TD1 - Paris Descartes

Université Paris Descartes
U.F.R. Maths/Info.
L3 - MA 2012-2013
Calcul différentiel
TD 1 : Espaces vectoriels
normés
Exercice 1. Démontrer l’équivalence des normes suivantes de Rn:
kxk2=qPn
i=1 x2
i,kxk∞= supn
i=1 |xi|,kxk1=Pn
i=1 |xi|.
Exercice 2. On considère l’ensemble Eformé par les fonctions fde C1([0,1]; R)qui vérifient f(0) = 0.
Pour tout fde E, on pose :
N1(f) = supx∈[0,1] |f(x)|+ supx∈[0,1] |f0(x)|, N2(f) = supx∈[0,1] |f(x) + f0(x)|.
1. Montrer que Eest un espace vectoriel.
2. Montrer que N1et N2sont des normes de E.
3. Soit fdans E. On considère la fonction g(x) = exf(x). Pour tout x, montrer que
|g0(x)| ≤ eN2(f)et que |g(x)| ≤ eN2(f).
4. En déduire que N1et N2sont équivalentes.
Exercice 3. Soit E=C([0,1],R)muni de la norme kxk=R1
0|x(t)|dt.
1. Soit φdéfinie et bornée sur [0,1]. Montrer que l’application f:x→R1
0φ(t)x(t)dt est une forme
linéaire continue sur E.
2. Montrer qu’avec φ(t) = t−1
2l’application fn’est pas continue. On pourra considérer les fonctions
xn(t) = 2n2(1
n−t)sur [0,1/n]et 0ailleurs.
3. Montrer que la norme kxk∞= supt∈[0,1] |x(t)|n’est pas équivalente à la norme k·k. On pourra
utiliser les fonctions xn(t) = −nt + 1 sur [0,1/n]et 0ailleurs.
Exercice 4. Soit l’espace C1([0,1]; R)que l’on munit de la norme N(f) = sup[0,1] |f(x)|+sup[0,1] |f0(x)|.
1. Soit l’application linéaire φde C1([0,1]; R)dans C([0,1]; R)qui à fassocie f0. Montrer que φest
continue. Calculer sa norme en utilisant la fonction fn(x) = 1
nπ sin(nπx).
2. Pour f∈ C([0,1]; R), on pose ψf(x) = Rx
0f(t)dt. Montrer que ψest une application linéaire
continue de C([0,1]; R)dans C1([0,1]; R). Calculer sa norme.
Exercice 5. Soient E1,E2et E3trois espaces vectoriels normés. On note F=L(E1, E2),G=
L(E2, E3),H=L(E1, E3). Montrer que l’application φde F×Gdans Hqui à (f, g)associe g◦fest
bilinéaire continue.
Exercice 6. On munit l’espace E=C([0,1],R)de la norme f7→ kfk∞= supx∈[0,1] |f(x)|. L’application
Φ : E3→R,
(f, g, h)7→ R1
0f(x)g(x)h(x)dx,
est-elle continue ?
Exercice 7. On note l∞l’espace des suites réélles bornées normé par k·k∞.
1. Soit a= (an)une suité réélle. Former une condition nécessaire et suffisante sur la suite apour
que l’application
Na:x7→
∞
X
n=0
an|xn|
définisse une norme sur l∞.
2. Montrer que dans ce cas Naet k·k∞ne sont pas equivalentes.
1

Exercice 8. Soit E=R[X]. Pour P=Pn
k=0 akXk, on pose
kPk1=
n
X
k=0
|ak|,kPk∞= max{|a0|,· · · ,|an|} et kPk?= max
t∈[0,1] |P(t)|.
1. Démontrer que ce sont des normes.
2. Montrer qu’elles ne sont pas deux à deux équivalentes. On considérera les polynomes Pn(t) =
(t−1)net Qn(t) = 1 + t+· · · +tn.
3. Ces normes sont-elles équivalentes dans En=Rn[X]?
4. Soit φ:E→R, l’application qui à P=Pn
k=0 akXkassocie φ(P) = a0+a1+· · · +an. Etudier
la continuité de φpour chacune des normes.
5. Etudier la continuité de la restriction de φàEn.
Exercice 9. Soit E=Ml’espace vectoriel formé par les matrices de taille m×n.On définit
kAk0=v
u
u
t
m
X
i=1
n
X
j=1
|aij |2.
1. Montrer qu’il s’agit bien d’une norme et que kAk2
0= tr(AtA).
2. Montrer que si Aet Bsont deux matrices de formats respectifs m×net n×p, alors :
kABk0≤ kAk0kBk0.
A la continuité de quelle application cela correspond-il ?
3. On note ||| · |||2la norme matricielle induite par la norme euclidienne sur Rp. Montrer que
∀A∈E, |||A|||2≤ kAk0
Exercice 10. On considère l’espace vectoriel Edes fonctions de classe C2sur [0,2π]qui vérifient :
∀f∈E, f(0) = f0(0) = 0. On pose : ∀f∈E,
N1(f) = supx∈[0,2π]|f(x)|+ supx∈[0,2π]|f00(x)|,
N2(f) = supx∈[0,2π]|f(x) + f00(x)|,
N(f) = supx∈[0,2π]|f(x)|.
1. Montrer que N1,N2et Nsont des normes de E.
2. On pose f(x) = λ(x) cos x+β(x) sin xavec λet µde classe C2sur [0,2π].
(a) Exprimer λet µainsi que leurs dérivées λ0et µ0en fonction de fet de ses dérivées.
(b) Trouver une majoration de λet µpar N2(f).
(c) En déduire que N1et N2sont équivalentes.
3. En considérant la fonction fn(x) = ( x
2π)n, montrer que Net N1ne sont pas équivalentes.
Exercice 11. On considère l’espace vectoriel E=C2([0,1]; R). Pour tout fde E, on pose
N∞(f) = sup
x∈[0,1]
|f(x)|, N0
∞(f) = |f(0)|+ sup
x∈[0,1]
|f0(x)|, N00
∞(f) = |f(0)|+|f0(0)|+ sup
x∈[0,1]
|f00(x)|.
1. Montrer que N∞,N0
∞et N00 ∞sont des normes de E.
2. Montrer que ces normes ne sont pas deux à deux équivalentes.
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