TD1 - Paris Descartes

Calcul différentiel
TD 1 : Espaces vectoriels
normés
Université Paris Descartes
U.F.R. Maths/Info.
L3 - MA 2012-2013
Exercice 1. Démontrer l’équivalence des normes suivantes de Rn :
qP
Pn
n
n
2
kxk2 =
i=1 xi , kxk∞ = supi=1 |xi |, kxk1 =
i=1 |xi |.
Exercice 2. On considère l’ensemble E formé par les fonctions f de C 1 ([0, 1]; R) qui vérifient f (0) = 0.
Pour tout f de E, on pose :
N1 (f ) = supx∈[0,1] |f (x)| + supx∈[0,1] |f 0 (x)|, N2 (f ) = supx∈[0,1] |f (x) + f 0 (x)|.
1. Montrer que E est un espace vectoriel.
2. Montrer que N1 et N2 sont des normes de E.
3. Soit f dans E. On considère la fonction g(x) = ex f (x). Pour tout x, montrer que
|g 0 (x)| ≤ eN2 (f ) et que |g(x)| ≤ eN2 (f ).
4. En déduire que N1 et N2 sont équivalentes.
Exercice 3. Soit E = C([0, 1], R) muni de la norme kxk =
R1
0
|x(t)|dt.
1. Soit φ définie et bornée sur [0, 1]. Montrer que l’application f : x →
linéaire continue sur E.
R1
0
φ(t)x(t)dt est une forme
1
2. Montrer qu’avec φ(t) = t− 2 l’application f n’est pas continue. On pourra considérer les fonctions
xn (t) = 2n2 ( n1 − t) sur [0, 1/n] et 0 ailleurs.
3. Montrer que la norme kxk∞ = supt∈[0,1] |x(t)| n’est pas équivalente à la norme k · k. On pourra
utiliser les fonctions xn (t) = −nt + 1 sur [0, 1/n] et 0 ailleurs.
Exercice 4. Soit l’espace C 1 ([0, 1]; R) que l’on munit de la norme N (f ) = sup[0,1] |f (x)|+sup[0,1] |f 0 (x)|.
1. Soit l’application linéaire φ de C 1 ([0, 1]; R) dans C([0, 1]; R) qui à f associe f 0 . Montrer que φ est
1
continue. Calculer sa norme en utilisant la fonction fn (x) = nπ
sin(nπx).
Rx
2. Pour f ∈ C([0, 1]; R), on pose ψf (x) = 0 f (t)dt. Montrer que ψ est une application linéaire
continue de C([0, 1]; R) dans C 1 ([0, 1]; R). Calculer sa norme.
Exercice 5. Soient E1 , E2 et E3 trois espaces vectoriels normés. On note F = L(E1 , E2 ), G =
L(E2 , E3 ), H = L(E1 , E3 ). Montrer que l’application φ de F × G dans H qui à (f, g) associe g ◦ f est
bilinéaire continue.
Exercice 6. On munit l’espace E = C([0, 1], R) de la norme f 7→ kf k∞ = supx∈[0,1] |f (x)|. L’application
Φ :
E3
→ R,
R1
(f, g, h) 7→ 0 f (x) g(x) h(x) dx,
est-elle continue ?
Exercice 7. On note l∞ l’espace des suites réélles bornées normé par k · k∞ .
1. Soit a = (an ) une suité réélle. Former une condition nécessaire et suffisante sur la suite a pour
que l’application
∞
X
Na : x 7→
an |xn |
n=0
définisse une norme sur l∞ .
2. Montrer que dans ce cas Na et k · k∞ ne sont pas equivalentes.
1
Exercice 8. Soit E = R[X]. Pour P =
kP k1 =
n
X
Pn
k=0 ak X
k,
on pose
|ak |, kP k∞ = max{|a0 |, · · · , |an |} et kP k? = max |P (t)|.
t∈[0,1]
k=0
1. Démontrer que ce sont des normes.
2. Montrer qu’elles ne sont pas deux à deux équivalentes. On considérera les polynomes Pn (t) =
(t − 1)n et Qn (t) = 1 + t + · · · + tn .
3. Ces normes sont-elles équivalentes dans En = Rn [X] ?
P
4. Soit φ : E → R, l’application qui à P = nk=0 ak X k associe φ(P ) = a0 + a1 + · · · + an . Etudier
la continuité de φ pour chacune des normes.
5. Etudier la continuité de la restriction de φ à En .
Exercice 9. Soit E = M l’espace vectoriel formé par les matrices de taille m × n.On définit
v
uX
n
um X
t
kAk0 =
|aij |2 .
i=1 j=1
1. Montrer qu’il s’agit bien d’une norme et que kAk20 = tr(At A).
2. Montrer que si A et B sont deux matrices de formats respectifs m × n et n × p, alors :
kABk0 ≤ kAk0 kBk0 .
A la continuité de quelle application cela correspond-il ?
3. On note ||| · |||2 la norme matricielle induite par la norme euclidienne sur Rp . Montrer que
∀ A ∈ E, |||A|||2 ≤ kAk0
Exercice 10. On considère l’espace vectoriel E des fonctions de classe C 2 sur [0, 2π] qui vérifient :
∀ f ∈ E, f (0) = f 0 (0) = 0. On pose : ∀ f ∈ E,
N1 (f ) = supx∈[0,2π] |f (x)| + supx∈[0,2π] |f 00 (x)|,
N2 (f ) = supx∈[0,2π] |f (x) + f 00 (x)|,
N (f ) = supx∈[0,2π] |f (x)|.
1. Montrer que N1 , N2 et N sont des normes de E.
2. On pose f (x) = λ(x) cos x + β(x) sin x avec λ et µ de classe C 2 sur [0, 2π].
(a) Exprimer λ et µ ainsi que leurs dérivées λ0 et µ0 en fonction de f et de ses dérivées.
(b) Trouver une majoration de λ et µ par N2 (f ).
(c) En déduire que N1 et N2 sont équivalentes.
x n
3. En considérant la fonction fn (x) = ( 2π
) , montrer que N et N1 ne sont pas équivalentes.
Exercice 11. On considère l’espace vectoriel E = C 2 ([0, 1]; R). Pour tout f de E, on pose
0
00
N∞ (f ) = sup |f (x)|, N∞
(f ) = |f (0)| + sup |f 0 (x)|, N∞
(f ) = |f (0)| + |f 0 (0)| + sup |f 00 (x)|.
x∈[0,1]
x∈[0,1]
x∈[0,1]
0 et N 00 sont des normes de E.
1. Montrer que N∞ , N∞
∞
2. Montrer que ces normes ne sont pas deux à deux équivalentes.
2