
contient les similitudes
directes. ª
©
1
— Déterminer z ∈ C , Re ( z+1
) = 1 . On le fera par deux méthodes : 1) par le calcul ; 2)
géométriquement à partir des questions précédentes.
Exercice 1.14. Soit r ∈ R montrer que l’ensemble des fonctions de la forme x 7→ axe r x + be r x
avec a, b ∈ R est un espace vectoriel réel de dimension 2.
Exercice 1.15. Soient r 1 , . .. , r k ∈ C des nombrescomplexes distincts. En utilisant le détermi1
1 ...
1
 r
r2 . . . rk 

 1
 2
2
2 
r
.
.
.
r
r

 Q
nant de Vandermonde det  1
2
k  = i 6= j (r i − r j ) , montrer que l’ensemble des
..
..
.. 
 ..
.
.
. 
 .
fonctions e j (x) = e r j x
r 1k−1 . . . . . . r kk−1
est une famille libre de CR .
3