Rappels et définition de R

Chapitre 1
Rappels, définition de R
Exercice 1.1. Vérifier dans K=Rou C, l’inégalité
¯
¯|x|−¯ ¯y¯ ¯¯ ¯≤¯ ¯x−y¯ ¯
que l’on retient comme « la distance entre les distances est plus petite que la
distance ».
Vérifier « l’identité de la médiane » :
∀x,y∈C,|x+y|2+|x−y|2=2(|x|2+|y|2).
Exercice 1.2. Le maximum de 2 nombres réels x,y (c’est-à-dire le plus grand
des 2) est noté max(x,y). De même on notera min(x,y)le plus petit des 2
nombres x,y. Démontrer que :
max(x,y)=x+y+|x−y|
2et min(x,y)=x+y−|x−y| 2.
Trouver une formule pour max(x,y,z).
Exercice 1.3. Déterminer la borne supérieure et inférieure (éventuellement
infinies) de : A ={un,n∈N}en posant un=2nsi n est pair et un=2−nsinon.
Cet ensemble admet-il une borne supérieure dans R?
Exercice 1.4. Soit A une partie non vide bornée de R. Montrer que b =sup A si
et seulement si les deux conditions sont vérifiées
— b est un majorant de A ;
— il existe une suite (an)n∈Nde A telle que limn→∞ an=b .
Que vaut sup([0,1[∩Q)?
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Exercice 1.5. Montrer qu’une suite réelle est croissante (resp. strictement crois-
sante) si et seulement si
∀n∈N,un+1≥un(resp. un+1>un).
On fera une récurrence sur p ∈Npour comparer un+p+1et un.
Exercice 1.6. Etant donné l’ensemble E , on travaille dans P(E)muni de la
relation d’inclusion ⊂.
— Rappeler pourquoi c’est une relation d’ordre.
— Expliquer pourquoi cet ordre est partiel si E a au moins deux éléments.
— Donner un minorant trivial et un majorant trivial d’un ensemble A=
{Ai,i∈I}⊂P(E)de parties de E .
— Montrer que Aa une borne supérieure et une borne inférieure que l’on
précisera.
Exercice 1.7. BBorne supérieure et opérations :
Pour une partie A de Ron note sup A∈R∪{+∞}(resp. inf A∈R∪{−∞}) sa
borne supérieure (resp. inférieure). Si de plus f est une application de A (ou
de R) dans Ron note supx∈Af(x)(resp. infx∈Af(x)) la borne supérieure (resp.
inférieure) de f (A)=©f(x) , x∈Aª.
— Pour deux parties A et B de Rcomment se comparent sup(A+B)=
sup©x+y,x∈A,y∈Bªet sup A+supB ?
— Si f :R→Rest une application croissante et sup A∈R, comment se
comparent supx∈Af(x)et f (sup A)? Donner une condition pour qu’il y
ait égalité.
— Que peut-on dire sur supx∈Af(x)si f :R→Rest décroissante ?
— Si f :A→Ret g :A→Rcomment se comparent supx∈A(f+g)(x)et
supx∈Af(x)+supx∈Ag(x)?
Exercice 1.8. Pour x ∈C∗, m ∈Net n ∈N∗n≥m , calculer xm+xm+1+···+xn.
(Indication : Pour x 6=1, poser S =xm+xm+1+···+xnet calculer S −xS).
Exercice 1.9. Montrer par récurrence sur n ∈N∗
n
X
k=1
k=n(n+1)
2et
n
X
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6.
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Exercice 1.10. Résoudre dans Cles équations
z2+z+2=0.
z5=32i.
ei z2=1.
ez2=1.
Exercice 1.11. En utilisant la formule du binôme (x+y)n=Pn
k=0Ck
nxkyn−k,
exprimer cos(x)nen fonction de cos(αx)et sin(αx),α∈{0,..., n}.
Faire la même chose pour sin(x)n.
Retrouver à l’aide des exponentielles complexes les formules trigonométriques
pour cos(θ1)+cos(θ2),cos(θ1)−cos(θ2),sin(θ1)+sin(θ2)et sin(θ1)−sin(θ2).
Exercice 1.12. Partie entière
Pour un réel x ∈R, sa partie entière par défaut (resp. par excès) , notée bxc
(resp. dxe), est donnée par
bxc≤ x<bxc+1 , bxc∈Z
resp.dxe−1<x≤dxe,dxe∈Z.
— Donner les parties entières par défaut et par excès des réels 1,3 ;−1, 3 ;
−5et −p2.
— Exprimer b−xcen fonction d’une partie entière de x .
— Tracer les graphes de ces deux fonctions.
— Sur quelle propriété de R, repose la définition de la partie entière par
défaut.
Exercice 1.13. Homographies
On travaille dans le plan complexe C, c’est à dire que l’on considère l’ensemble
des complexes comme un plan euclidien où 0,1, i définissent un repère ortho-
normé. Un complexe z ∈Csera directement appelé un point du plan complexe.
Pour étudier les homographies il est naturel d’ajouter un point au plan com-
plexe noté ∞et d’écrire a ×∞=∞, a +∞=∞ pour a ∈C,1
0=∞,1 ∞=0. Nous
considèrerons que les droites du plan complexe passent par ∞.
— Rappeler pourquoi une application de Cdans Cdonnée par z 7→ z0=az+
b avec a,b∈C, a 6= 0, définit une similitude directe du plan complexe
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(regarder d’abord le cas a =1puis le cas b =0) . En déduire l’image d’une
droite ou d’un cercle par z 7→ z0=az +b .
— Expliquer pourquoi l’équation d’un cercle de centre z0et de rayon R >0
est |z−z0|=R .
— Montrer que l’image du cercle {z∈C,|z−z0|=R}avec R >0et z0∈Cpar
l’application de C∪{∞}dans C∪{∞}donnée par z 7→ z0=1
zest
— soit un cercle, que l’on précisera, si |z0|6=R ;
— soit une droite, que l’on précisera si |z0|=R .
— Nous dirons que les droites du plan complexe sont les cercles de C∪{∞}
qui passent par {∞}. Montrer que par trois points de C∪{∞}passe un
seul cercle de C∪{∞}.
— Etant donnés a,b,c,d∈Cavec ad −bc 6= 0et c 6= 0ou d 6= 0. On
considère maintenant l’application f de C∪{∞}dans C∪{∞}donnée
par f (z)=az+b
cz+dsi cz +d6= 0, f (z)= ∞ si cz +d=0et f (∞)=a c, (f est
appelée homographie). Montrer que l’image d’un cercle de C∪{∞}est un
cercle de C∪{∞}.
— Vérifier que l’ensemble des homographies, muni de la composition, est
un groupe qui contient les similitudes directes.
— Déterminer ©z∈C,Re (1
z+1)=1ª. On le fera par deux méthodes : 1) par le
calcul ; 2) géométriquement à partir des questions précédentes.
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