Rappels et définition de R

Chapitre 1
Rappels, définition de R
Exercice 1.1. Vérifier dans K = R ou C, l’inégalité
¯
¯ ¯¯ ¯
¯
¯|x| − ¯ y ¯¯ ≤ ¯x − y ¯
que l’on retient comme « la distance entre les distances est plus petite que la
distance ».
Vérifier « l’identité de la médiane » :
∀x, y ∈ C ,
|x + y|2 + |x − y|2 = 2(|x|2 + |y|2 ) .
Exercice 1.2. Le maximum de 2 nombres réels x, y (c’est-à-dire le plus grand
des 2) est noté max(x, y). De même on notera min(x, y) le plus petit des 2
nombres x, y. Démontrer que :
max(x, y) =
x + y + |x − y|
2
et min(x, y) =
x + y − |x − y|
.
2
Trouver une formule pour max(x, y, z).
Exercice 1.3. Déterminer la borne supérieure et inférieure (éventuellement
infinies) de : A = {u n , n ∈ N} en posant u n = 2n si n est pair et u n = 2−n sinon.
Cet ensemble admet-il une borne supérieure dans R ?
Exercice 1.4. Soit A une partie non vide bornée de R. Montrer que b = sup A si
et seulement si les deux conditions sont vérifiées
— b est un majorant de A ;
— il existe une suite (a n )n∈N de A telle que limn→∞ a n = b .
Que vaut sup([0, 1[∩Q) ?
1
Exercice 1.5. Montrer qu’une suite réelle est croissante (resp. strictement croissante) si et seulement si
∀n ∈ N, u n+1 ≥ u n
(resp. u n+1 > u n ) .
On fera une récurrence sur p ∈ N pour comparer u n+p+1 et u n .
Exercice 1.6. Etant donné l’ensemble E , on travaille dans P (E ) muni de la
relation d’inclusion ⊂ .
— Rappeler pourquoi c’est une relation d’ordre.
— Expliquer pourquoi cet ordre est partiel si E a au moins deux éléments.
— Donner un minorant trivial et un majorant trivial d’un ensemble A =
{A i , i ∈ I } ⊂ P (E ) de parties de E .
— Montrer que A a une borne supérieure et une borne inférieure que l’on
précisera.
Exercice 1.7. B Borne supérieure et opérations :
Pour une partie A de R on note sup A ∈ R ∪ {+∞} (resp. inf A ∈ R ∪ {−∞}) sa
borne supérieure (resp. inférieure). Si de plus f est une application de A (ou
de R) dans R on note supx∈A f (x) (resp. infx∈A f (x)) la borne supérieure (resp.
©
ª
inférieure) de f (A) = f (x) , x ∈ A .
— Pour deux parties A et B de R comment se comparent sup(A + B ) =
©
ª
sup x + y , x ∈ A , y ∈ B et sup A + sup B ?
— Si f : R → R est une application croissante et sup A ∈ R , comment se
comparent supx∈A f (x) et f (sup A) ? Donner une condition pour qu’il y
ait égalité.
— Que peut-on dire sur supx∈A f (x) si f : R → R est décroissante ?
— Si f : A → R et g : A → R comment se comparent supx∈A ( f + g )(x) et
supx∈A f (x) + supx∈A g (x) ?
Exercice 1.8. Pour x ∈ C∗ , m ∈ N et n ∈ N∗ n ≥ m , calculer x m +x m+1 +· · ·+x n .
(Indication : Pour x 6= 1 , poser S = x m + x m+1 + · · · + x n et calculer S − xS).
Exercice 1.9. Montrer par récurrence sur n ∈ N∗
n
X
n(n + 1)
k=
2
k=1
et
n
X
k=1
2
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Exercice 1.10. Résoudre dans C les équations
z2 + z + 2 = 0 .
z 5 = 32i .
2
ei z = 1 .
2
ez = 1.
P
Exercice 1.11. En utilisant la formule du binôme (x + y)n = nk=0 C nk x k y n−k ,
exprimer cos(x)n en fonction de cos(αx) et sin(αx) , α ∈ {0, . . . , n} .
Faire la même chose pour sin(x)n .
Retrouver à l’aide des exponentielles complexes les formules trigonométriques
pour cos(θ1 ) + cos(θ2 ) , cos(θ1 ) − cos(θ2 ) , sin(θ1 ) + sin(θ2 ) et sin(θ1 ) − sin(θ2 ) .
Exercice 1.12. Partie entière
Pour un réel x ∈ R , sa partie entière par défaut (resp. par excès) , notée bxc
(resp. dxe), est donnée par
resp.
bxc ≤ x < bxc + 1 ,
bxc ∈ Z
dxe − 1 < x ≤ dxe ,
dxe ∈ Z .
— Donner les parties entières par défaut et par excès des réels 1, 3 ; −1, 3 ;
p
−5 et − 2 .
— Exprimer b−xc en fonction d’une partie entière de x .
— Tracer les graphes de ces deux fonctions.
— Sur quelle propriété de R , repose la définition de la partie entière par
défaut.
Exercice 1.13. Homographies
On travaille dans le plan complexe C , c’est à dire que l’on considère l’ensemble
des complexes comme un plan euclidien où 0, 1, i définissent un repère orthonormé. Un complexe z ∈ C sera directement appelé un point du plan complexe.
Pour étudier les homographies il est naturel d’ajouter un point au plan com1
plexe noté ∞ et d’écrire a ×∞ = ∞ , a +∞ = ∞ pour a ∈ C , 10 = ∞ , ∞
= 0 . Nous
considèrerons que les droites du plan complexe passent par ∞ .
— Rappeler pourquoi une application de C dans C donnée par z 7→ z 0 = az+
b avec a, b ∈ C , a 6= 0 , définit une similitude directe du plan complexe
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(regarder d’abord le cas a = 1 puis le cas b = 0) . En déduire l’image d’une
droite ou d’un cercle par z 7→ z 0 = az + b .
— Expliquer pourquoi l’équation d’un cercle de centre z 0 et de rayon R > 0
est |z − z 0 | = R .
— Montrer que l’image du cercle {z ∈ C, |z − z 0 | = R} avec R > 0 et z 0 ∈ C par
l’application de C ∪ {∞} dans C ∪ {∞} donnée par z 7→ z 0 = 1z est
— soit un cercle, que l’on précisera, si |z 0 | 6= R ;
— soit une droite, que l’on précisera si |z 0 | = R .
— Nous dirons que les droites du plan complexe sont les cercles de C ∪ {∞}
qui passent par {∞} . Montrer que par trois points de C ∪ {∞} passe un
seul cercle de C ∪ {∞} .
— Etant donnés a, b, c, d ∈ C avec ad − bc 6= 0 et c 6= 0 ou d 6= 0 . On
considère maintenant l’application f de C ∪ {∞} dans C ∪ {∞} donnée
par f (z) = az+b
si c z + d 6= 0 , f (z) = ∞ si cz + d = 0 et f (∞) = ac , ( f est
c z+d
appelée homographie). Montrer que l’image d’un cercle de C∪{∞} est un
cercle de C ∪ {∞} .
— Vérifier que l’ensemble des homographies, muni de la composition, est
un groupe qui contient les similitudes directes.
ª
©
1
) = 1 . On le fera par deux méthodes : 1) par le
— Déterminer z ∈ C , Re ( z+1
calcul ; 2) géométriquement à partir des questions précédentes.
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